1、5.2 二项式系数的性质1了解杨辉三角2掌握二项式系数的性质(重点)3会用赋值法求系数和(难点)基础初探教材整理 二项式系数的性质阅读教材 P26P 27“练习”以上部分，完成下列问题1杨辉三角的特点(1)在同一行中每行两端都是 1，与这两个 1 等距离的项的系数_(2)在相邻的两行中，除 1 以外的每一个数都等于它“肩上”的两个数的_，即C _.rn 1【答案】 (1)相等 (2)和 C Cr 1n rn2二项式系数的性质对称性在(ab) n展开式中，与首末两端“_”的两个二项式系数相等，即 C _mn增减性与最大值增减性：当 kn 12时，二项式系数是逐渐减小的n 12最大值：当 n 为偶
2、数时，中间一项的二项式系数 最大；当 n 为奇数时，中间两项的二项式系数 相等，且同时取得最大值各二项式系数的和(1)C C C C _.0n 1n 2n n(2)C C C C C C _0n 2n 4n 1n 3n 5n【答案】 等距离 C (1)2 n (2)2 n1n mn1已知(ab) n展开式中只有第 5 项的二项式系数最大，则 n 等于( )A11 B10 C9 D8【解析】 只有第 5 项的二项式系数最大， 15，n8.n2【答案】 D2如图 151，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第_行中从左至右第 14个与第 15 个数的比为 23.图 151【解析】 由已知 ，C13
3、nC14n 23即 ，n！ n 13 ！ 13！ n 14 ！ 14！n！ 23化简得 ，解得 n34.14n 13 23【答案】 34质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问 1： 解惑： 疑问 2： 解惑： 疑问 3： 解惑： 小组合作型与“杨辉三角”有关的问题如图 152，在 “杨辉三角”中斜线 AB 的上方，从 1 开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，.记其前 n 项和为 Sn，求 S19的值图 152【精彩点拨】 由图知，数列中的首项是 C ，第 2 项是 C ，第 3 项是 C ，第 4 项是 C2 12 23，第 17
4、 项是 C ，第 18 项是 C ，第 19 项是 C .13 210 10 211【自主解答】 S 19(C C )(C C )(C C )(C C )2 12 23 13 24 14 210 10C (C C C C )(C C C C )(23410)C 211 12 13 14 10 2 23 210 211 312220274. 2 10 92“杨辉三角”问题解决的一般方法观察分析；试验猜想；结论证明，要得到杨辉三角中蕴含的诸多规律，取决于我们的观察能力，观察能力有：横看、竖看、斜看、连续看、隔行看，从多角度观察如表所示：再练一题1(2016南充高二检测)如图 153 所示，满足如下
5、条件：第 n 行首尾两数均为 n；表中的递推关系类似“杨辉三角” 则第 10 行的第 2 个数是_，第 n 行的第 2 个数是_图 153【解析】 由图表可知第 10 行的第 2 个数为：(1239)146，第 n 行的第 2 个数为：123(n1)1 1 .n n 12 n2 n 22【答案】 46 n2 n 22求展开式的系数和设(12x) 2 017a 0a 1xa 2x2a 2 017x2 017(xR)(1)求 a0a 1a 2a 2 017的值；(2)求 a1a 3a 5a 2 017的值；(3)求|a 0|a 1|a 2|a 2 017|的值【精彩点拨】 先观察所求式子与展开式各
6、项的特点，利用赋值法求解【自主解答】 (1)令 x1，得a0a 1a 2a 2 017(1) 2 0171.(2)令 x1，得 a0a 1a 2a 2 0173 2 017.得2(a1a 3a 2 017)13 2 017，a 1a 3a 5a 2 017 . 1 32 0172(3)T r1 C (2x) r(1) rC (2x)r，r2 017 r2 017a 2k1 0(kN )，a 2k0(kN )|a 0|a 1|a 2|a 3|a 2 017|a 0a 1a 2a 3a 2 0173 2 017.1解决二项式系数和问题思维流程2 “赋值法”是解决二项展开式中项的系数常用的方法，根据
7、题目要求，灵活赋给字母不同值一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令 x0 可得常数项，令x1 可得所有项系数之和，令 x1 可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差再练一题2已知(2x1) 10a 0a 1xa 2x2a 9x9a 10x10，则 a2a 3a 9a 10的值为( )A20 B0C1 D20【解析】 令 x1，得 a0a 1a 2a 9a 101，再令 x0，得 a01，所以a1a 2a 9a 100，又易知 a1C 21(1) 920，所以910a2a 3a 9a 1020.【答案】 D探究共研型二项式系数性质的应用探究 1 根据杨辉三角的特点，在杨辉三角同一行中与两个
8、 1 等距离的项的系数相等，你可以得到二项式系数的什么性质？【提示】 对称性，因为 C C ，也可以从 f(r)C 的图象中得到mn n mn rn探究 2 计算 ，并说明你得到的结论CknCk 1n【提示】 .CknCk 1n n k 1k当 k1，说明二项式系数逐渐增大；n 12 CknCk 1n同理，当 k 时，二项式系数逐渐减小n 12探究 3 二项式系数何时取得最大值？【提示】 当 n 是偶数时，中间的一项取得最大值；当 n 是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值已知 f(x)( 3x 2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大 992.3x2(1)求展开式中二项式系数最大
9、的项；(2)求展开式中系数最大的项【精彩点拨】 求二项式系数最大的项，利用性质知展开式中中间项(或中间两项)是二项式系数最大的项；求展开式中系数最大的项，必须将 x，y 的系数均考虑进去，包括“” “”号【自主解答】 令 x1，则二项式各项系数的和为 f(1)(13) n4 n，又展开式中各项的二项式系数之和为 2n.由题意知，4 n2 n992.(2 n)22 n9920，(2 n31)(2 n32)0，2 n31(舍去)或 2n32，n5.(1)由于 n5 为奇数，所以展开式中二项式系数最大的项为中间两项，它们分别是T3C ( )3(3x2)290x 6，25T4C ( )2(3x2)32
10、70 .35(2)展开式的通项公式为 Tr1 C 3r r5假设 Tr1 项系数最大，则有Error!Error!Error! r ，rN ，r4.72 92展开式中系数最大的项为 T5C (3x2)4405 .451求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，当 n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大；当 n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大2求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式组，解不等式的方法求得再练一题3已知(a 21) n展开式中的各项系数之和等于 5的展开式的常数项，而(165x2 1x)(a21) n的展开式的系数最
11、大的项等于 54，求 a 的值【解】 由 5，得(165x2 1x)Tr1 C 5r r 5r C ，r5(165x2) (1x) (165) r5令 Tr1 为常数项，则 205r0，所以 r4，常数项 T5C 16.45165又(a 21) n展开式中的各项系数之和等于 2n，由此得到 2n16，n4.所以(a 21) 4展开式中系数最大项是中间项 T3C a454，所以 a .24 3构建体系1(1x) 2n1 的展开式中，二项式系数最大的项所在项数是( )An，n1 Bn1，nCn1，n2 Dn2，n3【解析】 该展开式共 2n2 项，中间两项为第 n1 项与第 n2 项，所以第 n1
12、 项与第 n2 项为二项式系数最大的项【答案】 C2已知 C 2C 2 2C 2 nC 729，则 C C C 的值等于( )0n 1n 2n n 1n 3n 5nA64 B32C63 D31【解析】 C 2C 2 nC (12) n3 n729，0n 1n nn6，C C C 32.16 36 56【答案】 B3若(x3y) n的展开式中各项系数的和等于(7ab) 10的展开式中二项式系数的和，则 n 的值为_【解析】 (7ab) 10的展开式中二项式系数的和为 C C C 2 10，令01 10 10(x3y) n中 xy1，则由题设知，4 n2 10，即 22n2 10，解得 n5.【答
13、案】 54已知(ax) 5a 0a 1xa 2x2a 5x5，若 a280，则a0a 1a 2a 5_. 【导学号：62690023】【解析】 (ax) 5展开式的通项为 Tk1 (1) kC a5k xk，令 k2，得 a2(1)k52C a380，解得 a2，即(2x) 5a 0a 1xa 2x2a 5x5，令 x1，得25a0a 1a 2a 51.【答案】 15在 8的展开式中，(x2x2)(1)求系数的绝对值最大的项；(2)求二项式系数最大的项；(3)求系数最大的项；(4)求系数最小的项【解】 T r1 C ( )8r r(1) rC 2r .r8 x (2x2) r8(1)设第 r1
14、 项系数的绝对值最大则Error! Error!解得 5r6.故系数绝对值最大的项是第 6 项和第 7 项(2)二项式系数最大的项为中间项，即为第 5 项所以 T5C 24 1 120x6 .48(3)由(1)知，展开式中的第 6 项和第 7 项系数的绝对值最大，而第 6 项的系数为负，第 7 项的系数为正则系数最大的项为 T7C 26x11 1 792x 11 .68(4)系数最小的项为T6(1) 5C 25 1 792 .58我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2) 学业分层测评(建议用时：45 分钟)学业达标一、选择题1在(ab) 20的二项展开式中，二项式系数与
15、第 6 项的二项式系数相同的项是( )A第 15 项 B第 16 项C第 17 项 D第 18 项【解析】 第 6 项的二项式系数为 C ，又 C C ，所以第 16 项符合条件520 1520 520【答案】 B2(2016吉林一中期末)已知 n的展开式的二项式系数之和为 32，则展开式(x21x)中含 x 项的系数是( )A5 B20C10 D40【解析】 根据题意，该二项式的展开式的二项式系数之和为 32，则有 2n32，可得 n5，Tr1 C x2(5r) xr C x103r ，r5 r5令 103r1，解得 r3，所以展开式中含 x 项的系数是 C 10，故选 C.35【答案】 C
16、3设(1xx 2)na 0a 1xa 2x2a 2nx2n，则 a0a 2a 4a 2n等于( )A2 n B.3n 12C2 n1 D.3n 12【解析】 令 x1，得 3na 0a 1a 2a 2n1 a 2n，令 x1，得 1a 0a 1a 2a 2n1 a 2n，得 3n12(a 0a 2a 2n)，a 0a 2a 2n .故选 D.3n 12【答案】 D4(2016信阳高二检测)已知(12x) 8展开式的二项式系数的最大值为 a，系数的最大值为 b，则 的值为( ) 【导学号：62690024】baA. B.1285 2567C. D.5125 1287【解析】 aC 70，设 bC
17、 2r，则Error!48 r8得 5r6，所以 bC 26C 2672 8，所以 .故选 A.68 28ba 1285【答案】 A5在(x )2 010的二项展开式中，含 x 的奇次幂的项之和为 S，当 x 时，S 等于2 2( )A2 3 015 B2 3 014C2 3 014 D2 3 008【解析】 因为 S ，当 x 时， x 2 2 010 x 2 2 0102 2S 2 3 014.23 0152【答案】 B二、填空题6若(12x) 2 016a 0a 1xa 2 016x2 016(xR)，则 的值为a12 a222 a2 01622 016_【解析】 令 x0，得 a01.
18、令 x ，得 a0 0，所以12 a12 a222 a2 01622 016 1.a12 a222 a2 01622 016【答案】 17若 n 是正整数，则 7n7 n1 C 7 n2 C 7C 除以 9 的余数是_1n 2n n 1n【解析】 7 n7 n1 C 7 n2 C 7C (71) nC 8 n1(91)1n 2n n 1n nn1C 9n(1) 0C 9n1 (1) 1C 90(1) n1，n 为偶数时，余数为 0；当 n 为0n 1n n奇数时，余数为 7.【答案】 7 或 08在“杨辉三角”中，每一个数都是它“肩上”两个数的和，它开头几行如图 154所示那么，在“杨辉三角”
19、中，第_行会出现三个相邻的数，其比为 345.第 0 行 1第 1 行 1 1第 2 行 1 2 1第 3 行 1 3 3 1第 4 行 1 4 6 4 1第 5 行 1 5 10 10 5 1 图 154【解析】 根据题意，设所求的行数为 n，则存在正整数 k，使得连续三项 C ，C ，C ，有 且 .k 1n kn k 1nCk 1nCkn 34 CknCk 1n 45化简得 ， ，联立解得 k27，n62.kn k 1 34 k 1n k 45故第 62 行会出现满足条件的三个相邻的数【答案】 62三、解答题9已知(12xx 2)7a 0a 1xa 2x2a 13x13a 14x14.(
20、1)求 a0a 1a 2a 14；(2)求 a1a 3a 5a 13.【解】 (1)令 x1，则 a0a 1a 2a 142 7128.(2)令 x1，则 a0a 1a 2a 3a 13a 14(2) 7128.得 2(a1a 3a 13)256，所以 a1a 3a 5a 13128.10已知 n的展开式中前三项的二项式系数的和等于 37.求展开式中二项式系(14 2x)数最大的项的系数【解】 由 C C C 37，得 1n n(n1)37，得 n8. 8的展开式共0n 1n 2n12 (14 2x)有 9 项，其中 T5C 4(2x)4 x4，该项的二项式系数最大，系数为 .48(14) 3
21、58 358能力提升1若( x) 10a 0a 1xa 2x2a 10x10，则(a 0a 2a 10)2(a 1a 3a 9)22( )A1 B1C2 D2【解析】 令 x1，得 a0a 1a 2a 10( 1) 10，2令 x1，得 a0a 1a 2a 3a 10( 1) 10，2故(a 0a 2a 10)2(a 1a 3a 9)2(a 0a 1a 2a 10)(a0a 1a 2a 3a 10)( 1) 10( 1) 101.2 2【答案】 A2把通项公式为 an2n1(nN )的数列a n的各项排成如图 155 所示的三角形数阵记 S(m，n)表示该数阵的第 m 行中从左到右的第 n 个
22、数，则 S(10,6)对应于数阵中的数是( )13 57 9 1113 15 17 19图 155A91 B101C106 D103【解析】 设这个数阵每一行的第一个数组成数列b n，则 b11，b nbn1 2(n1)，b n(b nb n1 )(b n1 b n2 )(b 2b 1)b 12(n1)(n2)11n 2n1，b 1010 210191，S(10,6)b 102(61)101.【答案】 B3(2016孝感高级中学期中)若(x 21)(x3) 9a 0a 1(x2)a 2(x2) 2a 3(x2)3a 11(x2) 11，则 a1a 2a 3a 11的值为_【解析】 令 x2，得
23、5a 0，令 x3，得 0a 0a 1a 2a 3a 11，所以a1a 2a 3a 11a 05.【答案】 54已知 f(x)(1x) m(12x) n(m，nN )的展开式中 x 的系数为 11.(1)求 x2的系数取最小值时 n 的值；(2)当 x2的系数取得最小值时，求 f(x)展开式中 x 的奇次项的系数之和. 【导学号：62690025】【解】 (1)由已知 C 2C 11，所以 m2n11，1m 1nx2的系数为 C 2 2C 2n(n1)2m 2nm m 12 (11m) 2 .m2 m2 (11 m2 1) (m 214) 35116因为 mN ，所以 m5 时，x 2的系数取得最小值 22，此时 n3.(2)由(1)知，当 x2的系数取得最小值时，m5，n3，所以 f(x)(1x) 5(12x) 3，设这时 f(x)的展开式为 f(x)a 0a 1xa 2x2a 3x3a 4x4a 5x5，令 x1，a 0a 1a 2a 3a 4a 52 53 3，令 x1，a 0a 1a 2a 3a 4a 51，两式相减得 2(a1a 3a 5)60，故展开式中 x 的奇次项的系数之和为 30.
