1、大题规范练(四)(满分 70 分，押题冲刺，70 分钟拿到主观题高分)解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤1(本小题满分 12 分) ABC 中，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，面积 S 满足S c2( a b)212(1)求 cos C；(2)若 c4，且 2sin Acos Csin B，求 b 的长解：(1)由 S c2( a b)2 ( a2 b2 c2)2 ab abcos C ab，又 S absin 12 12 12C，于是 absin C abcos C ab，即 sin C2(1cos C)，结合 sin2Ccos 2C1，可得125cos2C8c
2、os C30，解得 cos C 或 cos C1(舍去)，故 cos C .35 35(2)由 2sin Acos Csin B 结合正、余弦定理，可得 2a b，即( a c)a2 b2 c22ab(a c)0，解得 a c，又 c4，所以 a4，由 c2 a2 b22 abcos C，得 424 2 b224b，解得 b .35 2452(本小题满分 12 分)如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中， B1B B1A AB BC， B1BC90，D 为 AC 的中点， AB B1D.(1)求证：平面 ABB1A1平面 ABC；(2)求直线 B1D 与平面 ACC1A1所成角的正弦值解：(1)
3、取 AB 的中点 O，连接 OD， OB1.因为 B1B B1A，所以 OB1 AB.又 AB B1D， OB1 B1D B1，所以 AB平面 B1OD，因为 OD平面 B1OD，所以 AB OD.由已知， BC BB1，又 OD BC，所以 OD BB1，因为 AB BB1 B，所以 OD平面 ABB1A1.又 OD平面 ABC，所以平面 ABC平面 ABB1A1.(2)由(1)知， OB， OD， OB1两两垂直，以 O 为坐标原点， 的方向为 x 轴的正方向，| |为OB OB 单位长度 1，建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz.由题设知 B1(0,0， )， D(0,1,0)， A(
4、1,0,0)， C(1,2,0)， C1(0,2， )3 3则 (0,1， )， (2,2,0)， (1,0， )B1D 3 AC CC1 3设平面 ACC1A1的法向量为 m( x， y， z)，则 m 0， m 0，即AC CC1 x y0， x z0，可取 m( ， ，1)3 3 3设直线 B1D 与平面 ACC1A1所成角为 ，故 cos ， m .则 sin B1D B1D m|B1D |m| 217 .217直线 B1D 与平面 ACC1A1所成角的正弦值为 .2173(本小题满分 12 分)2017 年 1 月 6 日，国务院法制办公布了未成年人网络保护条例(送审稿) ，条例禁止
5、未成年人在每日的 0：00 至 8：00 期间打网游，强化网上个人信息保护，对未成年人实施网络欺凌，构成犯罪的，将被依法追究刑事责任为了解居民对实施此条例的意见，某调查机构从某社区内年龄(单位：岁)在25,55内的 10 000 名居民中随机抽取了 100 人，获得的所有样本数据按照年龄区间25,30)，30,35)，35,40)，40,45)，45,50)，50,55进行分组，同时对这 100 人的意见情况进行统计得到频率分布表(1)完成抽取的这 100 人的频率分布直方图，并估计这 100 人的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)将频率视为概率，根据样本估计总体的思想
6、，若从这 10 000 名居民中任选 4 人进行座谈，求至多有 1 人的年龄在50,55内的概率；(3)若按分层抽样的方法从年龄在区间25,40)，40,45)内的居民中共抽取 10 人，再从这10 人中随机抽取 3 人进行座谈，记抽取的 3 人的年龄在40,45)内的人数为 X，求 X 的分布列与数学期望.分组 持赞同意见的人数 占本组的频率25,30) 4 0.8030,35) 8 0.8035,40) 12 0.8040,45) 19 0.9545,50) 24 0.8050,55 17 0.85解：(1)根据题意可得年龄在25,30)内的人数为 5，其频率为 0.05；年龄在40.80
7、 510030,35)内的人数为 10，其频率为 0.1；年龄在35,40)内的人数为 15，其频80.80 10100 120.80率为 0.15；年龄在40,45)内的人数为 20，其频率为 0.2；年龄在45,50)内的15100 190.95 20100人数为 30，其频率为 0.3；年龄在50,55内的人数为 20，其频率为 0.2.作240.80 30100 170.85 20100出频率分布直方图如图所示根据频率分布直方图估计这 100 人的平均年龄为0.05 0.1 0.15 0.2 0.3 0.225 302 30 352 35 402 40 452 45 502 50 55
8、21.3753.255.6258.514.2510.543.5.(2)由(1)知随机抽取的这 100 人中，年龄在25,50)内的人数为 80，年龄在50,55内的人数为 20，任选 1 人，其年龄恰在50,55内的频率为 ，将频率视为概率，故从这 10 00020100 15名居民中任选 1 人，其年龄恰在50,55内的概率为 ，设“从这 10 000 名居民中任选 4 人进行15座谈，至多有 1 人的年龄在50,55内”为事件 A，则 P(A)C C 04 (115)4 (15)0 14 (1 15)3 .15 512625(3)由(1)得年龄在25,40)内的人数为 30，年龄在40,4
9、5)内的人数为 20，则分层抽样的抽样比为 302032，故从年龄在25,40)内的居民中抽取 6 人，从年龄在40,45)内的居民中抽取 4 人，则抽取的 3 人的年龄在40,45)内的人数 X 的所有可能取值为 0,1,2,3，P(X0) ，C36C04C310 16P(X1) ，C26C14C310 12P(X2) ，C16C24C310 310P(X3) .C06C34C310 130故 X 的分布列为X 0 1 2 3P 16 12 310 130E(X)0 1 2 3 .16 12 310 130 654(本小题满分 12 分)设椭圆 E： 1( a b0)的右焦点为 F，右顶点为
10、 A， B， C 是x2a2 y2b2椭圆上关于原点对称的两点( B， C 均不在 x 轴上)，线段 AC 的中点为 D，且 B， F， D 三点共线(1)求椭圆 E 的离心率；(2)设 F(1,0)，过 F 的直线 l 交 E 于 M， N 两点，直线 MA， NA 分别与直线 x9 交于 P， Q 两点证明：以 PQ 为直径的圆过点 F.解：(1)解法一：由已知 A(a,0)， F(c,0)，设 B(x0， y0)， C( x0， y0)，则 D，(a x02 ， y02) B， F， D 三点共线， ，又 ( c x0， y0)， ，BF BD BF BD (a 3x02 ， 3y02)
11、 y0(c x0) y0 ，32 a 3x02 a3 c，从而 e .13解法二：设直线 BF 交 AC 于点 D，连接 OD，由题意知， OD 是 CAB 的中位线， OD AB， ， 12 AB OD OFD AFB. ，解得 a3 c，从而 e .ca c 12 13(2)证明： F 的坐标为(1,0)， c1，从而 a3， b28.椭圆 E 的方程为 1.x29 y28设直线 l 的方程为 x ny1，由Error!(8 n29) y216 ny640， y1 y2 ， y1y2 ， 16n8n2 9 648n2 9其中 M(ny11， y1)， N(ny21， y2)直线 AM 的方
12、程为 ，yy1 x 3ny1 2 P ，同理 Q ，(9，6y1ny1 2) (9， 6y2ny2 2)从而 FP FQ (8， 6y1ny1 2) (8， 6y2ny2 2)6436y1y2n2y1y2 2n y1 y2 46436 648n2 9 64n28n2 9 32n28n2 9 464 0.36 6436 FP FQ，即以 PQ 为直径的圆恒过点 F.5(本小题满分 12 分)已知函数 f(x) x2 x aln x(a0)12(1)若 a1，求 f(x)的图象在(1， f(1)处的切线方程；(2)讨论 f(x)的单调性；(3)若 f(x)存在两个极值点 x1， x2，求证： f(
13、x1) f(x2) . 3 2ln 24解：(1) a1 时， f(x) x2 xln x， f( x) x1 ， f(1)1， f(1) ， y12 1x 12 x1，即 y x .(12) 32 f(x)的图象在(1， f(1)处的切线方程为 2x2 y30.(2)f( x) x1 (a0)ax x2 x ax若 a ， x2 x a0， f( x)0， f(x)在(0，)上单调递增14若 0 a ，由 x2 x a0 得 0 x 或 x ；由 x2 x a0 得14 1 1 4a2 1 1 4a2 x .1 1 4a2 1 1 4a2 f(x)在 上单调递减，在 和 上单(1 1 4a2
14、 ， 1 1 4a2 ) (0， 1 1 4a2 ) (1 1 4a2 ， )调递增综上，当 a 时， f(x)在(0，)上单调递增；14当 0 a 时， f(x)在 上单调递减，14 (1 1 4a2 ， 1 1 4a2 )在 和 上单调递增(0，1 1 4a2 ) (1 1 4a2 ， )(3)由(2)知 0 a 时， f(x)存在两个极值点 x1， x2，14且 x1， x2是方程 x2 x a0 的两个根， x1 x21， x1x2 a. f(x1) f(x2) x x1 aln x1 x x2 aln x2 (x1 x2)2 x1x2( x1 x2)1221 122 12 aln(x
15、1x2) a1 aln a12 aln a a .12令 g(x) xln x x ，则 g( x)ln x0.12(0 x 14) g(x)在 上单调递减，(0，14) g(x) g .(14) 3 2ln 24 f(x1) f(x2) . 3 2ln 24请考生在第 6、7 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分6(本小题满分 10 分)选修 44：坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的参数方程为Error!( 为参数)以 O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系(1)求圆 C 的普通方程；(2)直线 l 的极坐标方程是 2 sin 5 ，射线 OM： 与圆
16、 C 的交点为 O， P，( 6) 3 6与直线 l 的交点为 Q，求线段 PQ 的长解：(1)因为圆 C 的参数方程为Error!( 为参数)，所以圆心 C 的坐标为(0,2)，半径为 2，圆 C 的普通方程为 x2( y2) 24.(2)将 x cos ， y sin 代入 x2( y2) 24，得圆 C 的极坐标方程为 4sin .设 P( 1， 1)，则由Error!，解得 12， 1 . 6设 Q( 2， 2)，则由Error!，解得 25， 2 . 6所以| PQ|3.7(本小题满分 10 分)选修 45：不等式选讲已知 f(x)|2 x1| x1|.(1)将 f(x)的解析式写成分段函数的形式，并作出其图象；(2)若 a b1，对 a， b(0 ，)， 3 f(x)恒成立，求 x 的取值范围1a 4b解：(1)由已知，得 f(x)Error!作函数 f(x)的图象如图所示(2) a， b(0，)，且 a b1， (a b)5 52 9，当且仅当 ，即 a ， b 时等1a 4b (1a 4b) (ba 4ab) ba4ab ba 4ab 13 23号成立 3(|2 x1| x1|)恒成立，1a 4b|2 x1| x1|3，结合图象知1 x5. x 的取值范围是1,5
