1、三、分类与整合思想分类与整合思想是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度；分类研究后还要对讨论结果进行整合.方法一 公式、定理分类整合法模型解法公式、定理分类整合法即利用数学中的基本公式、定理对研究对象进行分类，然后分别对每类问题进行解决的方法此方法多适用于公式、定理自身需要分类讨论的情况破解此类题的关键点：分类转化，结合已知所涉及的知识点，找到合理的分类标准依次求解，对每个分类所对
2、应的问题，逐次求解汇总结论，汇总分类结果，得结论典例 1 设等比数列 an的公比为 q，前 n 项和 Sn0 (n1,2,3，)，则 q 的取值范围是_解析 由 an是等比数列， Sn0，可得 a1 S10， q0，当 q1 时， Sn na10.当 q1 时， Sn 0，a11 qn1 q即 0(n1,2,3，)，1 qn1 q则有Error! 或Error! 由得11.故 q 的取值范围是(1,0)(0，)答案 (1,0)(0，)思维升华 公式、定理的分类整合法的分类一般比较固定，由定理、公式的限制引起的分类整合法往往是因为有的数学定理、公式是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数
3、列的前 n 项和公式、函数的单调性等跟踪演练 1 Sn是等比数列 an的前 n 项和，若 S4， S3， S5成等差数列，则 an的公比为( )A. B2 C D212 12答案 D解析 设 an的公比为 q(q0)，由等比数列 an的前 n 项和为 Sn，且 S4， S3， S5成等差数列，得 2S3 S4 S5.当 q1 时， S44 a1， S33 a1， S55 a1，此时 2S3 S4 S5，不满足题意；当 q1 时，有 ，即 q2 q20，2a11 q31 q a11 q41 q a11 q51 q解得 q2 或 q1(舍去)方法二 位置关系的分类整合法模型解法对于几何中位置关系的
4、分类讨论问题常采用分类整合法，这种方法适用于解析几何中直线与圆锥曲线的位置关系，以及几何图形中点、线、面的位置关系的研究破解此类题的关键点：确定特征，一般在确立初步特征时将能确定的所有位置先确定分类，根据初步特征对可能出现的位置关系进行分类得出结论，将“所有关系”下的目标问题进行汇总处理典例 2 在 约 束 条 件 Error!下 ， 当 3 s 5 时 ， z 3x 2y 的 最 大 值 的 变 化 范 围 是 ( )A6,15 B7,15C6,8 D7,8解析 由Error!可得Error!由图，可得 A(2,0)， B(4 s,2s4)， C(0， s)， C(0,4)当 3 s0)的焦
5、点为 F， P 为其上的一点， O 为坐标原点，若 OPF为等腰三角形，则这样的点 P 的个数为_答案 4解析 当| PO| PF|时，点 P 在线段 OF 的中垂线上，此时，点 P 的位置有两个；当|OP| OF|时，点 P 的 位 置 也 有 两 个 ； 对 |FO| |FP|的 情 形 ， 点 P 不 存 在 事 实 上 ， F(p， 0)，若 设 P(x， y)，则| FO| p，| FP| ，x p2 y2若 p，则有 x22 px y20，x p2 y2又 y24 px， x22 px0，解得 x0 或 x2 p，当 x0 时，不构成三角形当 x2 p(p0)时，与点 P 在抛物线
6、上矛盾符合要求的点 P 有 4 个方法三 含参问题的分类整合法模型解法含参问题的分类整合法是分类讨论问题中最重要、最常见也是最复杂的一种方法，在解决问题中一般根据参数的取值范围进行分类此模型适用于某些含有参数的问题，如含参的方程、不等式等，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的方法进行求解或证明，因此要分类讨论破解此类题的关键点：确定范围，确定需要分类问题中参数的取值范围确定分类标准，这些分类标准都是在解题过程中根据解决问题的需要确定的，注意有些参数可能出现多级分类，要做到不重不漏分类解决问题，对分类出来的各相应问题分别进行求解得出结论，将所得到的结论进行汇总，
7、得出正确结论典例 3 函数 f(x) ax24 x3 在0,2上有最大值 f(2)，则实数 a 的取值范围为( )A(，1 B1，)C(，0) D(0，)解析 方法一 当 a0 时， f(x)4 x3 在0,2上为单调递增函数，最大值为 f(2)，满足题意当 a0 时，函数 f(x) ax24 x3 a 23 ，其对称轴为 x .(x2a) 4a 2a当 a0 时， f(x) ax24 x3 在0,2上为单调递增函数，最大值为 f(2)，满足题意当 a0， a0， a0)，且经过 F1， F2两点， Q 是椭圆 C 上的动点且在圆 P 外，过 Q 作圆 P 的切线，切点为 M，当| QM|的最
8、大值为 时，求 t 的值322解 (1)设椭圆的方程为 1( ab0)，x2a2 y2b2依题意可得 2b 4，|1 9|2所以 b2，又 c1，所以 a2 b2 c25，所以椭圆 C 的方程为 1.x25 y24(2)设 Q(x， y) ，(满 足x25 y24 1)圆 P 的方程为 x2( y t)2 t21，连接 PM，因为 QM 为圆 P 的切线，所以 PM QM，所以| QM| |PQ|2 t2 1 x2 y t2 t2 1 . 14y 4t2 4 4t2若4 t2，即 t 时，12当 y2 时，| QM|取得最大值，且| QM|max ，4t 3322解得 t 2，即 0t ，12当 y4 t 时，| QM|取得最大值，且| QM|max ，4 4t2322解得 t2 ，又 0t ，所以 t .18 12 24综上，当 t 时，| QM|的最大值为 .24 322
