1、5.1 平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理高考文数 ( 课标专用 )1.(2018课标全国 ,7,5分 )在 ABC中 ,AD为 BC边上的中线 ,E为 AD的中点 ,则 = ( )A. - B. - C. + D. + A组 统一命题 课标卷题组五年高考答案 A 本题主要考查平面向量的线性运算及几何意义 . E是 AD的中点 , =- , = + =- + ,又知 D为 BC的中点 , = ( + ),因此 =- ( + )+ = - ,故选 A.规律总结 平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略 :(1)考查向量加法或减法的几何意义 .向量加法和减法均适合平行四边形法则 .(2)求
2、已知向量的和或差 .一般共起点的向量求和用平行四边形法则 ;求差用三角形法则 ;求首尾相连向量的和用三角形法则 .(3)与三角形联系 ,求参数的值 .求出向量的和或差与已知条件中的式子比较 ,然后求参数 .(4)与平行四边形联系 ,研究向量的关系 .画出图形 ,找出图中的相等向量、共线向量 ,将所求向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解 .2.(2017课标全国 ,4,5分 )设非零向量 a,b满足 |a+b|=|a-b|,则 ( )A.a b B.|a|=|b| C.a b D.|a|b|答案 A 本题考查向量的有关概念 .由 |a+b|=|a-b|的几何意义知 ,以向量 a、 b为邻边的
3、平行四边形为矩形 ,所以 a b.故选 A.一题多解 将 |a+b|=|a-b|两边分别平方得 |a|2+2ab+|b|2=|a|2-2ab+|b|2,即 ab=0,故 a b.故选 A.3.(2015课标 ,2,5分 ,0.734)已知点 A(0,1),B(3,2),向量 =(-4,-3),则向量 = ( )A.(-7,-4) B.(7,4) C.(-1,4) D.(1,4)答案 A 解法一 :根据题意得 =(3,1), = - =(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4).故选 A.解法二 :设 C(x,y),则 =(x,y)-(0,1)=(x,y-1)=(-4,-3),解得 x=-4,y
4、=-2,故 =(-4,-2)-(3,2)=(-7,-4).4.(2014课标 ,6,5分 ,0.498)设 D,E,F分别为 ABC的三边 BC,CA,AB的中点 ,则 + = ( )A. B. C. D. 答案 A 设 =a, =b,则 =- b+a, =- a+b,从而 + = + = (a+b)= ,故选 A.知识拓展 在 ABC中 ,D为 BC边的中点 ,则 = ( + ). 设 O为 ABC的重心 ,则 + =0.5.(2018课标全国 ,13,5分 )已知向量 a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,).若 c (2a+b),则 = .答案 解析 由题意得 2a+b=(4,2)
5、,因为 c=(1,),c (2a+b),所以 4-2=0,解得 = .6.(2016课标全国 ,13,5分 )已知向量 a=(m,4),b=(3,-2),且 a b,则 m= .答案 -6解析 因为 a b,所以 = ,解得 m=-6.易错警示 容易把两个向量平行与垂直的条件混淆 .B组 自主命题 省 (区、市 )卷题组考点一 向量的线性运算及几何意义(2014福建 ,10,5分 )设 M为平行四边形 ABCD对角线的交点 ,O为平行四边形 ABCD所在平面内任意一点 ,则 + + + 等于 ( )A. B.2 C.3 D.4 答案 D + + + =( + )+( + )=2 +2 =4 .
6、故选 D.考点二 平面向量基本定理及向量的坐标运算1.(2015四川 ,2,5分 )设向量 a=(2,4)与向量 b=(x,6)共线 ,则实数 x= ( )A.2 B.3 C.4 D.6答案 B a与 b共线 , 26=4x, x=3,故选 B.2.(2015福建 ,7,5分 )设 a=(1,2),b=(1,1),c=a+kb.若 b c,则实数 k的值等于 ( )A.- B.- C. D. 答案 A c=a+kb=(1+k,2+k).由 b c,得 bc=0,即 1+k+2+k=0,解得 k=- .故选 A.3.(2015广东 ,9,5分 )在平面直角坐标系 xOy中 ,已知四边形 ABCD
7、是平行四边形 , =(1,-2), =(2,1),则 = ( )A.5 B.4 C.3 D.2答案 A 四边形 ABCD是平行四边形 , = + =(3,-1), =23+1(-1)=5.选 A.4.(2015湖南 ,9,5分 )已知点 A,B,C在圆 x2+y2=1上运动 ,且 AB BC.若点 P的坐标为 (2,0),则 | + + |的最大值为 ( )A.6 B.7 C.8 D.9答案 B 因为点 A,B,C在圆 x2+y2=1上 ,且 AB BC,所以 AC为圆 x2+y2=1的直径 ,设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 C(-x1,-y1).又 P(2,0),所以 =(x1-
8、2,y1), =(x2-2,y2), =(-x1-2,-y1),所以 + + =(x1-2+x2-2-x1-2,y1+y2-y1)=(x2-6,y2),所以 | + + |= = = ,又 -1 x2 1,所以 | + + |的最大值为 =7.故选 B.5.(2017山东 ,11,5分 )已知向量 a=(2,6),b=(-1,).若 a b,则 = .答案 -3解析 本题考查向量平行的条件 . a=(2,6),b=(-1,),a b, 2-6(-1)=0, =-3.C组 教师专用题组1.(2014广东 ,3,5分 )已知向量 a=(1,2),b=(3,1),则 b-a= ( )A.(-2,1)
9、 B.(2,-1) C.(2,0) D.(4,3)答案 B b-a=(3,1)-(1,2)=(2,-1).故选 B.2.(2014北京 ,3,5分 )已知向量 a=(2,4),b=(-1,1),则 2a-b= ( )A.(5,7) B.(5,9)C.(3,7) D.(3,9)答案 A 由 a=(2,4)知 2a=(4,8),所以 2a-b=(4,8)-(-1,1)=(5,7).故选 A.3.(2014陕西 ,18,12分 )在直角坐标系 xOy中 ,已知点 A(1,1),B(2,3),C(3,2),点 P(x,y)在 ABC三边围成的区域 (含边界 )上 ,且 =m +n (m,n R).(1
10、)若 m=n= ,求 | |;(2)用 x,y表示 m-n,并求 m-n的最大值 .解析 (1) m=n= , =(1,2), =(2,1), = (1,2)+ (2,1)=(2,2), | |= =2 .(2) =m(1,2)+n(2,1)=(m+2n,2m+n), 两式相减 ,得 m-n=y-x.令 y-x=t,由图知 ,当直线 y=x+t过点 B(2,3)时 ,t取得最大值 1,故 m-n的最大值为 1.评析 本题考查向量的坐标运算、向量的模及简单的线性规划等基础知识 ,考查灵活运用知识处理问题及运算求解的能力 .(2)中 ,将求 m-n的最大值转化为简单的线性规划问题是解题的关键 .考
11、点一 向量的线性运算及几何意义1.(2018河北唐山二模 ,4)已知 O是正方形 ABCD的中心 .若 = + ,其中 , R,则 = ( )A.-2 B.- C.- D. 三年模拟A组 2016201 8年 高考模拟 基础题 组答案 A = + = + = - + = - , =1,=- , =-2.故选 A.2.(2018江西南昌二模 ,7)已知 P为 ABC所在平面内一点 , + + =0,| |=| |=| |=2,则 ABC的面积等于 ( )A. B.2 C.3 D.4 答案 B 如图 ,设 BC的中点为 D,AC的中点为 M,则有 + =2 ,因为 + + =0,所以有 =-2 ,
12、又由 D为 BC的中点 ,M为 AC的中点 ,得 =-2 ,则有 = ,则 P、 D、 M三点共线且 D为 PM的中点 ,又由 | |=| |=2,得 | |=| |=2,| |=| |=2,又 M为 AC的中点 ,所以 | |=| |=2,所以 | |=4,| |=| |=| |,所以 AMB为等边三角形 ,则 BAC=60,则 S ABC= 24 =2 .故选 B.又 D为 BC的中点 ,所以四边形 CPBM为平行四边形 .3.(2018福建漳州二模 ,5)已知点 C(1,-1)、 D(2,x),若向量 a=(x,2)与 的方向相反 ,则 |a|= ( )A.1 B.2 C.2 D. 答案
13、 C 由 C(1,-1)、 D(2,x),得 =(1,x+1), 向量 a=(x,2)与 的方向相反 , = ,解得 x=1(舍去 )或 x=-2.则 |a|= =2 .故选 C.4.(2017广东东莞二模 ,4)如图所示 ,已知 =3 , =a, =b, =c,则下列等式中成立的是 ( )A.c= b- a B.c=2b-aC.c=2a-b D.c= a- b答案 A 因为 =3 , =a, =b,所以 = + = + = + ( - )= - = b- a,故选 A.5.(2017江西六校联考 ,6)已知数列 an为等差数列 ,满足 =a3 +a2 013 ,其中 A,B,C在一条直线上
14、,O为直线 AB外一点 ,记数列 an的前 n项和为 Sn,则 S2 015的值为 ( )A. B.2 015 C.2 016 D.2 013答案 A 因为 A,B,C在一条直线上 ,所以 a3+a2 013=1,则 S2 015= = =,故选 A.6.(2017河南三市联考 ,14)在锐角 ABC中 , =3 , =x +y (x,y R),则 = .答案 3解析 由题设可得 + =3( - ),即 4 =3 + ,亦即 = + ,则 x= ,y= .故 =3.考点二 平面向量基本定理及向量的坐标运算1.(2018天津和平一模 ,5)如图 ,在直角梯形 ABCD中 ,AB DC,AD DC
15、,AD=DC=2AB,E为 AD的中点 ,若 = + (, R),则 +的值为 ( )A. B. C.2 D. 答案 B 建立如图所示的平面直角坐标系 ,则 D(0,0).不妨设 AB=1,则 CD=AD=2,所以 C(2,0),A(0,2),B(1,2),E(0,1), =(-2,2), =(-2,1), =(1,2), = + , (-2,2)=(-2,1)+(1,2), 解得 = ,= ,则 += .故选 B.2.(2018安徽淮南一模 ,8)已知 G是 ABC的重心 ,过点 G作直线 MN与 AB,AC交于点 M,N,且 =x, =y (x,y0),则 3x+y的最小值是 ( )A.
16、B. + C. D. 答案 B 设 BC的中点为 D,则 = = + = + , M,G,N三点共线 , + =1.又 x0,y0, 3x+y=(3x+y) = + + +2 = + .当且仅当 = ,即 x= + 时取等号 , 3x+y的最小值是 + .故选 B. 3.(2017江西九江二模 ,4)设向量 a=(1,2),b=(m,m+1),若 a b,则实数 m的值为 ( )A.1 B.-1 C.- D.-3答案 A 因为 a=(1,2),b=(m,m+1),a b,故 2m=m+1 m=1,应选 A.4.(2016安徽蚌埠二模 ,6)已知 AC BC,AC=BC,D满足 =t +(1-t
17、) ,若 ACD=60,则 t的值为 ( )A. B. - C. -1 D. 答案 A 由题意知 D在直线 AB上 .令 CA=CB=1,建立平面直角坐标系 ,如图 ,则 B点坐标为 (1,0),A点坐标为 (0,1).设 D点的坐标为 (x,y),因为 DCB=30,则直线 CD的方程为 y= x,易知直线 AB的方程为 x+y=1,由 得 y= ,即 t= .故选 A.5.(2017河北 “五个一联盟 ”第一次模拟 ,15)如图 ,在直角梯形 ABCD中 ,AB CD,AB=2,AD=DC=1,P是线段 BC上一动点 ,Q是线段 DC上一动点 , = , =(1-) ,则 的取值范围是 .
18、答案 0,2解析 以 A为坐标原点 ,AB所在直线为 x轴 ,AD所在直线为 y轴建立平面直角坐标系 ,A(0,0),B(2,0),C(1,1),D(0,1), = + = +(1-) =(2-,), = + = + =(,1),所以 =(2-,)(,1)=(2-)+=-2+3=- + , 0,1, 0,2.6.(2017豫晋冀三省 12月联考 ,16)如图 ,已知在直角梯形 ABCO中 , ABC= BCO=90,AB=1,BC= ,OC=2.设 =m , =n ,其中 m,n (0,1),mn= ,G为线段 MN的中点 ,则 | |的最小值为 .答案 解析 因为 AB=1,BC= ,OC=2,所以易求得 AOC=60,OA=2,由题意可得 = ( + )=(m +n ),则 | |2= = (m2 +n2 +2mn )= (4m2+4n2+4mn)=m2+n2+mn 3mn= ,当且仅当 m=n= 时等号成立 ,故 | |的最小值是 .B组 20162018 年高考模拟 综合题组(时间 :15分钟 分值 :30分 )选择题 (每小题 5分 ,共 30分 )1.(2018皖南八校二模 ,9)边长为 8的等边 ABC所在平面内一点 O,满足 -2 -3 =0,若 | |= ,则 | |的最大值为 ( )A.6 B.2 C.3 D.4
