1、第 31 课时 弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积和全面积(70 分)一、选择题(每题 5 分，共 30 分)12017宿迁 若将半径为 12 cm 的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径是 ( D )A2 cm B3 cmC4 cm D6 cm【解析】 圆锥的侧面展开 图的弧长为 212212(cm)，圆锥的底面圆半径为 1226(cm)2如图 311，要拧开一个边长为 a6 mm 的正六边形螺帽，扳手张开的开口b 至少为 ( C )A6 mm B12 mm2C6 mm D4 mm3 3图 311 图 31232017兰州 如图 312，正方形 ABCD 内接于半径为 2 的O，
2、则图中阴影部分的面积为 ( D )A1 B2C1 D 2【解析】 由图可知，圆的面积为 4，正方形的 对角线长度等于圆的直径为4，所以对应的边长为 2 ，即正方形的面 积为 8，根据图形的对称性，阴影面2积为 ，化简得 2，故选 D.4 8442017咸宁 如图 313，O 的半径为 3，四边形 ABCD 内接于O ，连结OB，OD ，若BOD BCD，则 的长为 ( C )BD 图 313A B. C2 D332【解析】 四边形 ABCD 内接于O，BCDA 180 ，BOD2 A，BODBCD，2 AA180 ，解得A 60，BOD120 ， 12031802.BD 52017重庆 B 卷
3、 如图 314，在矩形 ABCD 中， AB4，AD2，分别以点A，C 为圆心，AD，CB 为半径画弧，交 AB 于点 E，交 CD 于点 F，则图中阴影部分的面积是 ( C )图 314 A42 B8 2C8 2 D84【解析】 矩形面 积为 8，两个全等扇形面积和为 222，阴影部分面12积为 82.62017衢州 运用图形变化的方法研究下列问题：如图 315，AB 是O 的直径，CD，EF 是O 的弦，且 ABCDEF，AB10，CD6，EF8，则图中阴影部分的面积是 ( A )A. B10252C24 4 D245图 315 第 6 题答图【解析】 如答 图， 连结 OC，OD，OE，
4、OF，过 O 作 OMEF 于 M，反向延长线交 CD 于 N.ABCDEF，易证阴影部分面积即为扇形 COD 与扇形EOF 的和，由 AB10，CD 6， EF8，MOEF ，ONCD，易知ODOF 5，FMON4，OMDN3， OFMDON，FOMDON 90， EOFCOD180 ，故阴影部分面 积等于半圆面积，为 52 .12 252二、填空题(每题 5 分，共 30 分)72017菏泽 一个扇形的圆心角为 100，面积为 15，则此扇形的半径长为_3 _.6【解析】 圆心角为 100，面积为 15 cm2，由扇形面 积公式 S ，得nR2360R 3 .360Sn 36015100
5、682017自贡 圆锥的底面周长为 6 cm，高为 4 cm，则该圆锥的全面积是_ 24_；侧面展开扇形的圆心角是_216_【解析】 圆锥的底面周长为 6，底面半径为 r 623，根据勾股定理，得圆锥的母线 R 5， 侧面展开扇形的弧长 l2r6，r2 h2 32 42侧面展开扇形的面积 S 侧 lR 6515 ，底面积 S 底 r 29，该12 12圆锥的全面积 S 全 15 924；设侧面展开扇形的圆心角为 n，则l，即 6，解得 n216.nR180 n51809如图 316，已知 C，D 是以 AB 为直径的半圆周上的两点， O 是圆心，半径 OA 2，COD120，则图中阴影部分的面
6、积等于_ _23图 316【解析】 S 阴影 .nR2360 （180 120）22360 23102017日照 如图 317，四边形 ABCD 中，ABCD，AD BC ，以点 B 为圆心，BA 为半径的圆弧与 BC 交于点 E，四边形 AECD 是平行四边形，AB6，则扇形( 图中阴影部分) 的面积是_6_【解析】 四边形 AECD 是平行四边形，AECD，AB BECD6， ABBEAE，ABE 是等边三角形，B 60，S 扇形 BAE 6 .6062360112017安徽改 编如图 318，已知等边三角形 ABC 的边长为 6，以 AB 为直径的O 与边 AC，BC 分别交于 D，E
7、两点，则劣弧 的长为_ _DE 图 317图 318 第 11 题答图【解析】 如答图， 连结 OD，OE，ABC 是等边三角形，A B C 60 ，OAOD，OBOE， AOD，BOE 是等边三角形，AODBOE60 ，DOE60， OA AB3， .12 DE 603180122017岳阳 我国魏晋时期的数学家刘徽创立了“割圆术” ，认为圆内接正多边形数无限增加时，周长就越接近圆周长，由此求得了圆周率 的近似值设半径为 r 的圆内接正 n边形的周长为 L，圆的直径为 d.如图 319 所示，当 n6时， 3，那么当 n12 时，Ld 6r2r _3.11_(结果精确到 0.01，参考数据：
8、sin15cos750.259)Ld【解析】 如答图所示，则 AOB30， AOC15.在 Rt AOC 中，sin15 0.259，AC0.259r，AB2AC0.518r，L1ACAO ACr2AC6.216r， 3.1083.11.Ld 6.216r2r13(10 分)2017 湖州如图 3110，O 为 RtABC 的直角边 AC 上一点，以 OC 为半径的 O 与斜边 AB 相切于点 D，交 OA 于点 E.已知 BC ，AC3.3(1)求 AD 的长；(2)求图中阴影部分的面积图 319第 12 题答图图 3110解：(1)在 RtABC 中，BC ，AC3.3AB 2 ，AC2
9、BC2 3BCOC，BC 是圆的切线，O 与斜边 AB 相切于点 D，BDBC，ADABBD2 ；3 3 3(2)在 RtABC 中，sinA ，A30，BCAB 323 12O 与斜边 AB 相切于点 D，ODAB，AOD90A60， tanA tan30， ，ODAD OD3 33OD1， S 阴影 .6012360 6(18 分)14(8 分)2017 长沙如图 3111，AB 与O 相切于点 C，OA，OB 分别交O 于点 D，E， ，CD CE (1)求证：OAOB；(2)已知 AB4 ，OA4 ，求阴影部分的面积3图 3111 第 14 题答图解：(1)如答图 ，连结 OC，AB
10、与O 相切于点 C，ACO90， ，AOCBOC，CD CE A B ，OAOB；(2)由(1)可知OAB 是等腰三角形，BC AB2 ，sinCOB ，12 3 BCOB 32COB60 ，B30 ，OC OB2，S 扇形 OCE ，12 604360 23SOCB 2 22 ，S 阴影 2 .12 3 3 3 2315.(10 分)2017 潍坊如图 3112，AB 为半圆 O 的直径，AC 是半圆 O 的一条弦，D 为 的中点，作 DEAC，交 AB 的延长线于点 F，连结 DA.BC (1)求证：EF 为半圆 O 的切线；(2)若 DADF6 ，求阴影区域的面积( 结果保留根号和 )3
11、图 3112 第 15 题答图解：(1)证明：如答 图，连结 OD，D 为 的中点，BC CADBAD.OAOD， BADADO.CADADO，AEOD，DEAC，ODEF.EF 为半圆 O 的切线；(2)如答图，连结 OC 与 CD.DADF ，BADF，BADFCAD.又BAD CAD F90，F 30，BAC60 .OCOA， AOC 为等边 三角形AOC60 ，COB120 .ODEF，F30 ，DOF60 .在 RtODF 中，DF6 ，3ODDFtan306.在 RtAED 中，DA6 ，CAD30，3DEDA sin303 ，EADAcos309.3COD180 AOCDOF60
12、 ，CDAB，故 SACDS COD.S 阴影 SAEDS 扇形 COD 93 62 6.12 3 60360 2732(12 分)16(12 分)2017 孝感如图 3113，O 的直径 AB10，弦 AC6，ACB的平分线交O 于 D，过点 D 作 DEAB 交 CA 的延长线于点 E，连结AD，BD .(1)由 AB，BD， 围成的曲边三角形 (阴影部分)的面积是 ；AD 252 254(2)求证：DE 是O 的切线；(3)求线段 DE 的长图 3113 第 16 题答图解：(1)如答图 ，连结 OD，AB 是直径，且 AB10，ACB90 ，AOBO DO5，CD 平分ACB，ABDACD ACB45 ，12AOD90，SS 扇形 AODS BOD 55 ；9052360 12 252 254(2)证明：由(1)知AOD90 ，即 ODAB，DEAB，ODDE，DE 是O 的切线；(3)AB10，AC6，BC 8，AB2 AC2如答图，过点 A 作 AFDE 于点 F，则四边形 AODF 是正方形，AFOD FD5，EAF90CABABC ，tanEAFtanABC， ，即 ，EF ，EFAF ACBC EF5 68 154DEDF EF5 .154 354
