1、2015-2016 学年八年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分每题的四个选项中，只有一个选项是符合要求的 ）1下列实数是无理数的是( )A1 B0 C D2全等图形是指两个图形( )A能够重合 B形状相同 C大小相同 D相等3已知等腰三角形的两边长分别为 6cm、3cm，则该等腰三角形的周长是( )A9cm B12cm C12cm 或 15cm D15cm4下列图形中不是轴对称图形的是( )A有两个内角相等的三角形B有一个内角是 45 度的直角三角形C有一个内角是 30 度的直角三角形D有两个角分别是 30 度和 120 度的三角形5下列几组数中不
2、能作为直角三角形三边长度的是( )Aa=7，b=24 ，c=25 Ba=1.5 ，b=2，c=2.5C Da=15 ，b=8 ，c=176如图，DE 是ABC 中 AC 边的垂直平分线，若 BC=8cm，AB=10cm，则EBC 的周长为( )A16cm B28cm C26cm D18cm7如图所示，在 RtABC 中， A=90，BD 平分ABC ，交 AC 于点 D，且AB=4，BD=5，则点 D 到 BC 的距离是( )A3 B4 C5 D68如图，数轴上有 A、B、C、D 四点，其中与实数 最接近的数所对应的点是( )AA BB CC DD二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 3
3、分，共 30 分把答案填在答题卡中对应的横线上） 981 的算术平方根是_10角的对称轴是_11若一直角三角形两直角边长分别为 6 和 8，则斜边长为_12已知地球的半径约为 6.4103km，这个近似数精确度为_km13已知直角三角形三边的平方和是 32cm2，则其斜边上的中线长为_14等腰三角形一腰上的高与另一腰所在直线的夹角为 40，该等腰三角形的顶角等于_15在ABC 中，AB=5，BC=12，AC=13 ，那么 AC 边上的高 =_16如图，已知ABC 中，ABC=45，F 是高 AD 和 BE 的交点，CD=3，则线段 DF 的长度为_17如图，在 RtABC 中， ABC=90，
4、AB=3，AC=5，点 E 在 BC 上，将ABC 沿 AE折叠，使点 B 落在 AC 边上的点 B处，则 BE 的长为_18如图，在ABC 中， ACB=90，BAC=30，在直线 BC 或 AC 上取一点 P，使得PAB 为等腰三角形，这样的点 P 共有_个三、解答题（本大题共 8 小题，共 66 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ）19 （1）计算：（2）求 x 的值：（x1） 2=920已知：如图，ACB= ADB=90，AC=AD，E 是 AB 上任意一点（1）BC 与 BD 相等吗？试说明理由（2）CE=DE 吗？为什么？21数学实验室：实验材料：硬纸板、剪刀、三角板实验方
5、法：剪裁、拼图、探索实验目的：验证勾股定理，拼图填空操作：剪裁出若干个全等的直角三角形，三边长分别记为 a、b、c，如图（1）拼图一：分别用 4 张直角三角形纸片，拼成如图、图的形状，观察图 、图可发现，图中两个小正方形的面积之和_图 中小正方形的面积， （填“大于”“小于 ”“等于 ”）用关系式可表示为_（2）拼图二：用 4 张直角三角形纸片拼成如图的形状，观察图形可以发现，图中共有3 个正方形，它们的面积按大小顺序分别记为 S 大 ，S 中 ，S 小 ，其关系是_，用a、b、c 可表示为_（3）拼图三：用 8 张直角三角形纸片拼成如图的形状，图中 3 个正方形的面积按大小顺序分别记为 S
6、大 ，S 中 ，S 小 ，其关系是_，用 a、b、c 可表示为_22如图，A、C 两乡镇到水渠边 l 的距离分别为 AB=2km，CD=4km，且 BD=8km（1）在水渠边 l 上要建一个水电站 P，使得 PA+PC 最小，请在图中画出 P 的位置（保留作图痕迹） ，不必说明理由（2）求出 PA+PC 最小值23已知：如图 AC=BD，AB=D C证明：（1）A 与D；（2）OB=OC2411 世纪的一位阿拉伯数学家曾提出一个“鸟儿捉鱼”的问题：小溪边长着两棵棕榈树，恰好隔岸相望一棵树高是 30 肘尺（肘尺是古代的长度单位） ，另外一棵高 20 肘尺；两棵棕榈树的树干间的距离是 50 肘尺每
7、棵树的树顶上都停着一只鸟忽然，两只鸟同时看见棕榈树间的水面上游出一条鱼，它们立刻以相同的速度飞去抓鱼，并且同时到达目标问这条鱼出现的地方离开比较高的棕榈树的树跟有多远？25中国对南沙群岛及其附近海域拥有无可争辩的主权2015 年 10 月 27 日，美国拉森号军舰未经中国政府允许，非法进入中国南沙群岛有关岛礁邻近海域中国海军盐城舰加大南沙海域的巡航维权力度如图，OAOB，OA=45 海里，OB=15 海里，渚碧礁位于 O 点，盐城舰在点 B 处发现美国拉森号军舰，自 A 点出发沿着 AO 方向匀速驶向渚碧礁所在地O 点，盐城舰立即从 B 处出发以相同的速度沿某直线去拦截拉森号军舰，结果在点 C
8、 处截住了拉森号军舰（1）请用直尺和圆规作出 C 处的位置；（2）求盐城舰行驶的航程 BC 的长26 （1）阅读理解：如图 1，等边ABC 内有一点 P 若点 P 到顶点 A，B ，C 的距离分别为 3，4，5，求APB的大小思路点拨：考虑到 PA，PB，PC 不在一个三角形中，采用转化与化归的数学思想，可以将ABP 绕顶点 A 逆时针旋转 60到ACP处，此时ACP ABP，这样，就可以利用全等三角形知识，结合已知条件，将三条线段的长度转化到一个三角形中，从而求出APB 的度数请你写出完整的解题过程（2）变式拓展：请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题：已知如图 2，ABC 中， C
9、AB=90，AB=AC，E、F 为 BC 上的点且 EAF=45，BE=5，CF=4，求 EF 的大小期中数学试卷一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分每题的四个选项中，只有一个选项是符合要求的 ）1下列实数是无理数的是( )A1 B0 C D【考点】无理数 【分析】无理数就是无限不循环小数理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数由此即可判定选择项【解答】解：A、1 是整数，是有理数，选项错误；B、0 是整数，是有理数，选项错误；C、 是无理数，选项错误；D、 是分数，是有理数，选项错
10、误故选 C【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，2 等；开方开不尽的数；以及像 0.1010010001，等有这样规律的数2全等图形是指两个图形( )A能够重合 B形状相同 C大小相同 D相等【考点】全等图形 【分析】根据能够完全重合的两个图形叫做全等形可得答案【解答】解：全等图形是指两个图形能够重合，故选：A【点评】此题主要考查了全等图形的概念，关键是掌握全等形的概念3已知等腰三角形的两边长分别为 6cm、3cm，则该等腰三角形的周长是( )A9cm B12cm C12cm 或 15cm D15cm【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系 【分析】题目给出等腰三
11、角形有两条边长为 3cm 和 6cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形【解答】解：当腰为 3cm 时，3+3=6，不能构成三角形，因此这种情况不成立当腰为 6cm 时，6366+3，能构成三角形；此时等腰三角形的周长为 6+6+3=15cm故选 D【点评】本题考查了等腰三角形 的性质和三角形的三边关系；题目从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去4下列图形中不是轴对称图形的是( )A有两个内角相等的三角形B有一个内角是 45 度的 直
12、角三角形C有一个内角是 30 度的直角三角形D有两个角分别是 30 度和 120 度的三角形【考点】轴对称图形 【分析】找到不是等腰三角形的选项即可【解答】解：A、是等腰三角形，所以是轴对称图形，不符合题意；B、是等腰三角形，所以是轴对称图形，不符合题意；C、不是等腰三角形，所以不是轴对称图形，符合题意；D、是等腰三角形，所以是轴对称图形，不符合题意；故选 C【点评】考查有关轴对称图形的知识；用到的知识点为：三角形里，只有等腰三角形是轴对称图形5下列几组数中不能作为直角三角形三边长度的是( )Aa=7，b=24 ，c=25 Ba=1.5 ，b=2，c=2.5C Da=15 ，b=8 ，c=17
13、【考点】勾股定理的逆定理 【分析】根据勾股定理的逆定理对各个选项进行分析，从而得到答案【解答】解：A、满足勾股定理： 72+242=252，故 A 选项不符合题意；B、满足勾股定理：1.5 2+22=2.52，故 B 选项不符合题意；C、不满足勾股定理，不是勾股数，故 C 选项符合题意；D、满足勾股定理：15 2+82=172，故 D 选项不符合题意故选：C【点评】本题考查了用勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长 a，b，c 满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键6如图，DE 是ABC 中 AC 边的垂直平分线，若 BC=8cm，AB=10cm，则EBC 的周长
14、为( )A16cm B28cm C26cm D18cm【考点】线段垂直平分线的性质 【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出 AE=CE，故 CE+BE=AB，再由EBC 的周长=BC+CE+BE=BC+AB 即可得出结论【解答】解：DE 是ABC 中 AC 边的垂直平分线，AE=CE，CE+BE=AB=10cmBC=8cm，EBC 的周长 =BC+CE+BE=BC+AB=8+10=18（cm） 故选 D【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键7如图所示，在 RtABC 中， A=90，BD 平分ABC ，交 AC 于点 D，且A
15、B=4，BD=5，则点 D 到 BC 的距离是( )A3 B4 C5 D6【考点】勾股定理的证明 【分析】先根据勾股定理求出 AD 的长度，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质解答【解答】解：过 D 点作 DEBC 于 EA=90，AB=4，BD=5 ，AD= = =3，BD 平分ABC， A=90，点 D 到 BC 的距离=AD=3故选：A【点评】本题利用勾股定理和角平分线的性质8如图，数轴上有 A、B、C、D 四点，其中与实数 最接近的数所对应的点是( )AA BB CC DD【考点】实数与数轴 【分析】先求出 5 的取值范围，进而可得出结论【解答】解：91016，3 4，2 5
16、1，点 B 与实数 最接近故选 B【点评】本题考查的是实数与数轴，熟知实数与数轴上的点是一一对应 关系是解答此题的关键二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分把答案填在答题卡中对应的横线上） 981 的算术平方根是 9【考点】算术平方根 【分析】直接利用算术平方根的定义得出答案【解答】解：81 的算术平方根是： =9故答案为：9【点评】此题主要考查了算术平方根的定义，正确把握算术平方根的定义是解题关键10角的对称轴是角平分线所在的直线【考点】轴对称图形 【分析】关于某条直线对称的图形叫轴对称图形【解答】解：沿角平分线所在的直线折叠后直线两旁的部分能够完全重合，所以角的对称
17、轴是角平分线所在的直线【点评】注意：对称轴必须说成直线11若一直角三角形两直角边长分别为 6 和 8，则斜边长为 10【考点】勾股定理 【专题】计算题【分析】已知两直角边求斜边可以根据勾股定理求解【解答】解：在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边平方和，故斜边长= =10，故答案为 10【点评】本题考查了根据勾股定理计算直角三角形的斜边，正确的运用勾股定理是解题的关键12已知地球的半径约为 6.4103km，这个近似数精确度为 100km【考点】科学记数法与有效数字 【分析】根据近似数的精确度求解【解答】解：近似数 6.4103Km 精确到百位故答案为：100【点评】本题考查了近似数和有效数
18、字：经过四舍五入得到的数为近似数；从一个数的左边第一个不是 0 的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法13已知直角三角形三边的平方和是 32cm2，则其斜边上的中线长为 2cm【考点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线 【分析】由勾股定理和已知条件得出得出 AB2=16cm2，得出 AB=4cm，由直角三角形斜边上的中线性质得出 CD= AB，即可得出结果【解答】解：如图所示：ACB=90，AC2+BC2=AB2，直角三角形三边的平方和是 32cm2，AB2=16cm2，AB=4cm，斜边 AB
19、上的中线长 = AB=2cm，故答案为：2cm【点评】本题主要考查了勾股定理、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握勾股定理，由勾股定理求出斜边长是解决问题的关键14等腰三角形一腰上的高与另一腰所在直线的夹角为 40，该等腰三角形的顶角等于 50或 130【考点】等腰三角形的性质 【分析】 首先根据题意画出图形，一种情况等腰三角形为锐角三角 形，即可推出顶角的度数为 45另一种情况等腰三角形为钝角三角形，由题意，即可推出顶角的度数【解答】解：如图，等腰三角形为锐角三角形，BDAC，ABD=40，A=50，即顶角的度数为 50如图，等腰三角形为钝角三角形，BDAC，DBA=40，BAD=50，BA
20、C=130故答案为 50或 130【点评】本题主要考查了直角三角形的性质、等腰三角形的性质此题难度适中，解题的关键在于正确的画出图形，结合图形，利用数形结合思想求解15在ABC 中，AB=5，BC=12，AC=13 ，那么 AC 边上的高 = 【考点】勾股定理的逆定理 【分析】先根据勾股定理的逆定理判定ABC 为直角三角形，再利用面积公式求解【解答】解：在ABC 中，AB=5，BC=12 ，AC=13，即 52+122=132，ABC 为直角三角形，且B=90，直角边为 AB，BC，设斜边 AC 上的高为 h，根据三角形的面积公式有：S= 512= 13h，解得 h= 故答案为 【点评】本题考
21、查了勾股定理的逆定理和直角三角形的面积隐含了整体的数学思想和正确运算的能力判定ABC 为直角三角形是解题的关键16如图，已知ABC 中，ABC=45 ，F 是高 AD 和 BE 的交点，CD=3，则线段 DF 的长度为 3【考点】全等三角形的判定与性质 【分析】先证明 AD=BD，再证明FBD=DAC，从而利用 ASA 证明 BDFADC，利用全等三角形对应边相等就可得到结论【解答】证明：AD BC，ADC=FDB=90，ABC=45，BAD=45，AD=BD，BEAC，AEF=90，DAC+AFE=90，FDB=90，FBD+BFD=90，又BFD=AFE，FBD=DAC，在BDF 和 AD
22、C 中，BDFADC，DF=CD，CD=3，DF=3故答案为：3【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质定理，关键是找出能使三角形全等的条件，注意：全等三角形的判定定理有 SAS，ASA，AAS，SSS ，全等三角形的对应边相等，对应角相等17如图，在 RtABC 中， ABC=90，AB=3，AC=5，点 E 在 BC 上，将ABC 沿 AE折叠，使点 B 落在 AC 边上的点 B处，则 BE 的长为 【考点】翻折变换（折叠问题） 【分析】利用勾股定理求出 BC=4，设 BE=x，则 CE=4x，在 RtBEC 中，利用勾股定理解出 x 的值即可【解答】解：BC= =4，由折叠的性质得：
23、BE=BE，AB=AB ，设 BE=x，则 BE=x，CE=4 x，BC=AC AB=ACAB=2，在 RtBEC 中，B E2+BC2=EC2，即 x2+22=（4 x） 2，解得：x= 故答案为： 【点评】本题考查了翻折变换的知识，解答本题的关键是掌握翻折变换的性质及勾股定理的表达式18如图，在ABC 中， ACB=90，BAC=30，在直线 BC 或 AC 上取一点 P，使得PAB 为等腰三角形，这样的点 P 共有 6 个【考点】等腰三角形的判定 【分析】根据等腰三角形的判定， “在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形（简称：在同一三角形中，等边对等角） ”分三种情况解答即可【
24、解答】解：如图，AB 的垂直平分线交 AC 一点 P1（PA=PB） ，交直线 BC 于点 P2；以 A 为圆心，AB 为半径画圆，交 AC 有二点 P3，P 4，交 BC 有一点 P2， （此时AB=AP） ；以 B 为圆心，BA 为半径画圆，交 BC 有二点 P5，P 2，交 AC 有一点 P6（此时BP=BA） 故符合条件的点有 6 个故答案为：6【点评】本题考查了等腰三角形的判定；构造等腰三角形时本着截取相同的线段就能作出等腰三角形来，思考要全面，做到不重不漏三、解答题（本大题共 8 小题，共 66 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ）19 （1）计算：（2）求 x 的值：（x
25、1） 2=9【考点】实数的运算；平方根 【专题】计算题【分析】 （1）先根据零指数幂和进行开方运算得到原式=2 1+2，然后进行加减运算；（2）根据平方根的定义得到 x1=3，然后解两个一次方程即可【解答】解：（1）原式= 21+2=1；（2）x1= 3，所以 x=4 或 2【点评】本题考查了实数的运算：实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方20已知：如图，ACB= ADB=90，AC=AD，E 是 AB 上任意一点（1）BC 与 BD 相等吗？试说明理由（2）CE=DE 吗？为什么？【考点】全等三角形的判
26、定与性质 【分析】 （1）根据 HL 推出 RtACBRtADB，根据全等三角形的性质推出即可；（2）根据全等得出CAB= DAB，根据全等三角形的判定推出ACEADE，根据全等三角形的性质得出即可【解答】解：（1）BC=BD，理由是：ACB= ADB=90，在 RtACB 和 RtADB 中AC=AD，AB=AB ，RtACBRtADB（HL ） ，BC=BD；（2）CE=DE，理由是：Rt ACBRtADB，CAB=DAB，在ACE 和ADE 中，ACEADE（SA S） ，CE=DE【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，能正确运用定理进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的判
27、定定理有 SAS，ASA，AAS，SSS ，全等三角形的对应边相等，对应角相等21数学实验室：实验材料：硬纸板、剪刀、三角板实验方法：剪裁、拼图、探索实验目的：验证勾股定理，拼图填空操作：剪裁出若干个全等的直角三角形，三边长分别记为 a、b、c，如图（1）拼图一：分别用 4 张直角三角形纸片，拼成如图、图的形状，观察图 、图可发现，图中两个小正方形的面积之和等于图 中小正方形的面积， （填“大于”“小于”“等于 ”）用关系式可表示为 a2+b2=c2（2）拼图二：用 4 张直角三角形纸片拼成如图的形状，观察图形可以发现，图中共有3 个正方形，它们的面积按大小顺序分别记为 S 大 ，S 中 ，S
28、 小 ，其关系是 S 大 =S 中 +S 小 ，用 a、b、c 可表示为 a2+b2=c2（3）拼图三：用 8 张直角三角形纸片拼成如图的形状，图中 3 个正方形的面积按大小顺序分别记为 S 大 ，S 中 ，S 小 ，其关系是 S 大 +S 小 =2S 中 ，用 a、b、c 可表示为 a2+b2=c2【考点】勾股定理的证明【分析】 （1）根据图和中两个大正方形的边长相等，则面积相等，而图 中两个小正方形的面积的和以及图中的正方形面积都是大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，据此即可判断；（2）根据图中三个正方形可以分成直角三角形的面积的和，以及确定重合部分即可求解；（3）根据图中三个正方形可
29、以分成直角三角形的面积的和，以及确定重合部分即可求解【解答】解：（1）图中两个小正方形的面积之和等于图中小正方形的面积，用关系式可表示为 a2+b2=c2故答案是：等于，a 2+b2=c2；（2）S 大 =S 中 +S 小 ，a 2+b2=c2；（3）S 大 S 中 =S 中 S 小 或 S 大 +S 小 =2S 中 ，a 2+b2=c2【点评】本题考查了证明勾股定理，勾股定理的证明一般考查图形面积的关系，锻炼了同学们的数形结合的思想方法22如图，A、C 两乡镇到水渠边 l 的距离分别为 AB=2km，CD=4km，且 BD=8km（1）在水渠边 l 上要建一个水电站 P，使得 PA+PC 最
30、小，请在图中画出 P 的位置（保留作图痕迹） ，不必说明理由（2）求出 PA+PC 最小值【考点】轴对称-最短路线问题；作图 应用与设计作图 【分析】 （1）作点 A 关于直线 l 的对称点 A，连接 AC 交 l 于点 P，则 P 点即为所求点；（2）过 A作 AECD，交 CD 的延长线于 E，再根据勾股定理即可得出 AC 的长【解答】解：（1）如图；（2）由作图可得最短路程为 AC 的距离，过 A作 AECD，交 CD 的延长线于 E，则 DE=AB=AB=2km，AE=BD=8km，CE=2+4=6km，根据勾股定理可得，AC= =10km即 PA+PC 最小值为 10km【点评】本题
31、考查的是轴对称最短路线问题，熟知两点之间线段最短是解答此题的关键23已知：如图 AC=BD，AB=DC证明：（1）A 与D；（2）OB=OC【考点】全等三角形的判定与性质 【专题】证明题【分析】 （1）连接 BC，根据 SSS 推出 BCDCBA，根据全等三角形的性质得出即可；（2）根据全等三角形的性质得 出 ACB=DBC，根据等角对等边得出即可【解答】证明：（1）连结 BC，在BCD 和CBA 中，BCDCBA（SSS ） ，A=D；（2）BCDCBA，ACB=DBC，OB=OD【点评】此题主要考查 了全等三角形的判定和性质定理，等腰三角形的性质的应用，关键是找出能使三角形全等的条件，注意
32、：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS ，SSS，全等三角形的对应边相等，对应角相等2411 世纪的一位阿拉伯数学家曾提出一个“鸟儿捉鱼”的问题：小溪边长着两棵棕榈树，恰好隔岸相望一棵树高是 30 肘尺（肘尺是古代的长度单位） ，另外一棵高 20 肘尺；两棵棕榈树的树干间的距离是 50 肘尺每棵树的树顶上都停着一只鸟忽然，两只鸟同时看见棕榈树间的水面上游出一条鱼，它们立刻以相同的速度飞去抓鱼，并且同时到达目标问这条鱼出现的地方离开比较高的棕榈树的树跟有多远？【考点】勾股定理的应用 【分析】根据题意画出图形，利用勾股定理建立方程，求出 x 的值即可【解答】解：画图解决，通过建模把距离转化
33、为线段的长度由题意得：AB=20 ，DC=30 ， BC=50，设 EC 为 x 肘尺，BE 为（50x）肘尺，在 RtABE 和 RtDEC 中，AE2=AB2+BE2=202+（50x） 2，DE 2=DC2+EC2=302+x2，又 AE=DE，x2+302=（50x） 2+202，x=20，答：这条鱼出现的地方离比较高的棕榈树的树根 20 肘尺另解：设：这条鱼出现的地方离比较高的棕榈树的树根肘尺，则这条鱼出现的地方离比较低的棕榈树的树根（50x）肘尺得方程：x 2+302=（50x） 2+202，可解得：x=20；答：这条鱼出现的地方离比较高的棕榈树的树根 20 肘尺【点评】本题考查勾
34、股定理的正确运用；善于挖掘题目的隐含信息是解决本题的关键25中国对南沙群岛及其附近海域拥有无可争辩的主权2015 年 10 月 27 日，美国拉森号军舰未经中国政府允许，非法进入中国南沙群岛有关岛礁邻近海域中国海军盐城舰加大南沙海域的巡航维权力度如图，OAOB，OA=45 海里，OB=15 海里，渚碧礁位于 O 点，盐城舰在点 B 处发现美国拉森号军舰，自 A 点出发沿着 AO 方向匀速驶向渚碧礁所在地O 点，盐城舰立即从 B 处出发以相同的速度沿某直线去拦截拉森号军舰，结果在点 C 处截住了拉森号军舰（1）请用直尺和圆规作出 C 处的位置；（2）求盐城舰行驶的航程 BC 的长【考点】勾股定理
35、的应用 【分析】 （1）连接 AB，作 AB 的垂直平分线交 AO 于点 C，进而得出答案；（2）利用勾股定理，在 RtOBC 中，15 2+（45 x） 2=x2，进而得出答案【解答】解：（1）作 AB 的垂直平分线与 OA 相交于点 C；（2）设 BC=AC=x，OC 为（45 x） ，在 RtOBC 中，15 2+（45 x） 2=x2，解得：x=25，答：盐城舰行驶的航程 BC 的长 25 海里【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，根据题意正确应用勾股定理是解题关键26 （1）阅读理解：如图 1，等边ABC 内有一点 P 若点 P 到顶点 A，B ，C 的距离分别为 3，4，5，求AP
36、B的大小思路点拨：考虑到 PA，PB，PC 不在一个三角形中，采用转化与化归的数学思想，可以将ABP 绕顶点 A 逆时针旋转 60到ACP处，此时ACP ABP，这样，就可以利用全等三角形知识，结合已知条件，将三条线段的长度转化到一个三角形中，从而求出APB 的度数请你写出完整的解题过程（2）变式拓展：请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题：已知如图 2，ABC 中， CAB=90，AB=AC，E、F 为 BC 上的点且 EAF=45，BE=5，CF=4，求 EF 的大小【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理；旋转的性质 【分析】 （1）根据等边三角形
37、的性质得出 AB=AC， BAC=60，根据旋转得出ACP ABP，求出 PA=PA=3，PB=PC=4 ， BAP=CAP，求出PAP= BAC=60，推出PAP 是等边三角形，求出 PP=PA=3，根据勾股定理的逆定理求出PPC=90 ，即可得出答案；（2）根据旋转得出ACEABE，根据全等得出 AE=AE，BE=CE，EAC= BAE，求出FAE =EAF，根据全等三角形的判定推出 AEFAEF，推出 FE=FE，根据勾股定理求出 EF 即可【解答】解：（1）三角形 ABC 是等边三角形，AB=AC，BAC=60，如图 1，将ABP 绕顶点 A 逆时针旋转 60到ACP处，则ACP AB
38、P，PA=PA=3，PB=PC=4 ， BAP=CAP，PAP=PAC+CAP=PAC+BAP=BAC=60，PAP是等边三角形，PP=PA=3，在PPC 中，PP 2+PC2=9+15=25=PC2，PPC 是直角三角形，PPC=90，APB=APC=60+90=150；（2）将ABE 绕顶点 A 逆时针旋转 90到ACE处，则ACE ABE，AE=AE，BE=CE ，EAC=BAE，BAC=90，EAF=45，BAE+CAF=45，FAE=EAC+FAC=BAE+FAC=45=EAF，在AEF 和 AEF 中，AEFAEF，FE=FE，BAC=90，AB=AC，B=ACB=45，ECA=B=45，ECF=45+45=90，在 RtEFC 中，E C2+FC2=EF2，EF2=BE2+CF2=52+42=41，EF= 【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理和勾股定理的逆定理的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，证明过程类似
