1、3.2 重要的离散型随机变量,3.2.1 独立试验序列,3.2.2 二项分布,3.2.3 泊松定理与泊松分布,3.2.4 其他重要离散型随机变量,2、伯努利试验,只有两个可能结果A(称为成功)与 (称为失败)的试验,很多随机试验，其可能的结果不止两个，但由于人们常常只对试验中某一特定结果是否发生感兴趣，因而也可将之归结为伯努利试验。,1、独立试验序列概型,在相同条件下重复进行试验的数学模型,伯努利试验,独立试验序列概型,3.2.1 独立试验序列,例1 明天的天气可以有多种情况，但若只关心明天是否下雨，则观察明天的天气（作为一次独立试验），其结果就只有两个：“下雨”或“不下雨”，因而可被看作是一
2、个贝努利试验。,在实际应用上，经常要考察独立重复进行一伯努利试验的序列，并将这一独立重复的试验序列作为单独的一个复合试验来对待。这样的复合试验称为n 重伯努利试验。,每次试验中某事件A 或者发生或者不发生，假定每次试验的结果与其它各次试验结果无关(即每次试验中事件A发生的概率都是p )，这样的一系列（比如n 次）重复试验称为n 重伯努利试验。,3、n重伯努利试验,即n 次独立重复的伯努利试验称为n重伯努利试验.,例2 掷一枚硬币，其结果为A =“出现正面”或 “出现反面”。,重复掷10次,伯努利试验,10重伯努利试验,重复掷 k 次,k 重伯努利试验,例3 若学校的电话总机设有99个分机，已知
3、每号分机平均每小时有3分钟要使用外线，在考虑该总机应设置多少条外线合适的问题时，可归结为n重贝努利试验的问题。,注：在同样的条件下，若作“不放回抽样”，即检验过的产品不放回而抽下一件检验，这样接连抽取 n 件的检验就不能视作为 n 重贝努利试验。但是，当总量N 很大时，抽出小数几件不致影响次品率，故而也可将不放回地接连抽取n 件（n 远小于 N ）的检验看成是 n 重贝努利试验。,3.2.2 二项分布,定理1,证明：在n次独立重复的贝努利试验中，事件A在某特定的k次中发生，而在其余n-k次试验中不发生，可表示为,于是按独立事件乘法定理及已知,可算出其概率为,因为在n次试验中事件A发生k次可以有
4、 种不同的方式， 而每种特定方式下的概率均为 ，故由加法定理可得,证毕。,这里用 表示第i 次试验发生A，用 表示第j 次发生 等。,若随机变量 的分布律为,则称随机变量 服从参数为 的二项分布，,记为,二项分布：,特别，称n =1的二项分布为两点分布，其分布列为,于是,解:,设A =“观察一个人对该接种疫苗试验的反应呈阳性”,于是,解:,设A =“观察一个人对该接种疫苗试验的反应呈阳性”,（3）至少有2人反应为阳性,于是,于是,即,从而,定理2,可见,故,例 设三次独立试验中,事件A出现的概率相等.若已知A至少出现一次的概率等于19/27,求事件A在一次试验中出现的概率?,3.2.3 泊松定
5、理与泊松分布,泊松分布图形的特点,历史上，泊松分布是作为二项分布的近似，于1837年由法国数学家泊松引入的.,近数十年来，泊松分布日益显示其重要性, 成为概率论中最重要的几个分布之一.在实际中， 许多随机现象服从或近似服从泊松分布.,泊松分布的背景及应用,二十世纪初罗瑟福和盖克两位科学家在观察 与分析放射性物质放出的 粒子个数的情况时, 他们做了2608 次观察(每次时间为7.5 秒)发现 放射性物质在规定的一段时间内, 其放射的粒子 数X 服从泊松分布.,在生物学、医学、工业统计、保险科学及公用事业的排队等问题中,泊松分布是常见的.例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电话呼唤次数等,都服从
6、泊松分布.,定理3(泊松定理),由已知,又因为k是定值，故,证毕。,定理3(泊松定理),解 问题主要是比较在这两种情况下，电脑发生故障得不到及时维修的概率。,3.2.4 其它重要离散型随机变量,一、超几何分布,二、几何分布,例 社会上定期发行某种奖券，每券1元，中奖率为p某人每次购买张奖券，如果没有中奖下次再继续购买张，直至中奖为止求此人购买次数的分布,解：,“k”表示购买k次，前 次都未中奖，而第k 次中奖.,于是,定义:,若随机变量X的分布为,则称X服从参数为p 的几何分布.,几何分布给出了等待首次“成功”(发生事件A)等到第k次,的概率.,几何分布有一个有趣的性质,三、负二项分布,三、负二项分布,
