1、2.1.2 演绎推理,1.结合已学过的数学实例和生活中的实例,体会演绎推理的重要性,掌握演绎推理的基本模式,并能用其进行简单的推理. 2.通过具体的实例,了解合情推理和演绎推理之间的联系和区别.,1,2,1.演绎推理 由概念的定义或一些真命题,依照一定的逻辑规则得到正确结论的过程,通常叫做演绎推理.演绎推理的特征是:当前提为真时,结论必然为真. 归纳总结(1)演绎推理是以某一类事物的一般判断为前提,而作出关于该类事物中的个别特殊事物的判断的思维方式,因此,演绎推理是一种从一般到特殊的推理. (2)演绎推理的特征是:当前提为真时,只要推理规则正确,则结论必然为真,是一种必然性推理.即:由真命题a
2、,b,遵循演绎推理规则得出命题q,则q必然为真.,1,2,【做一做1】 下面几种推理过程是演绎推理的是( ) A.两条直线平行,同时和第三条直线相交,同旁内角互补.如果A和B是两条平行直线与第三条直线相交形成的同旁内角,则A+B=180 B.由平面三角形的性质,推测空间四面体的性质 C.某校高三年级共有10个班,其中一班51人,二班53人,三班52人,由此推测各班都超过50人 D.在数列an中,a1=1, ,由此归纳出数列an的通项公式 解析:选项B为类比推理,选项C,D为归纳推理,由演绎推理的定义知,选项A符合. 答案:A,1,2,2.演绎推理的四种推理规则 (1)假言推理:用符号表示这种推
3、理规则就是“如果pq,p真,则q真”.假言推理的本质是,通过验证结论的充分条件为真,判断结论为真. (2)三段论推理:用符号表示这种推理规则就是“如果M是P,S是M,则S是P. (3)传递性关系推理:推理规则是“如果aRb,bRc,则aRc”,其中“R”表示具有传递性的关系. (4)完全归纳推理:把所有情况都考虑在内的演绎推理规则叫做完全归纳推理.,1,2,【做一做2】 下面说法正确的有( ) 演绎推理是由一般到特殊的推理; 演绎推理得到的结论一定是正确的; 演绎推理的一般模式是“三段论”形式; 演绎推理得到的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4、解析:正确.错误的原因是演绎推理的结论要为真,必须前提和推理形式都正确. 答案:C,1,2,1.合情推理与演绎推理的区别与联系有哪些? 剖析:,1,2,1,2,2.演绎推理的特点是什么? 剖析:(1)演绎推理的前提是一般性原理,演绎推理所得的结论是蕴含于前提之中的个别、特殊事实,结论完全蕴含于前提之中. (2)在演绎推理中,前提与结论之间存在必然的联系,只要前提是真实的,推理的形式是正确的,那么结论也必定是正确的,因而演绎推理是数学中严格证明的工具. (3)演绎推理是一种收敛性的思维方式,它缺乏创造性,但却具有条理清晰、令人信服的论证特点,有助于科学的理论化和系统化.,题型一,题型二,题型三,
5、题型四,题型五,假言推理,(1)求m的值; (2)若 在区间(0,2上为减函数,求实数a的取值范围. 分析:应用假言推理,根据对称的性质,函数f(x)图象上的点关于点A(0,1)的对称点在函数h(x)的图象上,代入h(x)即可求得.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,解:(1)设P(x,y)为函数h(x)图象上的任一点,点P关于点A的对称点为Q(x,y),题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,x1x2-(1+a)0对一切x1,x2(0,2恒成立. x1x24, 1+a4, a的取值范围是3,+). 反思本题主要考查了假言推理的应用,假言推理的规则为“如果pq,p为真,则q为真”.本题由
6、题设条件入手,通过推理,求得参数的取值范围.,题型一,题型二,题型四,题型五,题型三,三段论推理 【例题2】 已知:如图,在梯形ABCD中,AB=DC=AD.AC和BD是它的对角线.求证:AC平分BCD,DB平分CBA.分析:“三段论”中,大前提是已知的一般原理,小前提为所研究的特殊情况,结论则是根据一般原理对特殊情况作出的判断.,题型一,题型二,题型四,题型五,题型三,证明:等腰三角形的两底角相等,(大前提) DAC是等腰三角形,DA,DC是两腰,(小前提) 1=2.(结论) 两条平行线被第三条直线截出的内错角相等,(大前提) 1和3是平行线AD,BC被AC截出的内错角,(小前提) 1=3.
7、(结论) 等于同一个量的两个量相等,(大前提) 2和3都等于1,(小前提) 2=3.(结论) 因此AC平分BCD. 同理DB平分CBA.,题型一,题型二,题型四,题型五,题型三,反思本题可写出六次三段论形式,但是事实上,每一次三段论的大前提并不需要写出,某一次三段论的小前提如果是它前面某次三段论的结论,也可以不写出.如本题的证明还可写成:因为DA=DC(省略大前提),所以1=2.因为ADBC,且被AC截得的内错角为1和3(省略大前提),所以1=3.所以2=3,所以AC平分BCD(省略大前提,小前提),同理可证DB平分CBA.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,传递性关系推理,分析:本题属
8、于条件不等式的证明,直接用条件a+b=1来推理,方向不够明确,但只要注意所求证式子的特点,我们不难想到利用传递性关系推理进行证明.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,反思解本题的关键在于找准突破口,选择合理的方法.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,完全归纳推理 【例题4】 求证:当1n4(nN+)时,f(n)=(2n+7)3n+9能被36整除. 分析:由于1n4(nN+),故n只取1,2,3,4四个自然数,从而可以进行完全归纳推理. 证明:当n=1时,f(1)=(2+7)3+9=36,能被36整除; 当n=2时,f(2)=(22+7)9+9=108=363,能被36整除; 当n=
9、3时,f(3)=(23+7)27+9=360=3610,能被36整除; 当n=4时,f(4)=(24+7)81+9=1 224=3634,能被36整除. 综上,当1n4(nN+)时,f(n)=(2n+7)3n+9能被36整除. 反思完全归纳推理有两个规则:一是前提中被判断的对象必须是该类事物的全部对象;二是前提中的所有判断都必须是正确的.,题型四,题型五,题型一,题型二,题型三,易错辨析 易错点:在应用三段论推理来证明问题时,首先应明确什么是问题中的大前提和小前提.在应用三段论进行推理的过程中,大前提、小前提或推理形式任何一个出现错误,都可能导致结论错误. 【例题5】 如图,在ABC中,ACB
10、C,CD是AB边上的高.求证:ACDBCD.,错解:证明:在ABC中,因为CDAB,ACBC,所以ADBD,所以ACDBCD. 错因分析:上面的证明过程中,小前提由ADBD得出ACDBCD是错误的.因为只有在同一个三角形中才有大边所对的角较大这一结论.,题型四,题型五,题型一,题型二,题型三,正解:证明:在ABC中,因为CDAB, 所以ACD+A=BCD+B=90. 又因为ACBC, 所以BA, 所以ACDBCD. 反思应用三段论推理证明问题时,必须保证大前提、小前提及推理形式全部正确.,1 2 3 4,1若a0,b0,则有( ),答案:C,1 2 3 4,2“因为四边形ABCD是矩形,所以四
11、边形ABCD的对角线相等”,上述推理的大前提是( ) A.正方形都是对角线相等的四边形 B.矩形都是对角线相等的四边形 C.等腰梯形都是对角线相等的四边形 D.矩形都是对边平行且相等的四边形 解析:由结论可得要证的问题是“对角线相等”,因此它应在大前提中体现出来. 答案:B,1 2 3 4,3因为当a0时,|a|0;当a=0时,|a|=0;当a0,所以当a为实数时,|a|0.此推理过程运用的是演绎推理中的 推理. 答案:完全归纳,1 2 3 4,4补充下列三段论: (1)因为互为相反数的两个数的和为0,又因为a与b互为相反数,且 ,所以b=8. (2)因为 , 又因为e=2.718 28是无限不循环小数,所以e是无理数. 答案:(1)a=-8 (2)无限不循环小数是无理数,
