1、1第六章 数 列第 1 讲 数列的概念与简单表示法一、选择题1数列 an：1， ， ， ，的一个通项公式是( )58715 924A an(1) n1 (nN )2n 1n2 nB an(1) n1 (nN )2n 1n3 3nC an(1) n1 (nN )2n 1n2 2nD an(1) n1 (nN )2n 1n2 2n解析 观察数列 an各项，可写成： ， ， ， ，故选 D.313 524 735 946答案 D2把 1,3,6,10,15,21 这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形(如图所示)则第七个三角形数是( )A27 B28 C29 D30解析 观察
2、三角形数的增长规律，可以发现每一项与它的前一项多的点数正好是本身的序号，所以根据这个规律计算即可根据三角形数的增长规律可知第七个三角形数是123456728.答案 B3已知数列 an的前 n 项和为 Sn，且 Sn2 an1( nN *)，则 a5( )A16 B16 C31 D32解析 当 n1 时， S1 a12 a11， a11，又 Sn1 2 an1 1( n2)， Sn Sn1 an2( an an1 ) 2. an12 n1 ， a52 416.anan 1答案 B4将石子摆成如图的梯形形状，称数列 5,9,14,20，为梯形数，根据图形的构成，此数2列的第 2 014 项与 5
3、的差即 a2 0145( )A2 0202 012 B2 0202 013C1 0102 012 D1 0102 013解析 结合图形可知，该数列的第 n 项 an234( n2)所以 a2 0145452 0162 0131 010.故选 D.答案 D5在数列 an中， an2 n229 n3，则此数列最大项的值是 ( )A103 B. C. D1088658 8258解析 根据题意并结合二次函数的性质可得：an2 n229 n32 32 23 ，(n2292n) (n 294) 8418 n7 时， an取得最大值，最大项 a7的值为 108.答案 D6定义运算“*” ，对任意 a， bR
4、，满足 a*b b*a； a*0 a；(3)( a*b)*c c*(ab)( a*c)( c*b)设数列 an的通项为 an n* *0，则数列 an为( )1nA等差数列 B等比数列C递增数列 D递减数列解析 由题意知 an *00 n ( n*0) )1 n ，显然数列 an(n*1n) 1n (01n) 1n既不是等差数列也不是等比数列；又函数 y x 在1，)上为增函数，1x所以数列 an为递增数列答案 C二、填空题7在函数 f(x) 中，令 x1,2,3，得到一个数列，则这个数列的前 5 项是x_答案 1， ， ，2，2 3 58已知数列 an满足 a11，且 an n(an1 an
5、)(nN *)，则 a2_； an_.解析 由 an n(an1 an)，可得 ，an 1an n 1n则3an a1 1 n， a22anan 1 an 1an 2 an 2an 3 a2a1 nn 1 n 1n 2 n 2n 3 21， an n.答案 2 n9已知 f(x)为偶函数， f(2 x) f(2 x)，当2 x0 时， f(x)2 x，若nN *， an f(n)，则 a2 013_.解析 f(x)为偶函数， f(x) f( x)， f(x2) f(2 x) f(x2)故 f(x)周期为 4， a2 013 f(2 013) f(1) f(1)2 1 .12答案 1210已知数
6、列 an的前 n 项和 Sn n29 n，第 k 项满足 5 ak8，则 k 的值为_解析 Sn n29 n， n2 时， an Sn Sn1 2 n10，a1 S18 适合上式， an2 n10( nN *)，52 k108，得 7.5 k9. k8.答案 8三、解答题11数列 an的通项公式是 an n27 n6.(1)这个数列的第 4 项是多少？(2)150 是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？(3)该数列从第几项开始各项都是正数？解 (1)当 n4 时， a44 24766.(2)令 an150，即 n27 n6150，解得 n16，即 150 是这个数列的第 16 项(
7、3)令 an n27 n60，解得 n6 或 n a1.综上，所求的 a 的取值范围是9，)14在等差数列 an中， a3 a4 a584， a973.(1)求数列 an的通项公式；(2)对任意 mN *，将数列 an中落入区间(9 m,92m)内的项的个数记为 bm，求数列 bm的前 m 项和 Sm.5解 (1)因为 an是一个等差数列，所以 a3 a4 a53 a484，即 a428.设数列 an的公差为 d，则 5d a9 a4732845，故 d9.由 a4 a13 d 得 28 a139，即 a11.所以 an a1( n1) d19( n1)9 n8( nN *)(2)对 mN *
8、，若 9m an9 2m，则 9m89 n9 2m8，因此 9m1 1 n9 2m1 ，故得 bm9 2m1 9 m1 .于是 Sm b1 b2 b3 bm(99 39 2m1 )(199 m1 ) 9 1 81m1 81 1 9m1 9 .92m 1 109m 18061第 2讲 等差数列及其前 n项和一、选择题1 an为等差数列，公差 d2， Sn为其前 n项和若 S10 S11，则 a1( )A18 B20C22 D24解析 由 S10 S11得 a11 S11 S100， a1 a11(111) d0(10)(2)20.答案 B2设等差数列 an的前 n项和为 Sn.若 a111， a
9、4 a66，则当 Sn取最小值时， n等于( )A6 B7 C8 D9解析 由 a4 a6 a1 a911 a96，得 a95，从而 d2，所以Sn11 n n(n1) n212 n( n6) 236，因此当 Sn取得最小值时， n6.答案 A3已知 an为等差数列， a1 a3 a5105， a2 a4 a699，则 a20等于( )A1 B1 C3 D7解析 两式相减，可得 3d6， d2.由已知可得 3a3105， a335，所以a20 a317 d3517(2)1.答案 B4在等差数列 an中， S150， S160成立的 n的最大值为( )A6 B7 C8 D9解析 依题意得 S15
10、 15 a80，即15 a1 a152a80； S16 8( a1 a16)8( a8 a9)0成立的 n的最大值是 8，选 C.答案 C5设 Sn为等差数列 an的前 n项和，若 a11，公差 d2， Sk2 Sk24，则 k( )A8 B7 C6 D5解析 由 a11，公差 d2 得通项 an2 n1，又 Sk2 Sk ak1 ak2 ，所以2k12 k324，得 k5.答案 D26已知两个等差数列 an和 bn的前 n项和分别为 An和 Bn，且 ，则使得 为整AnBn 7n 45n 3 anbn数的正整数的个数是 ( )A2 B3 C4 D5解析 由 得： ，要使 为整数，则需AnBn
11、 7n 45n 3 anbn A2n 1B2n 1 14n 382n 2 7n 19n 1 anbn7 为整数，所以 n1,2,3,5,11，共有 5个7n 19n 1 12n 1答案 D二、填空题7已知数列 an为等差数列， Sn为其前 n项和， a7 a54， a1121， Sk9，则k_.解析 a7 a52 d4， d2， a1 a1110 d21201，Sk k 2 k29.又 kN *，故 k3.k k 12答案 38设等差数列 an的前 n项和为 Sn，若 1，则公差为_S412 S39解析 依题意得 S44 a1 d4 a16 d， S33 a1 d3 a13 d，于是有432
12、322 1，由此解得 d6，即公差为 6.4a1 6d12 3a1 3d9答案 69在等差数列 an中， a13,11 a55 a813，则数列 an的前 n项和 Sn的最小值为_解析 (直接法)设公差为 d，则 11(34 d)5(37 d)13，所以 d ，所以数列 an为递增数列59令 an0，所以3( n1) 0，所以 n ，59 325又 nN *，前 6项均为负值，所以 Sn的最小值为 .293答案 29310设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为 44，偶数项之和为 33，则这个数列的中间项是_，项数是_解析 设等差数列 an的项数为 2n1，3S 奇 a1 a3 a2n1 ( n
13、1) an1 ， n 1 a1 a2n 12S 偶 a2 a4 a6 a2n nan1 ，n a2 a2n2 ，解得 n3，项数 2n17， S 奇 S 偶 an1 ，即 a4443311S奇S偶 n 1n 4433为所求中间项答案 11 7三、解答题11设 a1， d为实数，首项为 a1，公差为 d的等差数列 an的前 n项和为 Sn，满足S5S6150.(1)若 S55，求 S6及 a1；(2)求 d的取值范围解 (1)由题意知 S6 3， a6 S6 S58， 15S5所以Error!解得 a17，所以 S63， a17.(2)因为 S5S6150，所以(5 a110 d)(6a115
14、d)150，即2a 9 da110 d210，21故(4 a19 d)2 d28，所以 d28.故 d的取值范围为 d2 或 d2 .2 212在等差数列 an中，公差 d0，前 n项和为 Sn， a2a345， a1 a518.(1)求数列 an的通项公式；(2)令 bn (nN *)，是否存在一个非零常数 c，使数列 bn也为等差数列？若存在，Snn c求出 c的值；若不存在，请说明理由解 (1)由题设，知 an是等差数列，且公差 d0，则由Error! 得Error!解得Error! an4 n3( nN *)(2)由 bn ，Snn c n 1 4n 32n c 2n(n 12)n c
15、 c0，可令 c ，得到 bn2 n.12 bn1 bn2( n1)2 n2( nN *)，数列 bn是公差为 2的等差数列4即存在一个非零常数 c ，使数列 bn也为等差数列1213在数列 an中， a18， a42，且满足 an2 an2 an1 .(1)求数列 an的通项公式；(2)设 Sn是数列| an|的前 n项和，求 Sn.解 (1)由 2an1 an2 an可得 an是等差数列，且公差 d 2.a4 a14 1 2 83 an a1( n1) d2 n10.(2)令 an0，得 n5.即当 n5 时， an0， n6 时， an0.当 n5 时， Sn| a1| a2| an|
16、a1 a2 an n29 n；当 n6 时， Sn| a1| a2| an| a1 a2 a5( a6 a7 an)( a1 a2 an)2( a1 a2 a5)( n29 n)2(5 245) n29 n40， SnError!14已知数列 an的前 n项和为 Sn，且 a2an S2 Sn对一切正整数 n都成立(1)求 a1， a2的值；(2)设 a10，数列 的前 n项和为 Tn.当 n为何值时， Tn最大？并求出 Tn的最大lg10a1an值解 (1)取 n1，得 a2a1 S2 S12 a1 a2， 取 n2，得 a 2 a12 a2， 2由，得 a2(a2 a1) a2， (i)若
17、 a20，由知 a10，(ii)若 a20，由知 a2 a11. 由、解得， a1 1， a22 ；或 a11 ， a22 .2 2 2 2综上可得 a10， a20；或 a1 1， a2 2；或 a11 ， a22 .2 2 2 2(2)当 a10 时，由(1)知 a1 1， a2 2.2 2当 n2 时，有(2 )an S2 Sn，(2 )an1 S2 Sn1 ，2 2所以(1 )an(2 )an1 ，即 an an1 (n2)，2 2 2所以 an a1( )n1 ( 1)( )n1 .2 2 25令 bnlg ，10a1an则 bn1lg( )n1 1 (n1)lg 2 lg ，212
18、 12 1002n 1所以数列 bn是单调递减的等差数列(公差为 lg 2)，12从而 b1 b2 b7lg lg 10，108当 n8 时， bn b8 lg lg 10，12 100128 12故 n7 时， Tn取得最大值，且 Tn的最大值为T7 7 lg 2.7 b1 b72 7 1 1 3lg 22 2121第 3讲 等比数列及其前 n项和一、选择题1. 1 与 1 两数的等比中项是( )2 2A1 B1C1 D.12解析 设等比中项为 x，则 x2( 1)( 1)1，即 x1.2 2答案 C2设 an是任意等比数列，它的前 n项和，前 2n项和与前 3n项和分别为 X， Y， Z，
19、则下列等式中恒成立的是( )A X Z2 Y B Y(Y X) Z(Z X)C Y2 XY D Y(Y X) X(Z X)解析 (特例法)取等比数列 1,2,4，令 n1 得 X1， Y3， Z7 代入验算，选 D.答案 D3已知等比数列 an为递增数列若 a10，且 2(an an2 )5 an1 ，则数列 an的公比q( )A2 B. C2 或 D312 12解析 2( an an2 )5 an1 ，2 an2 anq25 anq，化简得，2 q25 q20，由题意知， q1. q2.答案 A4在正项等比数列 an中， Sn是其前 n项和若 a11， a2a68，则 S8( )A8 B15
20、( 1)2C15( 1) D15(1 )2 2解析 a2a6 a 8， a q68， q ， S8 15( 1)24 21 21 q81 q 2答案 B5已知等比数列 an的前 n项和 Sn t5n2 ，则实数 t的值为( )15A4 B5 C. D.45 15解析 a1 S1 t ， a2 S2 S1 t， a3 S3 S24 t，由 an是等比数列知15 15 4522 4t，显然 t0，所以 t5.(45t) (15t 15)答案 B6在由正数组成的等比数列 an中，若 a3a4a53 ，则 sin(log3a1log 3a2log 3a7)的值为 ( )A. B. C1 D12 32
21、32解析 因为 a3a4a53 a ，所以 a43 .343log3a1log 3a2log 3a7log 3(a1a2a7)log 3a 7log 33 ，所以743 73sin(log3a1log 3a2log 3a7) .32答案 B二、填空题7设 1 a1 a2 a7，其中 a1， a3， a5， a7成公比为 q的等比数列， a2， a4， a6成公差为 1的等差数列，则 q的最小值是_解析 设 a2 t，则 1 t q t1 q2 t2 q3，由于 t1，所以qmax t， ， 故 q的最小值是 .t 1 3t 2 33答案 338在等比数列 an中，若公比 q4，且前 3项之和等
22、于 21，则该数列的通项公式an_.解析 由题意知 a14 a116 a121，解得 a11，所以数列 an的通项公式 an4 n1 .答案 4 n19设 f(x)是定义在 R上恒不为零的函数，且对任意的实数 x， yR，都有 f(x)f(y) f(x y)，若 a1 ， an f(n)(nN *)，则数列 an的前 n项和 Sn的取值范围是12_解析 由已知可得 a1 f(1) ， a2 f(2) f(1)2 2， a3 f(3) f(2)f(1)12 (12) f(1)3 3， an f(n) f(1)n n，(12) (12) Sn 2 3 n12 (12) (12) (12)3 1 n
23、，121 (12)n1 12 (12) nN *， Sn0，则 Sn一定有最大值其中真命题的序号是_(写出所有真命题的序号)解析 对于，注意到 an1 an d是一个非零常数，因此数列(12)an 1(12)an (12) (12)是等比数列， 正确对于 ， S13 13，因(12)an 13 a1 a132 13 a2 a122此正确对于，注意到 Sn na1 d nan( n1) dn n 12 d nan d，因此正确对于， Sn na1 d， d0n n 12 n n 12 n n 12时， Sn不存在最大值，因此不正确综上所述，其中正确命题的序号是.答案 三、解答题11已知等比数列
24、an中， a1 ，公比 q .13 13(1)Sn为 an的前 n项和，证明： Sn ；1 an2(2)设 bnlog 3a1log 3a2log 3an，求数列 bn的通项公式解 (1)证明 因为 an n1 ， Sn ，所以 Sn .13 (13) 13n13(1 13n)1 13 113n2 1 an2(2)bnlog 3a1log 3a2log 3an(12 n) .所以 bn的通项n n 12公式为 bn .n n 1212已知数列 an的前 n项和为 Sn，在数列 bn中， b1 a1， bn an an1 (n2)，且4an Sn n.(1)设 cn an1，求证： cn是等比数
25、列；(2)求数列 bn的通项公式(1)证明 an Sn n， an1 Sn1 n1， 得 an1 an an1 1，2 an1 an1，2( an1 1) an1， .an 1 1an 1 12首项 c1 a11，又 a1 a11. a1 ， c1 ，公比 q .12 12 12 cn是以 为首项，公比为 的等比数列12 12(2)解 由(1)可知 cn n1 n，(12) (12) (12) an cn11 n.(12)当 n2 时， bn an an1 1 n(12) 1 (12)n 1 n1 n n.(12) (12) (12)又 b1 a1 代入上式也符合， bn n.12 (12)1
26、3已知两个等比数列 an， bn，满足 a1 a(a0)， b1 a11， b2 a22， b3 a33.(1)若 a1，求数列 an的通项公式；(2)若数列 an唯一，求 a的值解 (1)设数列 an的公比为 q，则b11 a2， b22 aq2 q， b33 aq23 q2，由 b1， b2， b3成等比数列得(2 q)22(3 q2)即 q24 q20，解得 q12 ， q22 .2 2所以数列 an的通项公式为 an(2 )n1 或 an(2 )n1 .2 2(2)设数列 an的公比为 q，则由(2 aq)2(1 a)(3 aq2)，得 aq24 aq3 a10(*)，由 a0 得 4
27、 a24 a0，故方程(*)有两个不同的实根由数列 an唯一，知方程(*)必有一根为 0，代入(*)得 a .13514数列 an的前 n项和记为 Sn， a1 t，点( Sn， an1 )在直线 y3 x1 上， nN *.(1)当实数 t为何值时，数列 an是等比数列(2)在(1)的结论下，设 bnlog 4an1 ， cn an bn， Tn是数列 cn的前 n项和，求 Tn.解 (1)点( Sn， an1 )在直线 y3 x1 上， an1 3 Sn1， an3 Sn1 1( n1，且 nN *) an1 an3( Sn Sn1 )3 an， an1 4 an(n1， nN *)，a2
28、3 S113 a113 t1，当 t1 时， a24 a1，数列 an是等比数列(2)在(1)的结论下， an1 4 an， an1 4 n， bnlog 4an1 n， cn an bn4 n1 n， Tn c1 c2 cn(4 01)(4 12)(4 n1 n)(144 24 n1 )(123 n) .4n 13 1 n n21第 4讲 数列求和一、选择题1.在等差数列 na中， 5,142a,则 n的前 5项和 5S=( )A.7 B.15 C.20 D.25 解析 15242451, 1aS.答案 B2若数列 an的通项公式是 an(1) n(3n2)，则 a1 a2 a10( )A1
29、5 B12 C12 D15解析 设 bn3 n2，则数列 bn是以 1为首项，3 为公差的等差数列，所以a1 a2 a9 a10( b1) b2( b9) b10( b2 b1)( b4 b3)( b10 b9)5315.答案 A3在数列 an中， an ，若 an的前 n项和为 ，则项数 n为( )1n n 1 2 0132 014A2 011 B2 012 C2 013 D2 014解析 an ， Sn1 ，解得 n2 013.1n n 1 1n 1n 1 1n 1 nn 1 2 0132 014答案 C4数列 an满足 an1 (1) nan2 n1，则 an的前 60项和为( )A3
30、690 B3 660 C1 845 D1 830解析 当 n2 k时， a2k1 a2k4 k1，当 n2 k1 时， a2k a2k1 4 k3， a2k1 a2k1 2， a2k1 a2k3 2， a2k1 a2k3 ， a1 a5 a61. a1 a2 a3 a60( a2 a3)( a4 a5)( a60 a61)3711(4301) 30611 830.30 3 1192答案 D5. 已知数列 an的通项公式为 an2 n1，令 bn (a1 a2 an)，则数列 bn的前 101n项和 T10( )A70 B75C80 D852解析 由已知 an2n1，得 a13，a 1a 2a
31、n n(n2)，n 3 2n 12则 bnn2，T 10 75，故选 B.10 3 122答案 B6数列 an满足 an an1 (nN *)，且 a11， Sn是数列 an的前 n项和，则 S21( 12)A. B6 C10 D11212解析 依题意得 an an1 an1 an2 ，则 an2 an，即数列 an中的奇数项、偶数12项分别相等，则 a21 a11， S21( a1 a2)( a3 a4)( a19 a20) a2110( a1 a2) a2110 16，故选 B.12答案 B二、填空题7在等比数列 an中，若 a1 ， a44，则公比12q_；| a1| a2| an|_.
32、解析 设等比数列 an的公比为 q，则 a4 a1q3，代入数据解得 q38，所以q2；等比数列| an|的公比为| q|2，则| an| 2n1 ，所以12|a1| a2| a3| an| (122 22 n1 ) (2n1)2 n1 .12 12 12答案 2 2 n1 128等比数列 an的前 n项和 Sn2 n1，则 a a a _.21 2 2n解析 当 n1 时， a1 S11，当 n2 时， an Sn Sn1 2 n1(2 n1 1)2 n1 ，又 a11 适合上式 an2 n1 ， a 4 n1 .2n数列 a 是以 a 1 为首项，以 4为公比的等比数列2n 21 a a
33、a (4n1)21 2 2n1 1 4n1 4 13答案 (4n1)139已知等比数列 an中， a13， a481，若数列 bn满足 bnlog 3an，则数列 的1bnbn 1前 n项和 Sn_.3解析 设等比数列 an的公比为 q，则 q327，解得 q3.所以a4a1an a1qn1 33 n1 3 n，故 bnlog 3an n，所以 .1bnbn 1 1n n 1 1n 1n 1则 Sn1 1 .12 12 13 1n 1n 1 1n 1 nn 1答案 nn 110设 f(x) ，利用倒序相加法，可求得 f f f 的值为4x4x 2 (111) (211) (1011)_解析 当
34、 x1 x21 时， f(x1) f(x2) 4x14x1 2 4x24x2 21.24x1 x2 2 4x1 4x24x1 x2 4x1 4x2 2 4设 S f f f ，倒序相加有 2S f(111) (211) (1011) f(111) f(1011) f(211) f(911) f 10，即 S5.(1011) (111)答案 5三、解答题11等差数列 an的各项均为正数， a13，前 n项和为 Sn， bn为等比数列， b11，且b2S264， b3S3960.(1)求 an与 bn；(2)求 .1S1 1S2 1Sn解 (1)设 an的公差为 d， bn的公比为 q，则 d为正
35、数， an3( n1) d， bn qn1 .依题意有Error!解得Error! 或Error!(舍去)故 an32( n1)2 n1， bn8 n1 .(2)Sn35(2 n1) n(n2)，所以 1S1 1S2 1Sn 113 124 135 1n n 212(1 13 12 14 13 15 1n 1n 2)412(1 12 1n 1 1n 2) .34 2n 32 n 1 n 212已知数列 an的前 n项和为 Sn，且 a11， an1 Sn(n1,2,3，)12(1)求数列 an的通项公式；(2)设 bnlog (3an1 )时，求数列 的前 n项和 Tn.32 1bnbn 1解
36、 (1)由已知得Error!得到 an1 an(n2)32数列 an是以 a2为首项，以 为公比的等比数列32又 a2 S1 a1 ，12 12 12 an a2 n2 n2 (n2)(32) 12(32)又 a11 不适合上式， anError!(2)bnlog (3an1 )log n.32 3232(32)n 1 .1bnbn 1 1n 1 n 1n 11 n Tn 1b1b2 1b2b3 1b3b4 1bnbn 1 (11 12) (12 13) (13 14) (1n 11 n)1 .11 n nn 113设数列 an满足 a13 a23 2a33 n1 an ， nN *.n3(1
37、)求数列 an的通项；(2)设 bn ，求数列 bn的前 n项和 Sn.nan思维启迪：(1)由已知写出前 n1 项之和，两式相减(2) bn n3n的特点是数列 n与3 n之积，可用错位相减法解 (1) a13 a23 2a33 n1 an ， n3当 n2 时，5a13 a23 2a33 n2 an1 ， n 13得 3n1 an ， an .13 13n在中，令 n1，得 a1 ，适合 an ， an .13 13n 13n(2) bn ， bn n3n.nan Sn323 233 3 n3n， 3 Sn3 223 333 4 n3n1 . 得 2Sn n3n1 (33 23 33 n)
38、，即 2Sn n3n1 ， Sn .3 1 3n1 3 2n 1 3n 14 34探究提高 解答本题的突破口在于将所给条件式视为数列3 n1 an的前 n项和，从而利用 an与 Sn的关系求出通项 3n1 an，进而求得 an；另外乘公比错位相减是数列求和的一种重要方法，但值得注意的是，这种方法运算过程复杂，运算量大，应加强对解题过程的训练，重视运算能力的培养14将数列 an中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成如下数表：a1a2 a3 a4a5 a6 a7 a8 a9已知表中的第一列数 a1， a2， a5，构成一个等差数列，记为 bn，且 b24， b510.表中每一行正中间一个数 a
39、1， a3， a7，构成数列 cn，其前 n项和为 Sn.(1)求数列 bn的通项公式；(2)若上表中，从第二行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，公比为同一个正数，且 a131.求 Sn；记 M n|(n1) cn ， nN *，若集合 M的元素个数为 3，求实数 的取值范围解 (1)设等差数列 bn的公差为 d，则Error! 解得Error!所以 bn2 n.(2)设每一行组成的等比数列的公比为 q.由于前 n行共有 135(2 n1) n2个数，且 321342， a10 b48，6所以 a13 a10q38 q3，又 a131，所以解得 q .12由已知可得 cn bnq
40、n1 ，因此 cn2 n n1 .(12) n2n 2所以 Sn c1 c2 c3 cn ，12 1 220 321 n2n 2Sn ，12 120 221 n 12n 2 n2n 1因此 Sn 4 4 ，12 12 1 120 121 12n 2 n2n 1 12n 2 n2n 1 n 22n 1解得 Sn8 .n 22n 2由知 cn ，不等式( n1) cn ，可化为 .n2n 2 n n 12n 2设 f(n) ，n n 12n 2计算得 f(1)4， f(2) f(3)6， f(4)5， f(5) .154因为 f(n1) f(n) ， n 1 2 n2n 1所以当 n3 时， f(
41、n1) f(n)因为集合 M的元素个数为 3，所以 的取值范围是(4,5.1第 5 讲 数列的综合应用一、选择题1已知 an为等比数列下面结论中正确的是 ( )A a1 a32 a2 B a a 2 a21 23 2C若 a1 a3，则 a1 a2 D若 a3a1，则 a4a2解析 设公比为 q，对于选项 A，当 a11 025 的最小 n 值是 ( )A9 B10 C11 D12解析 因为 a11，log 2an1 log 2an1( nN *)，所以an1 2 an， an2 n1 ， Sn2 n1，则满足 Sn1 025 的最小 n 值是 11.答案 C3某化工厂打算投入一条新的生产线，
42、但需要经环保部门审批同意方可投入生产已知该生产线连续生产 n 年的累计产量为 f(n) n(n1)(2 n1)吨，但如果年产量超过 15012吨，将会给环境造成危害为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是 ( )A5 年 B6 年 C7 年 D8 年解析 由已知可得第 n 年的产量 an f(n) f(n1)3 n2.当 n1 时也适合，据题意令an150 n5 ，即数列从第 8 项开始超过 150，即这条生产线最多生产 7 年2答案 C4在等差数列 an中，满足 3a47 a7，且 a10， Sn是数列 an前 n 项的和，若 Sn取得最大值，则 n ( )A7 B8 C9
43、 D10解析 设公差为 d，由题设 3(a13 d)7( a16 d)，所以 d a10，即 a1( n1) 0，(433a1)所以 n0，同理可得 n10 时， an2，即 3n2 n2n，(32) cn(nN *)SnTnKn(1)解 设公差为 d，则Error!解得 d1 或 d0(舍去)， a12，所以 an n1， Sn .n n 32又 a12， d1，所以 a34，即 b24.所以数列 bn的首项为 b12，公比 q 2，b2b1所以 bn2 n， Tn2 n1 2.(2)证明 因为 Kn22 132 2( n1)2 n， 故 2Kn22 232 3 n2n( n1)2 n1 ，
44、 得 Kn22 12 22 32 n( n1)2 n1 ， Kn n2n1 ，则 cn .SnTnKn n 3 2n 12n 1cn1 cn n 4 2n 1 12n 2 n 3 2n 12n 1 0，2n 1 n 22n 2所以 cn1 cn(nN *)14设数列 an的前 n 项和 Sn满足 Sn1 a2Sn a1，其中 a20.(1)求证： an是首项为 1 的等比数列；(2)若 a21，求证： Sn (a1 an)，并给出等号成立的充要条件n2证明 (1)由 S2 a2S1 a1，得 a1 a2 a2a1 a1，即 a2 a2a1.因 a20，故 a11，得 a2，a2a1又由题设条件
45、知 Sn2 a2Sn1 a1， Sn1 a2Sn a1，6两式相减得 Sn2 Sn1 a2(Sn1 Sn)，即 an2 a2an1 ，由 a20，知 an1 0，因此 a2.an 2an 1综上， a2对所有 nN *成立从而 an是首项为 1，公比为 a2的等比数列an 1an(2)当 n1 或 2 时，显然 Sn (a1 an)，等号成立n2设 n3， a21 且 a20，由(1)知， a11， an a ，n 12所以要证的不等式化为：1 a2 a a (1 a )(n3)，2 n 12n2 n 12即证：1 a2 a a (1 a )(n2)，2 n2n 12 n2当 a21 时，上面不等式的等号成立当1 a21 时， a 1 与 a 1，( r1,2， n1)同为负；r2 n r2当 a21 时， a 1 与 a 1，( r1,2， n1)同为正；r2 n r2因此当 a21 且 a21 时，总有( a 1)( a 1)0，即r2 n r2a a 1 a ，( r1,2， n1)r2 n r2 n2上面不等式对 r 从 1 到 n1 求和得2(a2 a a )( n1)(1 a )2 n 12 n2由此得 1 a2 a a (1 a )2 n2n 12 n2综上，当 a21 且 a20 时，有 Sn (a1 an)，当且仅当 n1,2 或 a21 时等号成n2立.
