1、重点保分 两级优选练A 级一、选择题1(2018南开模 拟)下列命题正确的是( )A若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行答案 C解析 若两条直线和同一平面所成角相等，这两条直线可能平行，也可能为异面直线，也可能相交，所以 A 错误 ；一个平面内不共线且在另一个平面同侧的三点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行，故 B 错误 ；若两个平面垂直同一个平面，两平面可以平行，也可以相交，故 D 错误；故选 C.
2、2下列命题中，错误的是( )A三角形的两条边平行于一个平面，则第三边也平行于这个平面B平面 平面 ，a，过 内的一点 B 有唯一的一条直线b，使 baC ， ， 的交线为 a， b，c，d，则abcdD一条直线与两个平面成等角是这两个平面平行的充要条件答案 D解析 D 错误，当两平面平行时，则该直线 与两个平面成等角；反之，如果一条直线与两个平面成等角，这两个平面可能是相交平面，如图， ，直 线 AB 与 ， 都成 45角，但 l .故选 D.3(2018福建 联考)设 l，m ，n 表示不同的直线， ， 表示不同的平面，给出下列四个命题：若 ml，且 m，则 l；若 ml，m，则 l；若 l
3、， m，n，则 lm n；若 m，l，n，且 n ，则 lm .其中正确命题的个数是( )A1 B2 C 3 D4答案 B解析 对，两条平行线中有一条与一平面垂直，则另一条也与这个平面垂直，故 正确；对 ，直线 l 可能在平面 内，故错误；对，三条交线除了平行， 还可能相交于同一点，故错误；对 ，结合线面平行的判定定理和性质定理可判断其正确综上正确故选 B.4(2018昆明七校模拟) 一个正方体的平面展开图及该正方体直观图的示意图如图所示，在正方体中，设 BC 的中点为 M，GH 的中点为 N，则 MN 与平面 BDH 的关系是( )AMN平面 BDHM BMN平面 BDHC MN平面 BDH
4、 DMN平面 BDH答案 C解析 连接 BD，设 O 为 BD 的中点，连接OM，OH，AC，BH，MN，如图所示M，N 分别是 BC，GH 的中点，OMCD，且 OM CD，12NHCD，且 NH CD，12OMNH，OMNH，则四边形 MNHO 是平行四 边形，MNOH，又 MN平面 BDH，OH平面 BDH，MN平面 BDH.故选 C.5如图所示，P 是三角形 ABC 所在平面外一点，平面 平面ABC， 分别交线段 PA，PB，PC 于 A，B，C ，若PAAA23，则 ABC与ABC 面积的比为( )A25B 3 8C 4 9D425答案 D解析 平面 平面 ABC，平面 PABAB，
5、平面 PAB平面 ABCAB ，A BAB.又PA AA23，A B ABPA PA2 5.同理BC BCACAC25.A BC与ABC 相似，SABC SABC425，故选 D.6在正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，棱长为 a，M，N 分别为A1B 和 AC 上的点，若 A1MAN ，则 MN 与平面 BB1C1C 的位置2a3关系是( )A相交 B平行 C垂直 D不能确定答案 B解析 连接 CD1，在 CD1 上取点 P，使D1P ，MPBC，PNAD1.2a3MP平面 BB1C1C，PN平面 AA1D1D.平面 MNP平面 BB1C1C，MN平面 BB1C1C.故选 B.7(201
6、8宜昌一模 )如图，在三棱柱 ABCA 1B1C1 中，AM2MA 1，BN2NB 1，过 MN 作一平面交底面三角形 ABC 的边BC，AC 于点 E，F，则( )AMFNEB四边形 MNEF 为梯形C四边形 MNEF 为平行四边形DA 1B1 NE答案 B解析 在平行四边形 AA1B1B 中， AM2MA 1，BN2NB 1.所以AM 綊 BN，所以 MN 綊 AB，又 MN平面 ABC，AB平面 ABC，所以MN平面 ABC.又 MN平面 MNEF，平面 MNEF平面 ABCEF ，所以 MNEF，所以 EFAB，显然在ABC 中，EFMN，EFMN，所以四边形 MNEF 为梯形故选 B
7、.8(2017安徽阜阳一中模拟) 过平行六面体 ABCDA 1B1C1D1 任意两条棱的中点作直线，其中与平面 DBB1D1 平行的直线共有 ( )A4 条 B6 条 C 8 条 D12 条答案 D解析 如图所示，在平行六面体 ABCDA 1B1C1D1 中，E，F，G，H，M，N，P，Q 分别为相应棱的中点，容易证明平面 EFGH，平面 MNPQ 均与平面 BDD1B1 平行，平面 EFGH 和平面 MNPQ 中分别有 6 条直线( 相应四边形的四条边和两条 对角线) 满足要求，故共有12 条直线符合要求故选 D.9(2018河南三市 联考) 如图所示，侧棱与底面垂直，且底面为正方形的四棱柱
8、 ABCDA 1B1C1D1 中，AA 12，AB1，M，N 分别在 AD1，BC 上移动，始终保持 MN平面 DCC1D1，设BNx，MN y ，则函数 yf(x)的图象大致是 ( )答案 C解析 过 M 作 MQDD1，交 AD 于 Q，连接 QN.MN平面DCC1D1，MQ平面 DCC1D1，MNMQM，平面 MNQ平面DCC1D1，又平面 ABCD 与平面 MNQ 和 DCC1D1 分别交于 QN 和DC，NQDC，可得 QNCDAB1，AQ BNx. 2， MQ2x.在 RtMQN 中，MN 2MQ 2QN 2，MQAQ DD1AD即 y24x 21， y24 x21(x0，y1)，
9、函数 yf(x) 的图象为焦点在 y 轴上的双曲 线上支的一部分故 选 C.10(2018 昆明模拟)在三棱锥 SABC 中，ABC 是边长为 6的正三角形，SASBSC15，平面 DEFH 分别与AB，BC，SC，SA 交于 D，E，F，H .D，E 分别是 AB，BC 的中点，如果直线 SB平面 DEFH，那么四边形 DEFH 的面积为( )A. B. 452 4532C 45 D45 3答案 A解析 取 AC 的中点 G，连接 SG，BG.易知 SGAC，BGAC，故 AC平面 SGB，所以 ACSB.因为 SB平面 DEFH，SB平面 SAB，平面 SAB平面DEFHHD ，则 SBH
10、D.同理 SBFE.又 D，E 分别为 AB，BC 的中点，则 H，F也为 AS，SC 的中点，从而得 HF 綊 AC 綊 DE，所以四边形 DEFH 为12平行四边形又 ACSB，SBHD，DEAC，所以 DEHD，所以四边形 DEFH 为矩形，其面 积 SHFHD .故选 A.(12AC)(12SB) 452二、填空题11如图，四边形 ABDC 是梯形，ABCD，且 AB平面， M 是 AC 的中点，BD 与平面 交于点 N，AB4，CD6，则MN_.答案 5解析 AB平面 ，AB平面 ABDC，平面 ABDC平面 MN，ABMN.又 M 是 AC 的中点，MN 是梯形 ABDC 的中位线
11、，故 MN (ABCD)5.1212如图所示，在四面体 ABCD 中，M，N 分别是ACD，BCD 的重心，则四面体的四个面中与 MN 平行的是_答案 平面 ABC、平面 ABD解析 连接 AM 并延长 ，交 CD 于 E，连接 BN，并延长交 CD 于F，由重心性质可知， E，F 重合为一点，且该点为 CD 的中点 E，连接MN，由 ，得 MNAB，因此， MN平面 ABC 且 MN平面EMMA ENNB 12ABD.13正方体 ABCDA 1B1C1D1 的棱长为 1 cm，过 AC 作平行于对角线 BD1 的截面，则截面面积为_cm 2.答案 64解析 如图所示，截面 ACEBD1，平面
12、 BDD1平面 ACEEF，其中 F 为 AC 与 BD 的交点，E 为 DD1 的中点，SACE (cm2)12 2 32 6414如图，在正四棱柱 A1C 中，E，F，G，H 分别是棱CC1， C1D1，D 1D，DC 的中点，N 是 BC 的中点，点 M 在四边形EFGH 及其内部运动，则 M 只需满足条件_时，就有 MN平面 B1BDD1.(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况)答案 M 位于线段 FH 上( 答案不唯一)解析 连接 HN，FH，FN，则 FHDD1，HNBD，平面 FHN平面 B1BDD1，只要 MFH，则 MN平面 FHN，MN平面 B1BDD1
13、.B 级三、解答题15(2018 石家庄质检二) 如图，在三棱柱 ABCDEF 中，侧面ABED 是边长为 2 的菱形，且 ABE ，BC .点 F 在平面3 212ABED 内的正投影为 G，且点 G 在 AE 上，FG ，点 M 在线段3CF 上，且 CM CF.14(1)证明：直线 GM平面 DEF；(2)求三棱锥 MDEF 的体积解 (1) 证明： 点 F 在平面 ABED 内的正投影为 G，FG平面 ABED，FGGE.又 BC EF ，FG ，GE .212 3 32四边形 ABED 是边长为 2 的菱形，且ABE ，3AE 2，AG .12如图，过点 G 作 GHAD 交 DE
14、于点 H，连接 FH.则 ，GH ，由 CM CF 得 MF GH.GHAD GEAE 32 14 32易证 GHADMF，四边形 GHFM 为平行四 边形，MGFH .又 GM平面 DEF，GM平面 DEF.(2)由(1)知 GM平面 DEF，连接 GD，则有 VMDEF V GDEF .又 VGDEF V FDEG FGSDEG FG SDAE ，13 13 34 34VM DEF .3416(2018 郑州质检二) 如图，高为 1 的等腰梯形 ABCD 中，AMCD AB1，M 为 AB 的三等分点，现将 AMD 沿 MD 折起，13使平面 AMD平面 MBCD，连接 AB，AC.(1)
15、在 AB 边上是否存在点 P，使 AD平面 MPC?(2)当点 P 为 AB 边的中点时，求点 B 到平面 MPC 的距离解 (1) 当 AP AB 时，有 AD平面 MPC.理由如下：13连接 BD 交 MC 于点 N，连接 NP.在梯形 MBCD 中，DCMB， ，DNNB DCMB 12ADB 中， ，ADPN.APPB 12AD平面 MPC，PN平面 MPC，AD平面 MPC.(2)平面 AMD平面 MBCD，平面 AMD 平面 MBCDDM，平面 AMD 中 AMDM，AM平面 MBCD.VPMBC SMBC 21 .13 AM2 13 12 12 16在MPC 中， MP AB ，
16、MC ，12 52 2又 PC ，(12)2 12 52SMPC .12 2 ( 52)2 ( 22)2 64点 B 到平面 MPC 的距离为 d .3VP MBCSMPC31664 6317(2018 简阳市模拟) 如图，已知四棱锥 PABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，点 M，N，Q 分别是 PA，BD ，PD 的中点(1)求证： MNPC；(2)求证：平面 MNQ 平面 PBC.证明 (1) 由 题意：PABCD 是四棱锥，底面 ABCD 为平行四边形，点 M，N，Q 分别是 PA，BD，PD 的中点， 连接 AC，N 是 AC 的中点MN 是三角形 ACP 的中位线，MNPC.(
17、2)由(1)可得 MNPC.M，Q 分别是 PA，PD 的中点，MQ 是三角形 ADP 的中位线，MQAD.又由 ADBC，MQBC.由 MQBC，MNPC，BC平面 PBC，PC 平面PBC，BCPCC ，同理 MQ平面 MNQ，MN平面 MNQ，MQMNM.平面 MNQ平面 PBC.18(2018 德州模拟)如图，几何体 EABCD 是四棱锥，ABD 为正三角形， CBCD，CEBD.(1)求证： BEDE ；(2)若 BCD120，M 为线段 AE 的中点，求证：DM平面BEC.证明 (1) 如 图，取 BD 中点为 O，连接 OC，OE，则由 BCCD，知 COBD.又 CEBD，ECCOC，CO，EC平面 EOC，所以 BD平面 EOC，所以 BDOE.又因为 O 是 BD 中点，所以 BEDE.(2)如图 ，取 AB 的中点 N，连接 DM，DN，MN，因为 M 是 AE 的中点，所以 MNBE.又 MN平面 BEC，BE平面 BEC，所以 MN平面 BEC.又因为ABD 为正三角形，所以BDN30，又 CBCD， BCD120，因此CBD30.所以 DNBC.又 DN平面 BEC, BC平面 BEC，所以 DN平面 BEC.又 MNDNN ，故平面 DMN平面 BEC，又 DM平面 DMN，所以 DM平面 BEC.
