1、九年级上学期期中数学试卷一、选择题（单项选择，每小题 3 分，共 21 分）1与 是同类二次根式的是( )A2 B C3 D2一元二次方程 x29=0 的根是( )Ax=9 Bx= 9 Cx=3 Dx=33已知 ，则 的值为( )A B C D4下列计算正确的是( )A2 +4 =6 B =4 C =3 D =25用配方法解方程 x2+4x1=0，下列配方结果正确的是( )A （x+2） 2=5 B （x+2） 2=1 C （x 2） 2=1 D （x2） 2=56如图，在一块长为 20m，宽为 15m 的矩形绿化带的四周扩建一条宽度相等的小路（图中阴影部分） ，建成后绿化带与小路的总面积为
2、546m2，如果设小路的宽度为 x m，那么下列方程正确的是( )A （15 x）=546 B （15+x）=546C （152x）=546 D （15+2x）=5467已知关于 x 的一元二次方程 x2+ax+b=0 有一个非零根 b，则 ab 的值为( )A1 B 1 C0 D2二、填空题（每小题 4 分，供 40 分）8计算： =_9若二次根式 有意义，则 x 的取值范围是_10计算： =_11已知 x=3 是方程 x2mx=0 的一个实数根，则 m 的值是_12如图所示，DE 是ABC 的中位线，BC=8 ，则 DE=_13地图上两点间的距离为 3 厘米，比例尺是 1：1000000，
3、那么两地的实际距离是_千米14若两个三角形的相似比为 2：3，则这两个三角形周长的比为_15已知 a，b 是方程 x2x3=0 的两个根，则 a+b=_；ab=_16如图，在 RtABC 中， BAC=90，AD BC，则图中相似的三角形有_（写出一对即可） 17如图，在平面直角坐标系中，四边形 OBCD 是边长为 4 的正方形，平行于对角线 BD的直线 l 从 O 出发，沿 x 轴正方向以每秒 1 个单位长度的速度运动，运动到直线 l 与正方形没有交点为止（1）四边形 OBCD 的周长为_；（2）当直线 l 运动的时间为 _ _秒时，直线 l 扫过正方形 OBCD 的面积为 13三、解答题（
4、共 89 分）18计算：（1） 3 5 ；（2） （3+ ） （3 ） 19解方程：（1）x 2+6x=0（2）3x 2+7x2=020如图，ADBE CF，直线 L1，L 2 与直线分别交于点 A、B、C 和点 D、E、F已知AB=4，BC=5 ， DE=5，求 EF 的长21如图，在ABC 中，DEBC，EF AB，求证：ADE EFC22已知：关于 x 的一元二次方程 x2+ax+a2=0（1）求证：无论 a 取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；（2）当方程的一个根为2 时，求方程的另一个根23如图，ABC 三个顶点坐标分别为 A（2，3） ，B（3，1） ，C（ 1，1） （1）
5、请画出ABC 关于 y 轴对称的 A1B1C1；（2）以原点 0 为位似中心，将ABC 放大为原来的 2 倍，得到 A2B2C2，请在第四象限内画出A 2B2C2，并直接写出A 1B1C1 与A 2B2C2 的面积的比值S ：S=_：_24如图，要利用一面墙（墙长为 25 米）建羊圈，用 100 米的围栏围成总面积为 400 平方米的三个大小相同的矩形羊圈，羊圈的边长 AB 为多少米？25在矩形 ABCD 中，AB=a，AD=8（1）填空：矩形 ABCD 的面积为_；（用含 a 的代数式表示）（2）将矩形 ABCD 折叠，使得顶点 B 落在 CD 边上的 P 点处（如图 1） ，折痕与边 bc
6、 交与点 O，连结 AP、OP 、OA求证： OCPPDA；（3）在（2）的条件下，若OCP 与 PDA 的面积比为 1：4求 a 的值；擦去 AO、OP， ；连结 BP（如图 2） 动点 M 在线段 AP 上（与 p、A）不重合） ，动点N 在线段 AB 的延长线上，且 BN=PM，连结 MN 交 PB 于点 F，作 MEBP 于点 E试问当点 M、N 在移动过程中，线段 EF 的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段 EF 的长度26如图，A（4，0） ，B（2，4） ，C（0，4） ，直线 y=x3，与 y 轴、x 轴分别交与 D、E两点，P 是折线 BCCO 上的动点 （
7、1）直接写出 D、E 两点的坐标 D（_） 、E（_） ；（2）当 P 是线段 BC 的中点时，求PDE 的面积；（3）若 P 在线段 OC 上，过 P 作直线 y=x3 的垂线，垂足为 F，若以 P，F，O 为顶点的三角形是等腰三角形，求出所有满足条件的点 P 的坐标一、选择题（单项选择，每小题 3 分，共 21 分）1与 是同类二次根式的是( )A2 B C3 D考点：同类二次根式 分析：根据同类二次根式的概念对各选项进行逐一分析即可解答： 解：A、2 与 被开方数相同，是同类二次根式，故本选项正确；B、 与 被开方数不相同，不是同类二次根式，故本选项错误；C、3 不是二次根式，故本选项错
8、误；D、 与 被开方数不相同，不是同类二次根式，故本选项错误故选 A点评：本题考查的是同类二次根式，熟知一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式是解答此题的关键2一元二次方程 x29=0 的根是( )Ax=9 Bx=9 Cx=3 Dx=3考点：解一元二次方程-直接开平方法 分析：首先把9 移到方程的右边，然后两边直接开平方即可解答： 解：x 29=0，移项得：x 2=9，两边直接开平方得：x=3，故选：D点评：此题主要考查了直接开方法解一元二次方程，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成 x2=
9、a（a0）的形式，利用数的 开方直接求解3已知 ，则 的值为( )A B C D考点：比例的性质 分析：根据比例设 a=3k，b=5k，然后代入比例式进行计算即可得解解答： 解： = ，设 a=3k，b=5k，则 = = 故选 C点评：本题考查了比例的性质，利用“设 k 法”表示出 a、b 可以使计算更加简便4下列计算正确的是( )A2 +4 =6 B =4 C =3 D =2考点：二次根式的混合运算 专题：计算题分析：根据二次根式的加减法对 A 进行判断；根据二次根式的乘法法则对 B 进行判断；根据二次根式的除法法则对 C 进行判断；根据二次根式的性质对 D 进行判断解答： 解：A、2 与
10、4 不能合并，所以 A 选项错误；B、原式= =2 ，所以 B 选先个错误；C、原式= =3，所以 C 选项正确；D、原式=2，所以 D 选项错误故选 C点评：本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式5用配方法解方程 x2+4x1=0，下列配方结果正确的是( )A （x+2） 2=5 B （x+2） 2=1 C （x 2） 2=1 D （x2） 2=5考点：解一元二次方程-配方法 分析：在本题中，把常数项1 移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数 4 的一半的平方解答： 解：把方程 x2+4x1=0 的常数项移到等号的右边，得到
11、 x2+4x=1方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到 x2+4x+4=1+4配方得（x+2） 2=5故选：A点评：本题考查了配方法解一元二次方程配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为 1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为 1，一次项的系数是 2 的倍数6如图，在一块长为 20m，宽为 15m 的矩形绿化带的四周扩建一条宽度相等的小路（图中阴影部分） ，建成后绿化带与小路的总面积为 546m2，如果设小路的宽度为 x m，那么下列方程正确的是( )A （15x）=546 B （15+x）=5
12、46C （152x） =546 D （15+2x）=546考点：由实际问题抽象出一元二次方程 专题：几何图形问题分析：根据矩形面积公式为新的长新的宽=546，由此可列方程解答： 解：依题意得：（1 5+2x）=546故选：D点评：本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式，然后根据题意列出方程7已知关于 x 的一元二次方程 x2+ax+b=0 有一个非零根 b，则 ab 的值为( )A1 B 1 C0 D2考点：一元二次方程的解 分析：由于关于 x 的一元二次方程 x2+ax+b=0 有一个非零根 b，那么代入方程中即可得到b2ab+b=0，再将方程两边同时除
13、以 b 即可求解解答： 解：关于 x 的一元二次方程 x2+ax+b=0 有一个非零根b，b2ab+b=0，b0，b0，方程两边同时除以 b，得 ba+1=0，ab=1故选：A点评：此题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是把已知方程的 根直接代入方程进而解决问题二、填空题（每小题 4 分，供 40 分）8计算： =4考点：二次根式的乘除法 分析：根据二次根式的乘法运算法则解答解答： 解：原式=4故答案为：4点评：本题主要考查二次根式的乘除法，二次根式的乘法运算法则 = （a 0，b0） 9若二次根式 有意义，则 x 的取值范围是 x2考点：二次根式有意义的条件 分析：根据二次根式有意义的条
14、件，可得 x20，解不等式求范围解答： 解：根据题意，使二次根式 有意义，即 x20，解得 x2；故答案为：x2 点评：本题考查二次根式的意义，只需使被开方数大于或等于 0 即可10计算： =4 考点：二次根式的混合运算 专题：计算题分析：根据二次根式的乘法法则运算解答： 解：原式= 2 =4 故答案为 点评：本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式11已知 x=3 是方程 x2mx=0 的一个实数根，则 m 的 值是 3考点：一元二次方程的解 分析：根据方程解的定义，把 x=3 代入方程，即可得到一个关于 m 的方程，即可求
15、得 m的值解答： 解：把 x=3 代入已知方程，得323m=0，解得 m=3故答案是：3点评：本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值即用这个数代替未知数所得式子仍然成立12如图所示，DE 是ABC 的中位线，BC=8 ，则 DE=4考点：三角形中位线定理 分析：易得 DE 是ABC 的中位线，那么 DE 应等于 BC 长的一半解答： 解：根据三角形的中位线定理，得：DE= BC=4故答案为 4点评：考查了三角形的中位线定理的数量关系：三角形的中位线等于第三边的一半13地图上两点间的距离为 3 厘米，比例尺是 1：
16、1000000，那么两地的实际距离是 30 千米考点：比例线段 分析：根据图上距离与比例尺，求实际距离，即图上距离除以比例尺解答： 解：根据题意，3 =3000000 厘米=30 千米即实际距离是 30 千米点评：掌握比例线段的定义及比例尺，并能够灵活运用14若两个三角形的相似比为 2：3，则这两个三角形周长的比为 2：3考点：相似三角形的性质 分析：根据相似三角形的性质：周长比等于相似比即可解得解答： 解：两个相似三角形的相似比为 2：3，它们的周长比为：2：3故答案为：2：3点评：此题主要考查相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比15已知 a，b 是方程 x2x3=0 的两个根，则
17、 a+b=1；ab= 3考点：根与系数的关系 专题：计算题分析：直接根据根与系数的关系求解解答： 解：根据题意得 a+b=1，ab=3故答案为 1，3 点评：本题考查了根与系数的关系：若 x1，x 2 是一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的两根时，x 1+x2= ，x 1x2= 16如图，在 RtABC 中， BAC=90，AD BC，则图中相似的三角形有BADACD（写出一对即可） 考点：相似三角形的判定 分析：根据直角三角形的性质：直角三角形斜边上的高线，把这个三角形分成的两个三角形与原三角形相似解答： 解：B+ C=90， B+BAD=90，C=BAD，又BAC=BDA= ADC
18、=90，BADACDBCA故答案可为：BAD ACD点评：考查了相似三角形的判定，本题利用了有两组对应角相等的两三角形相似17如图，在平面直角坐标系中，四边形 OBCD 是边长为 4 的正方形，平行于对角线 BD的直线 l 从 O 出发，沿 x 轴正方向以每秒 1 个单位长度的速度运动，运动到直线 l 与正方形没有交点为止（1）四边形 OBCD 的周长为 16；（2）当直线 l 运动的时间为 8 秒时，直线 l 扫过正方形 OBCD 的面积为 13考点：正方形的性质；坐标与图形性质；等腰直角三角形 专题：动点型分析 ：（1）根据正方形的四条边都相等列式计算即可得解；（2）设直线 l 与 BC、
19、CD 分别相交于点 M、N ，与 x 轴相交于点 E，判断出 MNC 和BME 都是等腰直角三角形，然后求出 CM，再求出 BM，从而得到 OE 的长度，再利用时间=路程速度计算即可得解解答： 解：（1）四边形 OBCD 是边长为 4 的正方形，四边形 OBCD 的周长为：4 4=16；（2）如图，设直线 l 与 BC、 CD 分别相交于点 M、N ，与 x 轴相交于点 E，直线 l 平行于正方形的对角线 BD，MNC 和BME 都是等腰直角三角形，直线 l 扫过正方形 OBCD 的面积为 13，MNC 的面积=4 213=3， CM2=3，解得 CM= ，BE=BM=4 ，OE=4+（4 ）
20、=8 ，直线 l 沿 x 轴正方向以每秒 1 个单位长度的速度运动，运动时间 t=（8 ） 1=8 故答案为：16；8 点评：本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的面积，难点在于（2）求出直线与 x 轴的交点到原点 O 的距离三、解答题（共 89 分）18计算：（1） 3 5 ；（2） （3+ ） （3 ） 考点：二次根式的混合运算 分析：（1）首先化简二次根式，进而求出即可；（2）直接利用平方差公式求出即可解答： 解：（1） 3 5=2 8=6 ；（2） （3+ ） （3 ）=92=7点评：此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键19解方程：（1）x
21、 2+6x=0（2）3x 2+7x2=0考点：解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程 -公式法 分析：（ 1）直接利用提取公因式法分解因式得出即可；（2）直接利用公式法求出方程的根即可解答： 解： （1）x 2+6x=0，x（x+6）=0，解得：x 1=0，x 2=6；（2）3x 2+7x2=0，=b24ac=4943（ 2）=730，x= ，解得：x 1= ，x 2= 点评：此题主要考查了因式分解法以及公式法解一元二次方程，熟练应用公式法解方程是解题关键20如图，ADBE CF，直线 L1， L2 与直线分别交于点 A、B、C 和点 D、E、F已知AB=4，BC=5 ， DE=5，求 E
22、F 的长考点：平行线分线段成比例 专题：计算题分析：根据平行线分线段成比例定理得到 = ，即 = ，然后利用比例的性质求解解答： 解：A DBECF， = ，即 = ，EF= 点评：本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例21如图，在ABC 中，DEBC，EF AB，求证：ADE EFC考点：相似三角形的判定；平行线的性质 专题：证明题分析：根据平行线的性质可知AED= C，A=FEC，根据相似三角形的判定定理可知ADEEFC解答： 证明：DEBC，AED=C又 EFAB，A=FECADEEFC点评：本题考查的是平行线的性质及相似三角形的判定定理22已知：关于
23、x 的一元二次方程 x2+ax+a2=0（1）求证：无论 a 取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；（2）当方程的一个根为2 时，求方程的另一个根考点：根的判别式；根与系数的关系 分析：（1）要想证明对于任意实数 k，方程有两个不相等的实数根，只要证明0 即可；（2）把方程的一根代入原方程求出 a 的值，然后把 a 的值代入原 方程求出方程的另一个根解答： （1）证明：=a 241（a 2）=a 24a+8=（a 2） 2+4（ a2） 20（ a2） 2+400无论 a 取任何实数时，方程总有两个不相等的实数根（2）解：此方程的一个根为242a+a2=0a=2一元二次方程为：x 2+2x
24、=0方程的根为：x 1=2，x 2=0方程的另一个根为 0点评：本题重点考查了一元二次方程根的判别式以及解一元二次方程的方法23如图，ABC 三个顶点坐标分别为 A（2，3） ，B（3，1） ，C（ 1，1） （1）请画出ABC 关于 y 轴对称的 A1B1C1；（2）以原点 0 为位似中心，将ABC 放大为原来的 2 倍，得到 A2B2C2，请在第四象限内画出A 2B2C2，并直接写出A 1B1C1 与A 2B2C2 的面积的比值S ：S=1：4考点：作图-位似变换；作图 -轴对称变换 专题：网格型分析：（1）利用关于 y 轴对称点的性质得出对应点得出即可；（2）利用位似图形的性质得出对应点
25、坐标进而得出答案解答： 解；（1）如图所示：A 1B1C1 即为所求；（2）如图所示：A 2B2C2 即为所求；S ：S =1：4故答案为：1：4点评：此题主要考查了位似变换与轴对称变换，得出对应点位置是解题关键24如图，要利用一面墙（墙长为 25 米）建羊圈，用 100 米的围栏围成总面积为 400 平方米的三个大小相同的矩形羊圈，羊圈的边长 AB 为多少米？考点：一元二次方程的应用 专题：几何图形问题分析：设 AB 的长度为 x，则 BC 的长度为（1004x）米；然后根据矩形的面积公式列出方程解答： 解：设 AB 的长度为 x，则 BC 的长度为（1004x）米根据题意得 （1004x）
26、x=400，解得 x1=20，x 2=5则 1004x=20 或 1004x=808025 ，x2=5 舍去即 AB=20，BC=20答：羊圈的边长 AB，BC 分别是 20 米、20 米点评：本题考查了一元二次方程的应用解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解25在矩形 ABCD 中，AB=a，AD=8（1）填空：矩形 ABCD 的面积为 8a；（用含 a 的代数式表示）（2）将矩形 ABCD 折叠，使得顶点 B 落在 CD 边上的 P 点处（如图 1） ，折痕与边 bc 交与点 O，连结 AP、OP 、OA求证： OCPPDA；（3）在（2）的条
27、件下，若OCP 与 PDA 的面积比为 1：4求 a 的值；擦去 AO、OP， ；连结 BP（如图 2） 动点 M 在线段 AP 上（与 p、A）不重合） ，动点N 在线段 AB 的延长线上，且 BN=PM，连结 MN 交 PB 于点 F，作 MEBP 于点 E试问当点 M、N 在移动过程中，线段 EF 的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段 EF 的长度考点：相似形综合题 分析：（1）根据矩形的面积公式计算即可；（2）根据折叠的性质证得两对对应角分别相等，即可证得两个三角形相似；（3）根据相似三角形的性质求出 PC 长以及 AP 与 OP 的关系，然后在 RtPCO 中运用勾
28、股定理求出 OP 长，从而求出 AB 长，于是得到 a 的值；由边相等常常联想到全等，但 BN 与 PM 所在的三角形并不全等，且这两条线段的位置很不协调，可通过作平行线构造全等，然后运用三角形全等及等腰三角形的性质即可推出EF 是 PB 的一半，只需求出 PB 长就可以求出 EF 长解答： 解：（1）S 矩形 ABCD=ABAD=8a；故答案为：8a；（2）如图 1，四边形 ABCD 是矩形，AD=BC，DC=AB， DAB=B=C=D=90由折叠可得：AP=AB，PO=BO，PAO=BAO，APO=BAPO=90APD=90CPO=POCD=C，APD=POCOCPPDA（3）OCP 与P
29、DA 的面积比为 1：4， = = = = PD=2OC，PA=2OP，DA=2CP AD=8，CP=4，BC=8设 OP=x，则 OB=x，CO=8x在 RtPCO 中，C=90，CP=4 ，OP=x，CO=8x，x2=（8 x） 2+42解得：x=5AB=AP=2OP=10边 AB 的长为 10，a=10；作 MQAN，交 PB 于点 Q，如图 2AP=AB，MQ AN，APB=ABP，ABP= MQPAPB=MQPMP=MQMP=MQ，MEPQ，PE=EQ= PQBN=PM，MP=MQ ，BN=QMMQAN，QMF=BNF在MFQ 和 NFB 中，MFQNFBQF=BFQF= QBEF=
30、EQ+QF= PQ+ QB= PB由（1）中的结论可得：PC=4，BC=8， C=90PB= =4 EF= PB=2 当点 M、N 在移动过程中，线段 EF 的长度不变，长度为 2 点评：本题考查了相似三角形的性质和判定、全等三角形的性质和判定、矩形的性质、等腰三角形的性质和判定、勾股定理、特殊角的三角函数值等知识，综合性比较强，而添加适当的辅助线是解决最后一个问题的关键26如图，A（4，0） ，B（2，4） ，C（0，4） ，直线 y=x3，与 y 轴、x 轴分别交与 D、E两点，P 是折线 BCCO 上的动点 （1）直接写出 D、E 两点的坐标 D（0， 3） 、E（0，3） ；（2）当
31、P 是线段 BC 的中点时，求PDE 的面积；（3）若 P 在线段 OC 上，过 P 作直线 y=x3 的垂线，垂足为 F，若以 P，F，O 为顶点的三角形是等腰三角形，求出所有满足条件的点 P 的坐标考点：一次函数综合题 分析：（1）根据直线直线 y=x3 即可求得 D、E 的坐标；（2）求得 P 的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线 PD 的解析式，进而求得直线 PD与 x 轴的交点坐标，根据PDE 的面积等于两个三角形面积的 和即可求得；（3）设 P（0，a） （0 a4） ，F（b，b3） ，过 F 作 FHy 轴于 H，先求得ODE=45 ，进而求得HPF=45 ，得出 PH=FH
32、，从而求得 b= ，根据勾股定理求得 OF2= ，PF 2=（） 2，然后分三种情况讨论求得；解答： 解：（1）直线 y=x3，与 y 轴、x 轴分别交与 D、E 两点，D（ 0， 3） ，E（3，0） ；故答案为 0，3 、3，0（2）如图 1，设直线 PD 的解析式为 y=kx+b，P 是线段 BC 的中点，B （2，4） ，C （0，4） ，P（ 1，4） ，D（ 0， 3） ， ，解得 k=7，PD 的解析式为 y=7x3，直线 PD 与 x 轴的交点为（ ，0） ，PDE 的面积= （3 ）4+ （3 ）3=9；（3）如图 2，设 P（0，a） （0a 4） ，F（b，b3） ，过
33、F 作 FHy 轴于 H，OD=OE，ODE=45，HPF=45，PH=FH，即 a（b 3）=b ，解得 b= ，OF2=b2+（b3） 2=（ ） 2+（ 3） 2= ，PF 2=b2+（a b+3） 2=（ ）2+（a +3） 2=（ ） 2，当 OP=OF 时，a 2= ，解得 a=3，P （0，3） ；当 OP=PF 时， a2=（ ） 2，解得 a=33 ，不合题意舍去；当 PF=OF 时， （ ） 2= ，解得 a=0，不合题意舍去；以 P，F，O 为顶点的三角形是等腰三角形，点 P 的坐标为（0，3） 点评：本题考查了待定系数法求解析式，三角形面积的求法，勾股定理的应用，等腰直角三角形的判定和性质；（3）作出辅助线根据等腰直角三角形是关键
