1、第 22 讲 圆的基本性质1圆的有关概念考试内容考试要求定义 1：在一个平面内，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆圆的定义定义 2：圆是到定点的距离 定长的所有点组成的图形弦 连结圆上任意两点的 叫做弦直径直径是经过圆心的 ，是圆内最 的弦b弧圆上任意两点间的部分叫做弧，弧有_之分，能够完全重合的弧叫做_.等圆 能够重合的两个圆叫做等圆.同心圆 圆心相同的圆叫做同心圆a2.圆的对称性考试内容考试要求圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条经过 的直线圆的对称性圆是中心对称图形，对称中心为_.圆心角、弧、弦之间的关系在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧或两条弦中有一组
2、量 ，那么它们所对应的其余各组量也分别相等c3.圆周角考试内容考试要求圆周角的定义顶点在圆上，并且 都和圆相交的角叫做圆周角 b圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 推论 1 同弧或等弧所对的圆周角 推论 2半圆(或直径) 所对的圆周角是 ；90的圆周角所对的弦是 推论 3 圆内接四边形的对角 c4.点与圆的位置关系考试内容考试要求位置关系 点在圆内 点在圆上 点在圆外数量(d 与 r)的大小关系(设圆的半径为r，点到圆心的距离为 d)_ _ _b考试内容考试要求基本思想分类讨论思想：在很多没有给定图形的题目中，常常不能根据题目的条件把图形确定下来，因此会导致解的不唯一性对于这种多
3、解题必须要分类讨论，分类时要注意标准一致，不重不漏如：圆周角所对的弦是唯一的，但是弦所对的圆周角不是唯一的基本方法辅助线：有关直径的问题，如图，常作直径所对的圆周角c1(2016绍兴)如图，BD 是 O 的直径，点 A、C 在O 上， ，AOB60，AB BC 则BDC 的度数是( )A60 B45 C35 D302(2015宁波)如图，O 为ABC 的外接圆，A72，则BCO 的度数为( )A15 B18 C20 D283(2017绍兴)如图，一块含 45角的直角三角板，它的一个锐角顶点 A 在O 上，边 AB， AC 分别与O 交于点 D，E，则DOE 的度数为_第 3 题图 第 4 题图
4、4(2017湖州)如图，已知在 ABC 中，ABAC.以 AB 为直径作半圆 O，交 BC 于点D.若BAC40 ，则 的度数是_度AD 【问题】如图，四边形 ABCD 内接于O，CE 是直径(1)观察图形，你能得到哪些信息？(2)若ADC 130，则B _，AOC_ ， 的度数为_；AE (3) 若 AC6， AO5，则 AE_【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理圆的有关性质，弦、弧、圆心角的关系定理及推论，圆周角定理，圆的内接四边形等类型一 圆的有关概念下列语句中，正确的是_例 1半圆是弧；长度相等的弧是等弧；相等的圆心角所对的弧相等；圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是对称轴；经过圆内
5、一定点可以作无数条直径；三个点确定一个圆；直径是圆中最长的弦；一个点到圆的最小距离为 6cm，最大距离为9cm，则该圆的半径是 1.5cm 或 7.5cm；A 的半径为 6，圆心 A(3，5)，则坐标原点 O在A 内【解后感悟】圆中相关概念经常会出现错误，需要辨析，如在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等1(1)A、B 是半径为 5cm 的 O 上两个不同的点，则弦 AB 的取值范围是( )AAB0 B0AB5 C0AB10 D0AB10(2)下列说法中，正确的是( )A同一条弦所对的两条弧一定是等弧B相等圆周角所对弧相等C正多边形一定是轴对称图形D三角形的外心到三角形各边的距离相等(3)
6、(2017河北模拟 )如图，在矩形 ABCD 中，AB4，AD3，以顶点 D 为圆心作半径为 r 的圆，若要求另外三个顶点 A、B 、C 中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则 r 的取值范围是_ 类型二 圆的内接多边形(2017陕西模拟)如图， O 的内接四边形 ABCD 两组对边的延长线分别交于点例 2E、F.(1)若EF 时，求证： ADCABC；(2)若EF42时，求 A 的度数；(3)若E， F ，且 .请你用含有 、 的代数式表示A 的大小【解后感悟】本题主要考查圆内接四边形的对角互补；圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来
7、在应用时要注意是对角，而不是邻角互补2(1)(2015杭州)圆内接四边形 ABCD 中，已知A70，则C( )A20 B30 C70 D110(2) 如图，四边形 ABCD 内接于 O，若四边形 ABCO 是平行四边形，则ADC 的大小为( )A45 B50 C60 D75(3)(2015南京)如图，在O 的内接五边形 ABCDE 中， CAD35，则B E_.类型三 圆心角与圆周角的关系(1)如图，AB 为O 的直径，诸角 p，q，r，s 之间的关系例 3p2q；qr；ps 180中，正确的是( )A只有和 B只有和 C只有和 D，和(2)(2015台州)如图，四边形 ABCD 内接于O，点
8、 E 在对角线 AC 上，ECBCDC.若CBD39，求BAD 的度数；求证：12.【解后感悟】解题利用图形联想，揭示数量关系，如等腰三角形、圆周角定理、圆内接四边形等知识；圆周角定理及其推论建立了圆心角、弦、弧、圆周角之间的关系，最终实现了圆中的角(圆心角和圆周角 )的转化；当图中出现同弧或等弧时，常常考虑到弧所对的圆周角或圆心角， “一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半” ，通过弧把角联系起来注意掌握数形结合思想的应用3(1)(2017衢州模拟)如图，已知O 是ABD 的外接圆，AB 是O 的直径，CD 是O 的弦，ABD58，则BCD 等于_ (2)(2017巴中模拟)如图，AB
9、CD 的顶点 A、B 、D 在O 上，顶点 C 在O 的直径BE 上，连结 AE，E36，则ADC 的度数是_(3) (2017潍坊模拟 )如图，半径为 5 的A 中，弦 BC， ED 所对的圆心角分别是BAC，EAD.已知 DE6，BACEAD 180，则弦 BC 的弦心距等于_类型四 圆的综合运用(2017台州)如图，已知等腰直角三角形 ABC，点 P 是斜边 BC 上一点(不与例 4B，C 重合) ，PE 是ABP 的外接圆O 的直径(1)求证：APE 是等腰直角三角形；(2)若O 的直径为 2，求 PC2PB 2 的值【解后感悟】解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，
10、注意数形结合的应用4(2017丽水)如图，在 RtABC 中，CRt，以 BC 为直径的O 交 AB 于点D，切线 DE 交 AC 于点 E.(1)求证：A ADE；(2)若 AD16，DE10，求 BC 的长【探索研究题】(2017杭州)如图，已知 ABC 内接于O，点 C 在劣弧 AB 上( 不与点 A，B 重合)，点 D 为弦 BC 的中点，DE BC，DE 与 AC 的延长线交于点 E，射线 AO 与射线 EB 交于点 F，与O 交于点 G，设GAB ，ACB ，EAG EBA ，(1)点点同学通过画图和测量得到以下近似数据： 30 40 50 60 120 130 140 150 1
11、50 140 130 120猜想： 关于 的函数表达式， 关于 的函数表达式，并给出证明；(2)若 135 ，CD3，ABE 的面积为ABC 的面积的 4 倍，求O 半径的长【方法与对策】本题涉及圆周角定理，勾股定理，解方程，垂直平分线的性质等知识，这样要联想，并及时调整图形，揭示数量关系特征，从而解决问题，这是中考命题的热点【忽视圆周角顶点可能在优弧上，也可能在劣弧上】一条弦的长度等于它所在的圆的半径，那么这条弦所对的圆周角的度数是_参考答案第 22 讲 圆的基本性质【考点概要】1等于 线段 弦 长 优弧、半圆、劣弧 等弧2圆心 圆心 相等 3.两边 一半 相等 直角 直径 互补 4.dr
12、dr dr【考题体验】1D 2.B 3.90 4.140【知识引擎】【解析】(1) 由圆心角、圆周角定理，圆的内接四边形可知：B E AOC, 12B D180， CAE 90等； (2)50，100，80； (3)8.【例题精析】例 1 例 2 (1)E F， DCEBCF ，ADC EDCE ，ABCFBCF，ADC ABC； (2) 由(1)知ADC ABC ，EDCABC，EDCADC，ADC90，A904248 ； (3)连结 EF，如图，四边形 ABCD 为圆的内接四边形，ECDA，ECD 12，A 1 2，A12EF180，2A180 ，A90 . 例 3 (1) A；(2) 2
13、BCCD ， .BACCADCBD. CBD39，BC DC BACCAD39.BAD BAC CAD 78.ECBC， CBECEB，CBE 1CBD ，CEB2BAC，又BACCBD，1 2.例 4 (1)ABAC，BAC90，C ABC45，AEP ABP45， PE 是直径，PAE90 ，APEAEP45，AP AE ，PAE 是等腰直角三角形. (2)作 PMAC 于 M，PNAB 于 N，则四边形 PMAN 是矩形，PM AN，PCM，PNB 都是等腰直角三角形，PC PM， PB PN， PC 2PB 22(PM 2PN 2) 2(AN2PN 2)2 22PA 2PE 2 224
14、.( 也可以证明ACP ABE，PBE 是直角三角形)【变式拓展】1(1)D (2)C (3)3r5 2.(1)D (2)C (3)215 3.(1)32 (2)54 (3)3 4.(1)连结 OD，DE 是切线，ODE90，ADEBDO90，ACB90 ，A B90，ODOB， BBDO，ADE A. (2)连结 CD. ADEA，AE DE，BC 是O 的直径，ACB90，EC 是O 的切线，EDEC， AEEC ，DE 10，AC 2DE20，在 RtADC 中，DC 12，设 BDx，在 RtBDC 中，BC 2 x212 2，在 RtABC 中，202 162BC2(x 16) 22
15、0 2，x 212 2(x16) 220 2，解得 x9，BC 15.122 92【热点题型】【分析与解】(1)猜想：90，180，连结 OB，由圆周角定理可知：2BCA 360BOA ，OBOA，OBA OAB，BOA1802 ，2360(180 2)， 90，D 是 BC 的中点，DE BC ，OE是线段 BC 的垂直平分线，BE CE，BEDCED，EDC90，BCAEDC CED，90CED，CED， CEDOBA ，O、A、E、B 四点共圆，EBOEAG180， EBAOBAEAG180，180；(2)当 135 时，此时图形如图所示，45，135，BOA90，BCE 45，由 (1)可知：O 、A 、E、B 四点共圆， BEC90，ABE 的面积为ABC 的面积的 4 倍， 4， 3，设 CE3x， ACx，由(1)可知：AEAC CEACBC2CD 6， BCE45 ，CEBE 3x，由勾股定理可知： (3x)2(3x)26 2，x ，BECE 3 ，AC ，AEAC CE4 ，在 RtABE 中，由勾2 2 2 2股定理可知：AB 2(3 )2 (4 )2，AB5 ，BAO45，AOB90，在2 2 2Rt AOB 中，设半径为 r，由勾股定理可知： AB22r 2， r 5，O 半径的长为 5.【错误警示】30或 150
