1、专题限时集训(十) 立体几何中的向量方法(对应学生用书第 97 页)(限时：40 分钟)题型 1 向量法求线面角 1题型 2 向量法求二面角 2,4题型 3 利用空间向量求解探索性问题 31(2017郑州二模)如图 109，三棱柱 ABCA1B1C1中，各棱长均相等 D， E， F 分别为棱AB， BC， A1C1的中点图 109(1)证明： EF平面 A1CD；(2)若三棱柱 ABCA1B1C1为直棱柱，求直线 BC 与平面 A1CD 所成角的正弦值解 (1)证明：在三棱柱 ABCA1B1C1中， AC A1C1，且 AC A1C1，连接 ED，在 ABC 中，因为 D， E 分别为棱 AB
2、， BC 的中点，所以 DE AC， DE AC.12又 F 为 A1C1的中点，可得 A1F A1C1，所以 A1F DE， A1F DE，12因此四边形 A1FED 为平行四边形，所以 EF A1D，又 EF平面 A1CD， A1D平面 A1CD，所以 EF平面 A1CD.(2)法一：(几何法)因为底面 ABC 是正三角形， D 为 AB 的中 点，所以 CD AB，又 AA1 CD， AA1 AB A，所以 CD平面A1ABB1.如图在平面 A1ABB1内，过点 B 作 BG A1D，交直线 A1D 于点 G，连接 CG，则 BG平面 A1CD，所以 BCG 为直线 BC 与平面 A1C
3、D 所成的角设三棱柱的棱长为 a，可得 A1D ，由 A1AD BGD，5a2可得 BG ，5a5在 Rt BCG 中，sin BCG .BGBC 55所以直线 BC 与平面 A1CD 所成角的正弦值为 .55法二：(向量法)设 A1B1的中点为 O，连接OC1， OD，因为三棱柱 ABCA1B1C1为直棱柱，所以 OD平面 A1B1C1，所以 OD OC1， OD OA1.又 A1B1C1为 等边三角形，所以 OC1 A1B1.以 O 为坐标原点， ， ， 的方向分别为 x 轴，OA1 OD OC1 y 轴，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz.设三棱柱的棱长为 a，则 O
4、(0,0,0)， B ，(a2， a， 0)C ， A1 ， D(0， a,0)所以(0， a，32a) (a2， 0， 0) ， ， .BC (a2， 0， 32a) A1D ( a2， a， 0) DC (0， 0， 32a)设平面 A1CD 的法向量为 n( x， y， z)，由Error!，得Error!.设 x2，解得 n(2,1,0)设直线 BC 与平面 A1CD 所成的角为 ，则 sin .|nBC |n|BC | a5a2 55所以直线 BC 与平面 A1CD 所成角的正弦值为 .552(2017合肥二模)如图 1010(1)，在矩形 ABCD 中， AB1， AD2，点 E
5、为 AD 的中点，沿BE 将 ABE 折起至 PBE，如图 2 所示，点 P 在平面 BCDE 上的射影 O 落在 BE 上图 1010(1)图 1010(2)(1)求证： BP CE；(2)求二面角 BPCD 的余弦值. 【导学号：07804077】解 (1)证明：因为点 P 在平面 BCDE 上的射影 O 落在 BE 上，所以平面 PBE平面BCDE，易知 BE CE，所以 CE平面 PBE，而 BP平面 PBE，所以 PB CE.(2)以 O 为坐标原点，以过点 O 且平行于 CD 的直线为 x 轴，过点 O 且平行于 BC 的直线为y 轴，直线 PO 为 z 轴，建立如图所示的空间直角
6、坐标系，则B ， C ， D ， P .(12， 12， 0) (12， 32， 0) ( 12， 32， 0) (0， 0， 22)所以 (1,0,0)， ， ， (0,2,0)CD CP ( 12， 32， 22) PB (12， 12， 22) BC 设平面 PCD 的法向量为 n1( x1， y1， z1)，则有Error!，即Error! ，令 z1 ，2可得 n1 .(0，23， 2)设平面 PBC 的法向量为 n2( x2， y2， z2)，则Error!，即Error!，令 z2 ，2可得 n2(2,0， )2所以 cos n1， n2 .n1n2|n1|n2| 3311考虑到
7、二面角 BPCD 为钝角，则其余弦值为 .33113(2017郑州三模)如图 1011，在四边形 ABCD 中， AB CD， BCD ，四边形 ACFE 为矩23形，且 CF平面 ABCD， AD CD BC CF.图 1011(1)求证： EF平面 BCF；(2)点 M 在线段 EF 上运动，当点 M 在什么位置时，平面 MAB 与平面 FCB 所成锐二面角最大，并求此时二面角的余弦值解 (1)证明：在梯形 ABCD 中，设 AD CD BC1， AB CD， BCD ， AB2， AC2 AB2 BC22 ABBCcos 3.23 3 AB2 AC2 BC2， BC AC. CF平面 A
8、BCD， AC平面 ABCD， AC CF，而 CF BC C， AC平面 BCF.四边形 ACFE 是矩形， EF AC， EF平面 BCF.(2)由(1)知，以 CA， CB， CF 所成直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设 AD CD BC CF1，令FM (0 )，则 C(0,0,0)， A( ，0,0)， B(0,1,0)，3 3M( ，0,1)， ( ，1,0)， ( ，1,1)，AB 3 BM 设平面 MAB 的法向量为 n1( x， y， z)，则Error!，即Error!，令 x1，则 n1(1， ， )，为平面 MAB 的一个法向量3 3
9、易知 n2(1,0,0)是平面 FCB 的一个法向量，设平面 MAB 与平面 FCB 所成锐二面角为 ，则 cos .|n1n2|n1|n2| 11 3 3 21 1 3 2 40 ，当 0 时，cos 有最小值 ，377点 M 与点 F 重合时，平面 MAB 与平面 FCB 所成锐二面角最大，此时二面角的余弦值为 .774(2017河北石家庄二模)如图 1012，在三棱柱 ABCDEF 中，侧面 ABED 是边长为 2 的菱形，且 ABE ， BC .四棱锥 FABED 的体积为 2，点 F 在平面 ABED 内的正投影为点 G，且 3 212点 G 在 AE 上，点 M 在线段 CF 上，
10、且 CM CF.14图 1012(1)证明：直线 GM平面 DEF；(2)求二面角 MABF 的余弦值. 【导学号：07804078】解 (1)证明：因为四棱锥 FABED 的体积为 2，所以 VFABED 22FG2，所13 32以 FG .3又 BC EF ，所以 EG ，212 32易知 AE2，则点 G 是 AE 的靠近点 A 的四等分点过点 G 作 GK AD 交 DE 于点 K，连接 FK，则 GK AD CF.34 34又 MF CF，所以 MF GK，又 MF GK，34所以四边形 MFKG 为平行四边形，所以 GM FK，又 FK平面 DEF， GM平面 DEF，所以直线 G
11、M平面 DEF.(2)连接 BD，设 AE， BD 的交点为 O，以 OB 所在直线为 x 轴，OE 所在直线为 y 轴，过点 O 的平面 ABED 的垂线为 z 轴建立 空间直角坐标系，如图所示，则 A(0，1,0)， B( ，0,0)， F ，3 (0， 12， 3)M ， ( ，1,0)， ， .(334， 54， 3) BA 3 BM ( 34， 54， 3) BF ( 3， 12， 3)设平面 ABM，平面 ABF 的法向量分别为 m( x1， y1， z1)， n( x2， y2， z2)，则Error!Error!得Error!Error!不妨取 x1 x21，则 m(1， ，1)， n ，3 (1， 3，12)所以 cos m， n ，mn|m|n| 78585易知二面角 MABF 是锐二面角，故二面角 MABF 的余弦值为 .78585
