1、A 级1在正三棱柱 ABCA 1B1C1 中，AB4，点 D 在棱 BB1 上，若 BD3，则 AD 与平面AA1C1C 所成角的正切值为( )A. B235 43C. D54 23913解析： 如图，可得 ( ) 42 1252 cos AD EB AB BD EB AB EB 3 32 3( 为 与 的夹角)，AD EB 所以 cos ，sin ，tan ，又因为 BE平面 AA1C1C，所以所求角的正切235 135 396值为 .23913答案： D2如图，在矩形 ABCD 中，AB2，AD3，点 E 为 AD 的中点，现分别沿 BE，CE将ABE ，DCE 翻折，使得点 A，D 重合
2、于 F，此时二面角 EBCF 的余弦值为( )A. B721 74C. D32 34解析： 如图所示，取 BC 的中点 P，连接 EP，FP，由题意得 BFCF2，PFBC，又 EBEC，EPBC， EPF 为二面角 EBCF 的平面角，而 FP ，在 EPF 中， cosEPF .FB2 (12BC)2 72 EP2 FP2 EF22EPFP4 74 942272 74答案： B3在空间直角坐标系中，以点 A(4,1,9)，B(10，1,6) ，C(x,4,3) 为顶点的ABC 是以BC 为斜边的直角三角形，则实数 x 的值为_解析： 由题意得 (6 ，2，3) ，AB (x 4,3，6)，
3、AC (6，2，3)( x4,3 ， 6)AB AC 6(x 4)6180，解之得 x2.答案： 24(2017全国卷)a，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形 ABC 的直角边 AC 所在直线与 a，b 都垂直，斜边 AB 以直线 AC 为旋转轴旋转，有下列结论：当直线 AB 与 a 成 60角时， AB 与 b 成 30角；当直线 AB 与 a 成 60角时， AB 与 b 成 60角；直线 AB 与 a 所成角的最小值为 45；直线 AB 与 a 所成角的最大值为 60.其中正确的是_(填写所有正确结论的编号 )解析： 依题意建立如图所示的空间直角坐标系 设等腰直角三角形 AB
4、C 的直角边长为 1.由题意知点 B 在平面 xOy 中形成的轨迹是以 C 为圆心，1 为半径的圆设直线 a 的方向向量为 a(0,1,0)，直线 b 的方向向量为 b(1,0,0)， 以 Ox 轴为始边CB 沿逆时针方向旋转的旋转角为 ，0,2)，则 B(cos ，sin ，0)， (cos ，sin ，1) ，| | .AB AB 2设直线 AB 与 a 所成夹角为 ，则 cos |sin | ，|AB a|a|AB | 22 0，224590，正确，错误设直线 AB 与 b 所成夹角为 ，则 cos |cos |.|AB |b|b|AB | 22当直线 AB 与 a 的夹角为 60，即
5、60时，则|sin | cos cos 60 ，2 222|cos | .cos |cos | .22 22 12090， 60 ，即直线 AB 与 b 的夹角为 60.正确错误答案： 5(2017惠州市第三次调研考试) 如图，四边形 ABCD 是圆柱 OQ 的轴截面，点 P 在圆柱 OQ 的底面圆周上，G 是 DP 的中点，圆柱 OQ 的底面圆的半径 OA2，侧面积为8 ， AOP 120.3(1)求证：AG BD；(2)求二面角 PAGB 的平面角的余弦值解析： 建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz，由题意可知 8 22 AD，解得 AD2 .3 3则 A(0,0,0)，B(0,4,0)
6、，D(0,0,2 )，P( ，3,0)，3 3G 是 DP 的中点，可求得 G .(32，32，3)(1)证明： (0，4,2 )， .BD 3 AG ( 32，32，3) (0，4,2 )0，AG BD ( 32，32，3) 3AGBD.(2) ( ，1,0)， ， ， ，BP 3 AG ( 32，32，3) PG ( 32， 32，3) BG ( 32， 52，3) 0， 0，BP PG AG BP 是平面 APG 的法向量BP 设 n(x，y,1)是平面 ABG 的法向量，由 n 0，n 0，AG AB 解得 n(2,0,1)，cos ，n .BP BP n|BP |n| 2325 15
7、5二面角 PAGB 的平面角的余弦值为 .1556(2017太原市模拟试题)如图，在几何体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 是菱形，BE平面 ABCD，DFBE ，且 DF2BE2，EF3.(1)证明：平面 ACF平面 BEFD；(2)若二面角 AEFC 是直二面角，求直线 AE 与平面 ABCD 所成角的正切值解析： (1)证明： 四边形 ABCD 是菱形， ACBD.BE平面 ABCD，BEAC，BDBEB ，AC平面 BEFD，AC平面 ACF，平面 ACF平面 BEFD.(2)设 AC 与 BD 的交点为 O，由(1)得 ACBD，分别以 OA，OB 为 x 轴和 y 轴，过点 O
8、 作垂直于平面 ABCD 的直线为 z 轴，建立如 图所示的空间直角坐 标系 Oxyz，BE平面 ABCD，BEBD，DFBE，DFBD，BD2EF 2(DF BE) 28，BD2 .2设 OAa( a0)，则 A(a,0,0)，C(a,0,0)， E(0， ，1)，F(0， ，2)， (0 ， 2 ，1)，2 2 EF 2( a， ，1)， ( a， ，1)AE 2 CE 2设 m(x 1，y1，z1)是平面 AEF 的法向量，则Error!即Error!，令 z12 ，2m 是平面 AEF 的一个法向量，(32a，1，22)设 n(x 2，y2，z2)，是平面 CEF 的法向量，则Erro
9、r!即Error!令 z22 ，2n 是平面 CEF 的一个法向量，( 32a，1，22)二面角 AEFC 是直二面角，mn 90，a .18a2 2BE平面 ABCD，BAE 是直线 AE 与平面 ABCD 所成的角，AB 2，tan BAE .OA2 OB2BEAB 12故直线 AE 与平面 ABCD 所成角的正切值为 .12B 级1(2017安徽省两校阶段性测试) 已知四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是梯形，BCAD ，AB AD，且 ABBC 1，AD 2，顶点 P 在平面 ABCD 内的射影 H 在 AD 上，PA PD.(1)求证：平面 PAB平面 PAD；(2)若直线 A
10、C 与 PD 所成角为 60，求二面角 APCD 的余弦值解析： (1)证明： PH平面 ABCD，AB平面 ABCD，PHAB.ABAD，ADPHH，AD ，PH平面 PAD，AB平面 PAD.又 AB平面 PAB，平面 PAB平面 PAD.(2)以 A 为原点，建立空 间直角坐标系 Axyz，如 图， PH平面 ABCD，z 轴PH.则 A(0,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，设 AHa， PHh(00)则 P(0，a，h) (0，a，h)， (0 ，a 2，h)， (1,1,0)AP DP AC PAPD， a( a2)h 20.AP DP AC 与 PD 所成角为 60，
11、|cos( ， )| ，AC DP |a 2|2 a 22 h2 12(a 2)2h 2，(a2)( a1) 0，00，h1，P(0,1,1) (0,1,1)， (1,1,0) ， (1,0， 1)， (1， 1,0)，设平面 APC 的法向量为AP AC PC DC n( x，y，z)，由 Error!，得平面 APC 的一个法向量为 n(1， 1,1)，设平面 DPC 的法向量为 m (x，y，z)由Error!得平面 DPC 的一个法向量为(1,1,1)cosm，n .mn|m|n| 13二面角 APCD 的平面角为钝角，二面角 APCD 的余弦值为 .132已知长方形 ABCD 中，A
12、B1，AD .现将长方形沿对角线 BD 折起，使2ACa，得到一个四面体 ABCD，如图所示(1)试问：在折叠的过程中，异面直线 AB 与 CD，AD 与 BC 能否垂直？若能垂直，求出相应的 a 值；若不垂直，请说明理由；(2)当四面体 ABCD 的体积最大时，求二面角 ACDB 的余弦值解析： (1)若 ABCD，因为 ABAD，ADCD D，所以 AB平面 ACD，AC平面 ACD，所以 ABAC.即 AB2a 2BC 2，即 12a 2( )2，所以 a1.2若 ADBC，因为 ADAB，BCABB，所以 AD平面 ABC，所以 ADAC.即 AD2a 2CD 2，即( )2a 21
13、2，2所以 a21，无解故 ADBC 不成立(2)要使四面体 ABCD 的体积 最大， 因为BCD 的面积为定值 ，22所以只需三棱锥 ABCD 的高最大即可，此时平面 ABD平面 BCD.过点 A 作 AOBD 于点 O，则 AO平面 BCD，以 O 为原点建立空间直角坐标系 Oxyz(如图)，则易知 A ，C ，D ，(0，0，63) ( 63，33，0) (0，233，0)显然，平面 BCD 的一个法向量 为 .OA (0，0，63)设平面 ACD 的法向量为 n( x，y，z)因为 ， ，CD ( 63，33，0) DA (0， 233，63)则Error!即Error!令 y ，得 n(1， ，2)2 2故二面角 ACDB 的余弦值为|cos ，n| .OA |263|63 1 2 4 277
