1、课时跟踪训练( 十六)基础巩固一、选择题1(2016四川卷 )已知 a 为函数 f(x)x 312x 的极小值点，则a( )A4 B2C 4 D2解析 由题 意得 f( x)3x 212，由 f(x)0 得 x2，当x( ， 2)时， f( x)0，函数 f(x)单调递 增，当 x(2,2) 时，f ( x)0，函数 f(x)单调递增，所以 a2.答案 D2设函数 f(x) ln x，则( )2xAx 为 f(x)的极大值点12B x 为 f(x)的极小值点12C x 2 为 f(x)的极大值点Dx 2 为 f(x)的极小值点解析 f(x) lnx， f(x ) (x0)，由 f( x)2x
2、2x2 1x x 2x20 得 x2. 当 x(0,2)时，f(x )0，f(x)为增函数， x2 为 f(x)的极小值点答案 D3若商品的年利润 y(万元) 与年产量 x(百万件)的函数关系式为yx 327x 123(x0) ，则获得最大利润时的年产量为( )A1 百万件 B2 百万件C 3 百万件 D4 百万件解析 y3x 2273(x3)( x3)，当 00；当 x3 时，y 0；当20 ；当 x2 时，(1 x)f ( x)2 时 f (x )0；20，得 x2，由 f( x)1.令 f(x)0，得20 时， f(x )e x10 ，x0，得 x6；由 f(x )0，得 x2；由 f(
3、x )0)，2x因而 f(1) 1，f(1)1，所以曲线 yf(x )在点 A(1，f(1)处的切线方程为 y1(x1) ，即 xy20.(2)由 f(x)1 ，x0 知：ax x ax当 a0 时， f( x)0，函数 f(x)为(0 ， ) 上的增函数，函数f(x)无极 值；当 a0 时，由 f(x)0，解得 xa.又当 x(0，a)时， f( x)0，从而函数 f(x)在 xa 处取得极小值，且极小值为 f(a)aaln a，无极大值综上，当 a0 时，函数 f(x)无极值；当 a0 时，函数 f(x)在 xa 处取得极小值 aalna，无极大值能力提升11(2017 浙江金华、丽水、衢
4、州十二校联考)如图，已知直线ykx m 与曲线 yf(x )相切于两点，则 F(x)f (x)kx 有( )A1 个极大值点，2 个极小值点B 2 个极大值点，1 个极小值点C 3 个极大值点，无极小值点D3 个极小值点，无极大值点解析 F(x)f(x) k，如图所示，从而可知 F(x) 共有三个零点 x1，x2，x3，由 图可知，F(x )在(，x 1)上单调递减，在(x 1，x2)上单调递增，在 (x2，x3)上单调递 减，在 (x3，)上单调递增，x 1，x3为极小值点，x 2为极大值点，即 F(x)有 1 个极大值 点，2 个极小值点，故选A.答案 A12(2018 河北唐山一模) 直
5、线 ya 分别与曲线 y2(x 1)，yx lnx 交于 A，B，则| AB|的最小值为( )A3 B2C D324 32解析 当 ya 时，2(x1)a，x 1.设方程 xln xa 的根a2为 t，则 t lnta，则|AB| .设|t a2 1| |t t lnt2 1| |t2 lnt2 1|g(t) 1(t0)，则 g(t) ，令 g(t)0，得 t1.t2 lnt2 12 12t t 12t当 t(0,1)，g( t)0，所以 g(t)ming(1) ，32所以|AB | ，即| AB|的最小 值为 .32 32答案 D13(2017 全国卷)设函数 f(x)(1x 2)ex.(1
6、)讨论 f(x)的单调性；(2)当 x0 时，f( x)ax 1，求 a 的取值范围解 (1)f( x)(1 2 xx 2)ex.令 f(x) 0 得 x1 ，x1 .2 2当 x(， 1 )时，f(x )0；当 x(1 ， ) 时， f( x)0)，因此h(x)在 0，) 单调递减，而 h(0)1，故 h(x)1，所以 f(x)( x1)h(x) x1ax 1.当 00(x0)，所以 g(x)在0， ) 单调递增，而 g(0)0，故 exx1.当 0(1x)(1 x) 2，(1x)(1 x)2ax 1 x(1ax x 2)，取 x0 ，则 x0(0,1)，5 4a 12(1 x0)(1x 0
7、)2ax 0 10，故 f(x0)ax01. 不合题意当 a0 时，取 x0 ，则 x0(0,1)，f(x0)(1x 0)(1x 0)5 1221ax 0 1.不合题意综上，a 的取值范围是1，)14(2018 山东潍坊模拟) 设 f(x)xlnx ax 2(2a1)x ，aR.(1)令 g(x)f(x)，求 g(x)的单调区间；(2)已知 f(x)在 x1 处取得极大值，求实数 a 的取值范围解 (1)由 f( x)lnx2ax 2a，可得 g(x) lnx2ax 2a，x(0，)则 g(x) 2a .1x 1 2axx当 a0 时，x (0， )时，g(x)0，函数 g(x)单调递增当 a
8、0 时，x 时，g(x )0，函数 g(x)单调递增；(0，12a)x 时， g( x)0 时，g(x)的单调增区间为 ，(0，12a)单调减区间为 .(12a， )(2)由(1)知，f(1)0.当 a0 时， f( x)单调递增，所以，当 x(0,1)时， f(x)0，f(x)单调递增所以 f(x)在 x1 处取得极小值，不合题意当 01，由(1)知 f(x) 在 内单调递增，12 12a (0，12a)可得，当 x(0,1)时， f(x)0.(1，12a)所以 f(x)在(0,1)内单调递减，在 内单调递 增(1，12a)所以 f(x)在 x1 处取得极小值，不合题意当 a 时， 1，12
9、 12af(x)在(0,1)内单调递增，在(1，)内单调递 减所以当 x(0， ) 时，f(x)f(1) 0， f(x)单调递减，不合 题意当 a 时，00，f(x)单调递增，(12a，1)当 x(1， ) 时， f(x)0，f(x)单调递减，所以 f(x)在 x1 处取得极大值，符合题意综上可知，实数 a 的取值范围为 .(12， )延伸拓展(2017海南华侨中学考前模拟) 已知函数 f(x)x 3ax 2bxc在定义域 x 2,2上表示的曲线过原点，且在 x1 处的切线斜率均为1.有以下命题 ：f(x)是奇函数；若 f(x)在s，t内递减，则|t s|的最大值为4；若 f(x)的最大值为
10、M，最小值为 m，则 Mm0；若对x 2,2，kf(x )恒成立，则 k 的最大值为 2.其中正确命题的个数为( )A1 B2C 3 D4解析 由题 意得函数 过原点，则 c0.又 f( x)3x 22axb，则Error!解得Error!所以 f(x)x 34x ，f(x) 3x 240.因为 f(x)x 34xf(x) ，即 f(x)是奇函数，正确；由 f(x)0 得 x 或 x ，f(x)在 内单调233 233 233，233递减若 f(x)在s， t内 递减，则 t ，s 时，|t s|的最大值为233 233，错误；433由奇函数的图象关于原点对称可知，最大值与最小值互为相反数，f (x)的最大值为 M，最小 值为 m，则 Mm 0，正确；若对 x 2,2，由于 f(x)3x 24 4,8，则 kf(x )恒成立，则 k4，则 k 的最大值为4，错误故正确的个数为 2，故选 B.答案 B
