1、2015-2016 学年九年级（上）期中数学试卷一、填空题（每题 2 分，共 24 分）1一个一元二次方程，未知数为 x，二次项的系数为 2，一次项的系数为 3，常数项为6，请你写出它的一般形式_2已知关于 x 的一元二次方程 x2+kx+k=0 的一个根是2，那么 k=_3方程 3x2=x 的解是_，方程 x22x3=0 的根是_4若方程 x23x+m=0 有两个相等的实数根，则 m=_，两个根分别为_5已知 x1、x 2 是方程 2x2+3x4=0 的两个根，那么x1+x2=_； =_6等腰三角形的底和腰是方程 x26x+8=0 的两根，则这个三角形的周长为_7一种药品经过两次降价后，每盒
2、的价格由原来的 60 元降到 48.6 元；那么平均每次降价的百分率是：_8一圆锥的侧面展开后是扇形，该扇形的圆心角为 120，半径为 6cm，则此圆锥的表面积为_cm 29如图，O 的弦 CD 与直径 AB 相交，若 BAD=50，则 ACD=_10如图，O 的直径 CD 垂直于弦 EF，垂足为 G，若EOD=40，则 DCF 等于_度11如图，PA、PB、EF 分别切 O 于 A、B、D，若 PA=10cm，则 PEF 的周长是_ cm，若 P=35，则AOB=_（度） ，EOF=_（度） 12如图，O 的半径为 3cm，B 为 O 外一点，OB 交 O 于点 A，AB=OA，动点 P 从
3、点 A 出发，以 cm/s 的速度在O 上按逆时针方向运动一周回到点 A 立即停止当点 P运动的时间为_s 时，BP 与O 相切二、选择题（每题 3 分，共 18 分）13下列方程中，一元二次方程有( )3x2+x=20； 2x23xy+4=0； ； x2=1；A2 个 B3 个 C4 个 D5 个14下列命题：长度相等的弧是等弧； 任意三点确定一个圆； 相等的圆心角所对的弦相等；外心在三角形的一条边上的三角形是直角三角形，其中真命题共有( )A1 个 B2 个 C3 个 D0 个15若直角三角形的两直角边长分别为 5、12，则它的内切圆的半径为( )A6 B2.5 C2 D416在半径为 3
4、 的圆中，150的圆心角所对的弧长是( )A B C D17在一幅长 80 厘米，宽 50 厘米的矩形风景画的四周镶一条金色的纸边，制成一幅矩形挂图，如图，如果 要使整个挂图的面积是 5400 平方厘米，设金色纸边的宽为 x 厘米，那么满足的方程是( )Ax 2+130x1400=0 Bx 2+65x350=0Cx 2130x1400=0 Dx 265x350=018如图，王虎使一长为 4cm，宽为 3cm 的长方形木板，在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向）木板上点 A 位置变化为 AA1A2，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木板与桌面成 30角，则点 A 翻滚到 A2 位置时共走过的路
5、径长为( )A10cm B4cm C D三、解答题 （共 78 分）19 （16 分）解方程（1）2x（x+3）=6 （x+3 ）（2） （2x1） 2=5（3）y 2y=12（4）2x 25x+1=020某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面（1）请你补全这个输水管道的圆形截面；（2）若这个输水管道有水部分的水面宽 AB=16cm，水面最深地方的高度为 4cm，求这个圆形截面的半径21阅读材料：为解方程（x 21） 25（x 21）+4=0，我们可以将 x21 视为一个整体，然后设x21=y，则（x 21） 2
6、=y2，原方程化为 y25y+4=0解得 y1=1，y 2=4当 y=1 时，x 21=1x 2=2 x= ；当 y=4 时，x 21=4，x 2=5， x= 原方程的解为 x1= ，x 2= ，x 3= ，x 4= 解方程：（x 2+1） 2（x 2+1）6=022已知关于 x 的方程 x22（ k3）x+k 24k1=0（1）若这个方程有实数根，求 k 的取值范围；（2）若此方程有一个根是 1，请求出 k 的值23我们知道：对于任何实数 x，x20，x 2+10；（x ） 20， （x ） 2+ 0模仿上述方法解答：求证：（1）对于任何实数 x，均有：2x 2+4x+30；（2）不论 x
7、为何实数，多项式 3x25x1 的值总大于 2x24x2 的值24已知：如图，ABC 中，AB=AC ，以 AB 为直径的O 交 BC 于点 P，PDAC 于点D（1）求证：PD 是 O 的切线；（2）若CAB=120 ，AB=2 ，求 BC 的值25某种产品的年产量不超过 1000t，该产品的年产量（t ）与费用（万元）之间的函数关系如图 1；该产品的年销售量（t）与每吨销售价（万元）之间的函数关系如图 2（1）设产品的费用为 y（万元） ，试写出 y 与 t 的函数关系式 （2）若生产出的产品都能在当年销售完，则年产量为多少吨时，当年可获得 7500 万元毛利润？（毛利润=销售额 费用）2
8、6某商店进了一批服装，进货单价为 50 元，如果按每件 60 元出售，可销售 800 件，如果每件提价 5 元出售，其销售量就减少 100 件（1）现在获利 12000 元，且销售成本不超过 24000 元，问这种服装销售单价应定多少元？（2）这种服装销售单价应定多少元时能使商店获利最多？最多是多少元？27如图，在平面直角坐标系中，矩形 ABCO 的面积为 15，边 OA 比 OC 大 2E 为 BC的中点，以 OE 为直径的O 交 x 轴于 D 点，过点 D 作 DFAE 于点 F（1）求 OA、OC 的长；（2）求证：DF 为 O的切线；（3）小明在解答本题时，发现AOE 是等腰三角形由此
9、，他断定：“直线 BC 上一定存在除点 E 以外的点 P，使AOP 也是等腰三角形，且点 P 一定在O外”你同意他的看法吗？请充分说明理由一、填空题（每题 2 分，共 24 分）1一个一元二次方程，未知数为 x，二次项的系数为 2，一次项的系数为 3，常数项为6，请你写出它的一般形式 2x2+3x6=0【考点】一元二次方程的一般形式 【分析】任何一个关于 x 的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a 0） 这种形式叫一元二次方程的一般形式其中 ax2 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项；c 叫做常数项一次项系数 b 和常数项 c 可取任意实数，二次项系数
10、a 是不等于 0 的实数可确定答案【解答】解：由题意得：2x 2+3x6=0故答案为：2x 2+3x6=0【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握一元二次方程的一般形式为 ax2+bx+c=0（a 0） 2已知关于 x 的一元二次方程 x2+kx+k=0 的一个根是2，那么 k=4【考点】一元二次方程的解 【专题】计算题【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的定义，方程的根就是能使方程的左右两边相等的未知数的值，因而把 x=2 代入方程就得到一个关于 k 的方程，就可以求出 k 的值【解答】解：根据题意将 x=2 代入方程得 42k+k=0，解得 k=4故本题答案为 k=4【点
11、评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义，逆用一元二次方程解的定义易得出 k 的值3方程 3x2=x 的解是 x1=0，x 2= ，方程 x22x3=0 的根是 x1=3，x 2 =1【考点】解一元二次方程-因式分解法 【专题】计算题【分析】把方程 3x2=x 化为 3x2x=0，然后利用因式分解法解方程；利用因式分解法解程x22x3=0【解答】解：3x 2x=0，x（3x1 ）=0 ，x=0 或 3x1=0，所以 x1=0，x 2= ；（2） （x3） （x+1）=0，x3=0 或 x+1=0，所以 x1=3，x 2=1故答案为 x1=0，x 2= ；x 1=3，x 2=1【点评】本
12、题考查了解一元二次方程因式分解法：先把方程的右边化为 0，再把左边 通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为 0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想） 4若方程 x23x+m=0 有两个相等的实数根，则 m= ，两个根分别为 x1=x2= ， 【考点】根的判别式 【分析】若一元二次方程有两等根，则根的判别式=b 24ac=0，建立关于 m 的方程，求出m 的取值代入原方程后求解即可得到方程的根【解答】解：方程 x23x+m=0 有两个相等实数根，=b24ac=94m=0，解之得：m
13、= 原方程为：x 23x+ =0解得：x 1=x2= 故答案为： ，x 1=x2= 【点评】本题考查了根的判别式的知识，解题的关键是牢记根的情况与根的判别式的关系5已知 x1、x 2 是方程 2x2+3x4=0 的两个根，那么 x1+x2= ； = 【考点】根与系数的关系 【分析】先根据根与系数的关系得到 x1+x2= ，x 1x2=2，然后变形得到 = ，代入数据即可得到结论【解答】解：x 1、x 2 是方程 2x2+3x4= 0 的两个根，x1+x2= ，x 1x2=2， = = = ，故答案为： ， 【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使
14、用的解题方法6等腰三角形的底和腰是方程 x26x+8=0 的两根，则这个三角形的周长为 10【考点】等腰三角形的性质；解一元二次方程-因式分解法【专题】压轴题【分析】由等腰三角形的底和腰是方程 x26x+8=0 的两根，解此一元二次方程即可求得等腰三角形的腰与底边的长，注意需要分当 2 是等腰三角形的腰时与当 4 是等腰三角形的腰时讨论，然后根据三角形周长的求解方法求解即可【解答】解：x 26x+8=0，（ x2） （x4）=0，解得：x=2 或 x=4，等腰三角形的底和腰是方程 x26x+8=0 的两根，当 2 是等腰三角形的腰时，2+2=4，不能组成三角形，舍去；当 4 是等腰三角形的腰时
15、，2+44，则这个三角形的周长为 2+4+4=10这个三角形的周长为 10故答案为：10【点评】此题考查了等腰三角形的性质，一元二次方程的解法解题的关键是注意分类讨论你思想的应用7一种药品经过两次降价后，每盒的价格由原来的 60 元降到 48.6 元；那么平均每次降价的百分率是：10%【考点】一元二次方程的应用 【专题】增长率问题【分析】设平均每次降价的百分率是 x，根据一种药品经过两次降价后，每盒的价格由原来的 60 元降到 48.6 元可列方程求解【解答】解：设平均每次降价的百分率是 x，60（1x ） 2=48.6x=10%或 x=190%（舍去） 平均每次降价的百分率是 10%【点评】
16、本题考查理解题意的能力，关键看到经过两次降价，然后列方程求解8一圆锥的侧面展开后是扇形，该扇形的圆心角为 120，半径为 6cm，则此圆锥的表面积为 16cm2【考点】圆锥的计算 【分析】易得圆锥侧面展开图的弧长，除以 2 即为圆锥的底面半径，圆锥表面积 =底面积+侧面积= 底面半径 2+底面半径母线长，把相关数值代入即可求解【解答】解：圆锥的侧面展开图的弧长为： =4cm，圆锥的底面半径为 42=2cm，此圆锥的表面积= 22+26=16cm2【点评】用到的知识点为：扇形的弧长公式为 ；圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长9如图，O 的弦 CD 与直径 AB 相交，若 BAD=50，则
17、ACD=40【考点】圆周角定理 【专题】计算题【分析】欲求DCF ，又已知一圆心角，可利用圆周角与圆心角的关系求解【解答】解：AB 为圆的直径，ADB=90，BAD=50，DBA=40，ACD=40故答案为：40【点评】本题考查了圆周角定理，解题的关键是利用直径所对的圆周角为直角得到直角三角形，进而求得直角三角形的另一锐角10如图，O 的直径 CD 垂直于弦 EF，垂足为 G，若EOD=40，则 DCF 等于 20 度【考点】圆周角定理；垂径定理 【分析】根据垂径定理得出弧 DF 度数是 40，推出 FOD=40，根据圆周角定理推出即可【解答】解：O 的直径 CD 垂直于弦 EF，弧 DE=弧
18、 DF，EOD=40，弧 DF 的度数是 40，由圆周角定理得：FCD= 40=20，故答案为：20【点评】本题考查了圆周角定理和垂径定理的应用，关键是求出弧 DF 的度数11如图，PA、PB、EF 分别切 O 于 A、B、D，若 PA=10cm，则 PEF 的周长是 20 cm，若P=35，则AOB=145（度） ，EOF= 72.5（度） 【考点】切线长定理 【专题】计算题【分析】由 PA、PB、EF 分别切 O 于 A、B、D，根据切线长定理可得PA=PB=10cm， ED=EA，FD=DB，则 PE+EF+PF=PE+ED+PF+FD=PA+PB，即可得到PEF的周长；根据切线的性质得
19、到PAO=PBO=90 ，根据四边形的内角和为 360 度即可计算出AOB；连 OD，根据切线的性质得到ODE= ODF=90，易证得 RtOAERtODE， RtOFDRtOFB，得1= 2，3= 4，即有EOF= 2+3= AOB【解答】解：PA 、PB 、EF 分别切 O 于 A、B、D，PA=PB=10cm，ED=EA，FD=DB，PE+EF+PF=PE+ED+PF+FD=PA+PB=20（cm） ；PA、PB 为O 的切线，PAO=PBO=90，而P=35 ，AOB=360909035=145；连 OD，如图，ODE=ODF=90，易证得 RtOAERtODE， RtOFDRtOFB
20、，1=2，3=4，2+3= AOB=72.5，EOF=72.5故答案为 20；145；72.5【点评】本题考查了切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等；也考查了切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径12如图，O 的半径为 3cm，B 为 O 外一点，OB 交 O 于点 A，AB=OA，动点 P 从点 A 出发，以 cm/s 的速度在O 上按逆时针方向运动一周回到点 A 立即停止当点 P运动的时间为 1 或 5s 时，BP 与O 相切【考点】切线的判定；切线的性质；弧长的计算 【专题】压轴题；动点型【分析】根据切线的判定与性质进行分析即可若 BP 与 O 相切，则OPB=90，又因为O
21、B=2OP，可得B=30 ，则BOP=60；根据弧长公式求得 长，除以速度，即可求得时间【解答】解：连接 OP；当 OPPB 时，BP 与 O 相切，AB=OA，OA=OP ，OB=2OP，OPB=90；B=30；O=60；OA=3cm， = =，圆的周长为： 6，点 P 运动的距离为 或 6=5；当 t=1 或 5 时，有 BP 与 O 相切【点评】本题考查了切线的判定与性质及弧长公式的运用二、选择题（每题 3 分，共 18 分）13下列方程中，一元二次方程有( )3x2+x=20； 2x23xy+4=0； ； x2=1；A2 个 B3 个 C4 个 D5 个【考点】一元二次方程的定义 【分
22、析】本题根据一元二次方程的定义解答一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是 2；（2）二次项系数不为 0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案【解答】解：符合一元二次方程定义，正确；方程含有两个未知数，错误；不是整式方程，错误；符合一元二次方程定义，正确；符合一元二次方程定义，正确故选 B【点评】判断一个方程是否是一元二次方程时，首先判断方程是整式方程，若是整式方程，再把方程进行化简，化简后是含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2，在判断时，一定要注意二次项系数不是 014下列命题：长度相等的 弧是等弧； 任意三点确
23、定一个圆； 相等的圆心角所对的弦相等；外心在三角形的一条边上的三角形是直角三角形，其中真命题共有( )A1 个 B2 个 C3 个 D0 个【考点】命题与定理 【分析】根据等弧的定义对进行判断；根据确定圆的条件对进行判断；根据圆心角、弧、弦的关系对进行判断；根据圆周角定理的推论对 进行判断【解答】解：完全重合的弧为等弧，长度相等的弧不一定是等弧，所以错误；任意不共线的三点确定一个圆，所以错误；在同圆或等圆轴，相等的圆心角所对的弦相等，所以错误；外心在三角形的一条边上的三角形是直角三角形，所以正确故选 A【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题许多命题都是由题设和结论两部分组成
24、，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果 那么”形式有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理15若直角三角形的两直角边长分别为 5、12，则它的内切圆的半径为( )A6 B2.5 C2 D4【考点】三角形的内切圆与内心 【分析】用勾股定理求出斜边 AC 的长，连接 OD，OE，OF，根据切线的性质得出四边形OFBD 是正方形，根据正方形的性质得到四条边相等，设出圆的半径为 r，根据切线长定理得到 AD=AE=12r，同理可得出 CE=CF=5r，进而得到 AC=AE+EC=AD+CF，列出关于 r的方程，求出方程的解可得出 r 的值【解答】解：如图所示：
25、直角三角形的两直角边长 BC=5，AC=12，根据勾股定理得：直角三角形的斜边 AC= =13，又圆 O 为三角形的内切圆， D，E，F 分别为切点，连接 OD，OE，OF，ODAB，OFBC ，ODB=B=OFB=90，四边形 OFBD 为矩形，又 OD=OF，四边形 OFBD 为正方形，OD=DB=BF=OF，又 AD，AE 为圆 O 的两条切线，AD=AE，同理 CE=CF，BD=BF ，设圆 O 的半径为 r，则有 BD=BF=r，CF=CE=5r，AD=AE=12 r，又 AC=AE+EC=AD+CF=12r+5r=172r=13，解得：r=2，则该直角三角形的内切圆的半径为 2故选
26、：C【点评】此题考查了三角形的内切圆与内心、勾股定理，正方形的判定与性质、切线长定理；利用了方程及转化的思想，本题的关键是根据题意画出相应的图形，添加合适的辅助线，设出未知数，建立方程来解决问题16在半径为 3 的圆中，150的圆心角所对的弧长是( )A B C D【考点】弧长的计算 【分析】利用弧长公式可得【解答】解： = 故选 D【点评】此题主要是利用弧长公式进行计算，学生要牢记公式17在一幅长 80 厘米，宽 50 厘米的矩形风景画的四周镶一条金色的纸 边，制成一幅矩形挂图，如图，如果要使整个挂图的面积是 5400 平方厘米，设金色纸边的宽为 x 厘米，那么满足的方程是( )Ax 2+1
27、30x1400=0 Bx 2+65x350=0Cx 2130x1400=0 Dx 265x350=0【考点】由实际问题抽象出一元二次方程 【专题】几何图形问题【分析】根据矩形的面积=长宽，我们可得出本题的等量关系应该是：（风景画的长+2 个纸边的宽度）（风景画的宽+2 个纸边的宽度）=整个挂图的面积，由此可得出方程【解答】解：依题意，设金色纸边的宽为 xcm，则（80+2x） （50+2x）=5400 ，整理得出：x 2+65x350=0故选：B【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式，然后根据题意列出方程是解题关键18如图，王虎使一长为 4cm
28、，宽为 3cm 的长方形木板，在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向）木板上点 A 位置变化为 AA1A2，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木板与桌面成 30角，则点 A 翻滚到 A2 位置时共走过的路径长为( )A10cm B4cm C D【考点】弧长的计算；旋转的性质 【专题】计算题；压轴题【分析】根据旋转的定义得到点 A 以 B 为旋转中心，以ABA 1 为旋转角，顺时针旋转得到 A1；A 2 是由 A1 以 C 为旋转中心，以A 1CA2 为旋转角，顺时针旋转得到，由于ABA1=90，A 1CA2=60，AB= =5cm，CA 1=3cm，然后根据弧长公式计算即可【解答】解：点 A
29、以 B 为旋转中心，以ABA 1 为旋转角，顺时针旋转得到 A1；A 2 是由A1 以 C 为旋转中心，以A 1CA2 为旋转角，顺时针旋转得到，ABA1= 90， A1CA2=60，AB= =5cm，CA 1=3cm，点 A 翻滚到 A2 位置时共走过的路径长= + = （cm） 故选：C【点评】本题考查了弧长公式：l= （n 为圆心角，R 为半径） ；也考查了旋转的性质三、解答题 （共 78 分）19 （16 分）解方程（1）2x（x+3）=6 （x+3 ）（2） （2x1） 2=5（3）y 2y=12（4）2x 25x+1=0【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程 -直接开平
30、方法；解一元二次方程-公式法 【专题】计算题【分析】 （1）先移项得到 2x（x+3）6（x+3）=0，锐角利用因式分解法解方程；（2）利用直接开平方法解方程；（3）先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程；（4）利用求根公式法解方程【解答】解：（1）2x（x+3）6（x+3）=0，（x+3） （2x 6）=0，x+3=0 或 2x6=0，所以 x1=3，x 2=3；（2）2x1= ，所以 x1= ，x 2= ；（3）y 2y12=0，（y4） （ y+3）=0，y4=0 或 y+3=0，所以 y1=4，y 2=3；（4）=（5） 2421=17，x= ，所以 x1= ，x 2= 【点评】
31、本题考查了解一元二次方程因式分解法：先把方程的右边化为 0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为 0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想） 也考查了公式法解一元二次方程20某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面（1）请你补全这个输水管道的圆形截面；（2）若这个输水管道有水部分的水面宽 AB=16cm，水面最深地方的高度为 4cm，求这个圆形截面的半径【考点】垂径定理的应用；勾股定理 【专题
32、】应用题【分析】如图所示，根据垂径定理得到 BD= AB= 16=8cm，然后根据勾股定理列出关于圆形截面半径的方程求解【解答】解：（1）先作弦 AB 的垂直平分线；在弧 AB 上任取一点 C 连接 AC，作弦 AC的垂直平分线，两线交点作为圆心 O，OA 作为半径，画圆即为所求图形（2）过 O 作 OEAB 于 D，交弧 AB 于 E，连接 OBOEABBD= AB= 16=8cm由题意可知，ED=4cm设半径为 xcm，则 OD=（x4）cm在 RtBOD 中，由勾股定理得：OD2+BD2=OB2（ x4） 2+82=x2解得 x=10即这个圆形截面的半径为 10cm【点评】本题主要考查：
33、垂径定理、勾股定理21阅读材料：为解方程（x 21） 25（x 21）+4=0，我们可以将 x21 视为一个整体，然后设x21=y，则（x 21） 2=y2，原方程化为 y25y+4=0解得 y1=1，y 2=4当 y=1 时，x 21=1x 2=2 x= ；当 y=4 时，x 21=4，x 2=5， x= 原方程的解为 x1= ，x 2= ，x 3= ，x 4= 解方程：（x 2+1） 2（x 2+1）6=0【考点】换元法解一元二次方程 【专题】阅读型【分析】将 x2+1 视为一个整体，然后设 x2+1=y，则原方程化为 y2y6=0求得方程的解，进一步分析探讨得出答案即可【解答】解：（x
34、2+1） 2（x 2+1）6=0，设 x2+1=y，则原方程化为 y2y6=0解得 y1=3，y 2=2，当 y=3 时，x 2+1=3解得：x= ；当 y=2 时，x 2+1=2，此方程无解因此原方程的解为 x1= ，x 2= 【点评】此题考查换元法解一元二次方程，掌握整体的代换方法是解决问题的关键22已知关于 x 的方程 x22（ k3）x+k 24k1=0（1） 若这个方程有实数根，求 k 的取值范围；（2）若此方程有一个根是 1，请求出 k 的值【考点】根的判别式；一元二次方程的解 【专题】计算题【分析】 （1）由方程有实数根，得到根的判别式大于等于 0，列出关于 k 的不等式，求出不
35、等式的解集即可得到 k 的范围；（2）将 x=1 代入方程中，得到关于 k 的方程，求出方程的解即可得到 k 的值【解答】解：（1）x 22（k3）x+k 24k1=0 有实数根，=4（k 3） 24（k 24k1）=4k 224k+364k2+16k+4=408k0，解得：k5；（2）将 x=1 代入方程得：1 22（k3）+k 24k1=0，即 k26k+6=0，=（6） 246=12，解得 k= =3 ，所以，k=3+ 或 k=3 【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式，根的判别式的值大于 0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于 0 时，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值
36、小于0 时，方程无实数根23我们知道：对于任何实数 x，x20，x 2+10；（x ） 20， （x ） 2+ 0模仿上述方法解答：求证：（1）对于任何实数 x，均有：2x 2+4x+30；（2）不论 x 为何实数，多项式 3x25x1 的值总大于 2x24x2 的值【考点】配方法的应用；非负数的性质：偶次方 【专题】应用题【分析】 （1）将代数式前两项提取 2，配方后根据完全平方式为非负数，得到代数式大于等于 1，即对于任何实数 x，代数式 2x2+4x+3 的值总大于 0，得证（2）证明多项式 3x25x1 的值总大于 2x24x2 的值时，可以证明 3x25x1（2x 24x2）0【解答
37、】证明：（1）对于任何实数 x， （x+1） 20，2x2+4x+3=2（x 2+2x）+3=2（x 2+2x+1）+1=2（x+1） 2+110（2）3x 25x1（2x 24x2）=3x25x12x2+4x+2=x2x+1=（x ） 2+ 0多项式 3x25x1 的值总大于 2x24x2 的值【点评】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质：偶次幂，灵活应用完全平方公式是解本题的关键24已知：如图，ABC 中，AB=AC ，以 AB 为直径的O 交 BC 于点 P，PDAC 于点D（1）求证：PD 是 O 的切线；（2）若CAB=120 ，AB=2 ，求 BC 的值【考点】切线的判定 【专
38、题】综合题【分析】 （1）连接 OP，要证明 PD 是O 的切线只要证明 DPO=90即可；（2）连接 AP，根据已知可求得 BP 的长，从而可求得 BC 的长【解答】 （1）证明：连接 AP，OP，AB=AC，C=B，又 OP=OB，OPB= B，C=OPB，OPAD；又 PDAC 于 D，ADP=90，DPO=90，以 AB 为直径的 O 交 BC 于点 P，PD 是 O 的切线（2）解：AB 是直径，APB=90；AB=AC=2，CAB=120，BAP=60，BP= ，BC=2 【点评】本题考查的是切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径） ，再证垂直
39、即可25某种产品的年产量不超过 1000t，该产品的年产量（t ）与费用（万元）之间的函数关系如图 1；该产品的年销售量（t）与每吨销售价（万元）之间的函数关系如图 2（1）设产品的费用为 y（万元） ，试写出 y 与 t 的函数关系式 （2）若生产出的产品都能在当年销售完，则年产量为多少吨时，当年可获得 7500 万元毛利润？（毛利润=销售额 费用）【考点】一次函数的应用；一元二次方程的应用 【分析】首先根据图象（1） （2）分别写出生产费用与年产量、每吨销售价与年销售量的函数关系式，然后根据销售额生产费用=毛利润 7500 万元，列出方程，求解即可【解答】解：（1）设年产量为 t 吨，费用
40、为 y（万元） ，每吨销售价为 z（万元） ，则0t1000，由图（1）可求得 y=10t，由图（2）求得 z= t+30；（2）设毛利润为 w（万元） ，则 w=tzy=t（ t+30）10t= t2+20t t2+20t=7500，t22000t+750000=0，解得 t1=500，t 2=1500（不合题意，舍去） 故年产量是 500 吨时，当年可获得 7500 万元毛利润【点评】本题已知信息由两个图象提供，图（1）与图（2）都是线段，看懂两图，理解关系式：毛利润=销售额 费用是解决本题的关键由于在图象中提供的数据已满足求两个图象解析式的需要，故两个解析式均可求本题易错在不注意销售额与
41、销售单价的关 系，而盲目地用 w=zy（销售单价 费用） 26某商店进了一批服装，进货单价为 50 元，如果按每件 60 元出售，可销售 800 件，如果每件提价 5 元出售，其销售量就减少 100 件（1）现在获利 12000 元，且销售成本不超过 24000 元，问这种服装销售单价应定多少元？（2）这种服装销售单价应定多少元时能使商店获利最多？最多是多少元？【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用 【分析】 （1）本题的等量关系是总利润=单件的利润销售的件数，依此可得出方程求出未知数的值，然后根据“成本不超过 24000 元”将不合题意的解舍去（2）根据（1）中的等量关系，可得出关于总利
42、润和调高的价格的函数关系式，然后根据函数的性质，可知服装销售单价应定多少元时能使商店获利最多是多少元【解答】解：（1）设在 60 元基础上再提高 x 元，则：（10+x） （800 100）=12000，整理化简得：x 230x+200=0，解得 x1=10，x 2=20当 x=10 时，定价为 70 元，销售成本为 50（800200）=30000 元24000 元，不符合题意，当 x=20 时，定价为 80 元，销售成本为 50（800400）=20000 元24000 元，符合题意，故这种服装销售单价应定 80 元（2）设利润为 y，根据题意得y=（10+x） （80020x）= 20（
43、x15） 2+12500，当 x=15，定价为 75 元时，可获得最大利润：12500 元【点评】本题主要考查了二次函数的实际应用，读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程是解题关键27如图，在平面直角坐标系中，矩形 ABCO 的面积为 15，边 OA 比 OC 大 2E 为 BC的中点，以 OE 为直径的O 交 x 轴于 D 点，过点 D 作 DFAE 于点 F（1）求 OA、OC 的长；（2）求证：DF 为 O的切线；（3）小明在解答本题时，发现AOE 是等腰三角形由此，他断定：“直线 BC 上一定存在除点 E 以外的点 P，使AOP 也是等腰三角形，且点 P 一定
44、在O外”你同意他的看法吗？请充分说明理由【考点】切线的判定；一元二次方程的应用；等腰三角形的判定；矩形的性质 【专题】代数几何综合题；压轴题【分析】 （1）在矩形 OABC 中，利用边长之间的关系和面积公式即可求得 OC，OA 的长；（2）连接 OD，通过证明OCEABE 得到 DFOD，所以 DF 为 O切线；（3）分两种情况进行分析：当 AO=AP；当 OA=OP，从而得到在直线 BC 上，除了E 点外，既存在O内的点 P，又存在O 外的点 P2、P 3、P 4，它们分别使 AOP 为等腰三角形【解答】 （1）解：在矩形 OABC 中，设 OC=x，则 OA=x+2x（ x+2）=15x1
45、=3，x 2=5x2=5（不合题意，舍去）OC=3，OA=5；（2）证明：连接 OD；在矩形 OABC 中， ，0CEABE（SAS） ，EA=EO，1=2；在 O中，O O=OD，1=3，3=2，ODAE；DFAE，DFOD，点 D 在 O上， OD 为 O的半径，DF 为 O切线；（3）解：不同意理由如下：当 A0=AP 时，以点 A 为圆心，以 AO 为半径画弧交 BC 于 P1 和 P4 两点过 P1 点作 P1HOA 于点 H，P 1H=0C=3；APl=OA=5，AH=4，OH=l，求得点 P1（1，3）同理可得：P 4（9，3） ；当 OA=OP 时，同上可求得 P2（4，3） ，P 3（4，3） ，在直线 BC 上，除了 E 点外，既存在O 内的点 P1，又存在O外的点 P2、P 3、P 4，它们分别使AOP 为等腰三角形【点评】主要考查了矩形的性质和圆中的有关性质，等腰三角形的判定以及一元二次方程在几何图形中的运用要熟练掌握这些性质才能灵活运用
