1、阶段方法技巧训练（一）,专训2 圆中常用的作辅助线的八种方法,在解决有关圆的计算或证明题时，往往需要 添加辅助线，根据题目特点选择恰当的辅助线至 关重要圆中常用的辅助线作法有：作半径，巧 用同圆的半径相等；连接圆上两点，巧用同弧所 对的圆周角相等；作直径，巧用直径所对的圆周 角是直角；证切线时“连半径，证垂直”以及 “作垂直，证半径”等,1,方法,作半径，巧用同圆的半径相等,1如图所示，两正方形彼此相邻，且大正方形ABCD的顶点A，D在半圆O上，顶点B，C在半圆O的直径上；小正方形BEFG的顶点F在半圆O上，E点在半圆O的直径上，点G在大正方形的边AB上若小正 方形的边长为4 cm，求该半圆的
2、半径,如图，连接OA，OF. 设OAOFr cm，ABa cm. 在RtOAB中，r2 a2， 在RtOEF中，r242 ， a216164a . 解得a18，a24(舍去) r2 8280. r14 ，r24 (舍去)即该半圆的半径为4 cm.,解：,在有关圆的计算题中，求角度或边长时，常连接半径构造等腰三角形或直角三角形，利用特殊三角形的性质来解决问题,2,方法,连接圆上两点，巧用同弧所对的圆周角相等,2如图，圆内接三角形ABC的外角ACM的平分线与圆交于D点，DPAC，垂足是P，DHBM，垂足为H.求证：APBH.,如图，连接AD，BD. DAC、DBC是DC所对的圆周角 DACDBC.
3、 CD平分ACM，DPAC，DHCM， DPDH. 在ADP和BDH中，ADPBDH. APBH.,证明：,本题通过作辅助线构造圆周角，然后利用“同弧所对的圆周角相等”得到DACDBC，为证两三角形全等创造了条件,3,作直径，巧用直径所对的圆周角是直角,方法,3如图，O的半径为R，弦AB，CD互相垂直，连接AD，BC.(1)求证：AD2BC24R2；,(1) 如图，过点D作O的直径DE，连接AE，EC，AC.DE是O的直径，ECDEAD90.又CDAB，ECAB.BACACE.BCAE. BCAE.在RtAED中，AD2AE2DE2，AD2BC24R2.,证明：,(2)若弦AD，BC的长是方程
4、x26x50的两个根(ADBC)，求O的半径及点O到AD的距离,(2)如图，过点O作OFAD于点F.弦AD，BC的长是方程x26x50的两个根 (ADBC)，AD5，BC1.,解：,由(1)知，AD2BC24R2， 52124R2. R . EAD90，OFAD， OFEA. 又O为DE的中点， OF AE BC .即点O到AD的距离为 .,本题作出直径DE，利用“直径所对的圆周角是直角”构造了两个直角三角形，给解题带来了方便,4,证切线时辅助线作法的应用,方法,4如图，ABC内接于O，CACB，CDAB且与OA的延长线交于点D. 判断CD与O的位置关系，并说明理由,CD与O相切，理由如下：
5、如图，作直径CE，连接AE. CE是直径，EAC90. EACE90. CACB，BCAB. ABCD， ACDCAB. BACD. 又BE，ACDE. ACEACD90，即OCDC.又OC为O的半径，CD与O相切,解：,5,遇弦加弦心距或半径,方法,5如图所示，在半径为5的O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且ABCD8，则OP的长为( )A3 B4 C3D4,C,6【中考贵港】如图所示，AB是O的弦，OHAB于点H，点P是优弧上一点，若AB2 ，OH1，则APB的度数是_,6,遇直径巧加直径所对的圆周角,方法,7如图，在ABC中，ABBC2，以AB为直径的 O分别交BC，AC于点
6、D，E，且点D是BC的中点,(1)求证：ABC为等边三角形,(1) 如图，连接AD，AB是O的直径，ADB90.点D是BC的中点，AD是线段BC的垂直平分线ABAC.ABBC，ABBCAC，ABC为等边三角形,证明：,(2)求DE的长,(2)如图，连接BE.AB是直径，AEB90，BEAC.ABC是等边三角形，AEEC，即E为AC的中点D是BC的中点，故DE为ABC的中位线DE AB 21.,解：,7,遇切线巧作过切点的半径,方法,8如图，O是RtABC的外接圆，ABC90，点P是圆外一点，PA切O于点A，且PAPB.,(1)求证：PB是O的切线；,(1) 如图，连接OB，OAOB，OABOB
7、A. PAPB，PABPBA. OABPABOBAPBA.即PAOPBO.又PA是O的切线，PAO90.PBO90. OBPB.又OB是O的半径，PB是O的切线,证明：,(2)已知PA ，ACB60，求O的半径,(2)如图，连接OP，PAPB，点P在线段AB的垂直平分线上OAOB，点O在线段AB的垂直平分线上OP为线段AB的垂直平分线,解：,又BCAB， POBC. AOPACB60. 由(1)知PAO90. APO30. PO2AO. 在RtAPO中，AO2PA2PO2， AO23(2AO)2. 又AO0， AO1，O的半径为1.,8,巧添辅助线计算阴影部分的面积,方法,9【中考自贡】如图所
8、示，点B，C，D都在O上，过点C作ACBD交OB的延长线于点A，连接CD，且CDBOBD30，DB6 cm.,(1)求证：AC是O的切线；,(1)如图，连接CO，交DB于点E，O2CDB60.又OBE30，BEO180603090.ACBD，ACOBEO90.即OCAC.又点C在O上，AC是O的切线,证明：,(2)求由弦CD，BD与BC所围成的阴影部分的面积(结果保留),(2)OEDB，EB DB3 cm.在RtEOB中，OBD30，OE OB.EB3 cm，由勾股定理可求得OB6 cm.,解：,又CDBDBO，DEBE，CEDOEB， CDEOBE. SCDESOBE. S阴影S扇形OCB 626(cm2),
