1、2.1 柯西不等式,2.1.1 平面上的柯西不等式的代数和向量形式,1.认识二维形式的柯西不等式. 2.理解二维形式的柯西不等式的几何意义. 3.会利用二维形式的柯西不等式进行简单问题的证明.,1.二维形式的柯西不等式 定理1 (柯西不等式的代数形式)设a1,a2,b1,b2均为实数,则,定理2 (柯西不等式的向量形式)设,为平面上的两个向量,则|. 当及为非零向量时,上式中等号成立向量与共线(平行)存在实数0,使得=. 当或为零向量时,规定零向量和任何向量平行,如,中至少有一个是零向量,则规定=0,上面的结果仍然正确.,【做一做1-1】 若a,bR,且a2+b2=10,则a-b的取值范围是(
2、 ),解析:(a2+b2)12+(-1)2(a-b)2,a2+b2=10, (a-b)220.,答案:A,【做一做1-2】 已知p,q(0,+),且p3+q3=2,则p+q的最大值为( ),答案:A,2.定理4(平面三角不等式),3.定理5(平面三角不等式的向量形式) 设,为平面向量,则|-|+|-|-|. 当-,-为非零向量时,上面不等式中等号成立存在正常数,使得-=(-)向量-与-同向,即夹角为零. 名师点拨定理4与定理5是同一定理的不同表示形式,它们都可以看作是定理3的变式.,如何理解柯西不等式? 剖析:柯西不等式的几种形式都需要对其结构进行理解与记忆,因此,柯西不等式可以理解为有四个顺
3、序的数来对应的一种不等关系或构造成一个不等式,如基本不等式是由两个数来构造,但怎样构造要仔细体会.例如:,结合具体问题灵活地应用柯西不等式.,题型一,题型二,题型三,题型四,利用柯西不等式的代数形式证明不等式 【例1】 设a,b(0,+),且a+b=2.,题型一,题型二,题型三,题型四,反思利用柯西不等式证明某些不等式时,有时需要将数学表达式适当地变形.这种变形往往具有很高的技巧,必须善于分析题目的特征,根据题设条件,综合地利用添、拆、分解、组合、配方、变量代换、数形结合等方法才能发现问题的本质,找到突破口.,题型一,题型二,题型四,题型三,利用柯西不等式的向量形式证明不等式 【例2】 已知a
4、,b(0,+),且a+b=1. 求证:(ax+by)2ax2+by2. 分析:利用柯西不等式的向量形式.,当且仅当存在实数0,使得m=n时等号成立. 故(ax+by)2ax2+by2.,题型一,题型二,题型三,题型四,利用柯西不等式解决实际问题 【例3】 在半径为R的圆内,求周长最大的内接长方形. 分析:首先表示出长方形的周长,得出目标函数,然后利用柯西不等式求解.,题型一,题型二,题型三,题型四,反思当函数的解析式中含有根号时常利用柯西不等式求解.,题型一,题型二,题型三,题型四,易错辨析 易错点:应用柯西不等式时,因不注重等号是否成立,从而导致结果错误.,1 2 3 4 5,A.a2+b2 B.2ab C.(a+b)2 D.4ab,答案:C,1 2 3 4 5,2已知a+b=1,则a2+b2的最小值为( ),答案:C,1 2 3 4 5,3若3x+4y=2,则x2+y2的最小值为( ),答案:D,1 2 3 4 5,1 2 3 4 5,5设实数x,y满足3x2+2y26,则p=2x+y的最大值是 .,
