1、1.认识一般形式的柯西不等式. 2.理解一般形式的柯西不等式的几何意义. 3.会用一般形式的柯西不等式求解一些简单问题.,定理(柯西不等式的一般形式),(2)柯西不等式的一般形式的证明方法是参数配方法. 名师点拨记忆柯西不等式的一般形式,一是抓住其结构特点:左边是平方和再开方的积,右边是积的和的绝对值;二是与二维形式的柯西不等式类比记忆.,【做一做1】 已知a,b,c(0,+),且a+b+c=1,则a2+b2+c2的最小值为( ),解析:由柯西不等式, 得(a2+b2+c2)(12+12+12)(a1+b1+c1)2.,答案:C,A.1 B.-1 C.2 D.-2,(a1b1+a2b2+anb
2、n)24. -2a1b1+anbn2. 所求的最大值为2. 答案:C,1.一般形式的柯西不等式如何应用? 剖析:我们主要利用柯西不等式来证明一些不等式或求值等问题,但往往不能直接应用,需要对数学式子的形式进行变形,拼凑出与一般形式的柯西不等式相似的结构,才能应用,因而适当变形是我们应用一般形式的柯西不等式的关键,也是难点.我们要注意在应用柯西不等式时,对于数学式子中数或字母的顺序要对比柯西不等式中的数或字母的顺序,以便能使其形式一致,然后应用解题. 2.如何利用“1”? 剖析:数字“1”的利用非常重要,为了利用柯西不等式,除了拼凑应该有的结构形式外,对数字、系数的处理往往起到某些用字母所代表的
3、数或式子所不能起的作用.这要求在理论上认识柯西不等式与实际应用时二者达到一种默契,即不因为“形式”与“面貌”的影响而不会用柯西不等式.,题型一,题型二,题型三,利用柯西不等式证明不等式 【例1】 已知a1,a2,an都是正实数,且a1+a2+an=1.,分析:已知条件中a1+a2+an=1,可以看作“1”的代换,而要证明,a1+a2+an=1应扩大2倍后再利用,本题还可以利用其他的方法证明.,题型一,题型二,题型三,证明:证法一:根据柯西不等式,得,题型一,题型二,题型三,当且仅当a1=a2=an时等号成立. 故原不等式成立. 证法二:a(0,+),题型一,题型二,题型三,当且仅当a1=a2=
4、an时等号成立. 故原不等式成立.,题型一,题型二,题型三,反思通过以上不同的证明方法可以看出,构造出所需要的某种结构是证题的难点,因此,对柯西不等式或其他重要不等式,要熟记公式的特点,能灵活变形,才能灵活应用.,题型一,题型二,题型三,利用柯西不等式求函数的最值,分析:将已知等式变形,直接应用柯西不等式求解. 解:根据柯西不等式,得 120=3(2x+1)+(3y+4)+(5z+6),题型一,题型二,题型三,反思要求ax+by+z的最大值,利用柯西不等式(ax+by+z)2(a2+b2+12)(x2+y2+z2)的形式,再结合已知条件进行配凑,是常见的变形技巧.,题型一,题型二,题型三,易错辨析 易错点:应用柯西不等式时,因忽略等号成立的条件而致错.,题型一,题型二,题型三,错因分析:上题在求解时,由于等号不成立,因此求解过程错误,结果也不正确. 正解:应用函数单调性的定义(或导数)可证得f(x)在2,3上为增函数,1 2 3 4,A.1 B.-1 C.3 D.9,答案:D,1 2 3 4,A.1 B.3 C.6 D.9,答案:D,1 2 3 4,答案:16,1 2 3 4,4已知x+4y+9z=1,则x2+y2+z2的最小值为 . 解析:(x2+y2+z2)(12+42+92) (x+4y+9z)2=1,
