1、 复习课( 二) 直线与圆两直线的位置关系两直线的位置关系是常考热点主要以选择、填空题形式考查，多涉及求参数与直线方程求法，难度中档以下 考 点 精 要 1求直线斜率的基本方法(1)定义法：已知直线的倾斜角为 ，且 90，则斜率 ktan .(2)公式法：已知直线过两点 P1(x1，y 1)，P 2(x2，y 2)，且 x1x 2，则斜率 k .y2 y1x2 x12判断两直线平行的方法(1)若不重合的直线 l1 与 l2 的斜率都存在，且分别为 k1，k 2，则 k1k 2l 1l 2.(2)若不重合的直线 l1 与 l2 的斜率都不存在，其倾斜角都为 90，则 l1l 2.3判断两直线垂直
2、的方法(1)若直线 l1 与 l2 的斜率都存在，且分别为 k1，k 2，则 k1k21l 1l 2.(2)已知直线 l1 与 l2，若其中一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为 0，则 l1l 2.典例 已知两条直线 l1：axby40 和 l2：( a1)xyb0，求满足下列条件的a，b 的值(1)l1l 2 且 l1 过点( 3，1) ；(2)l1l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等解 (1)l 1l2，a(a1)b0，又 l1过点(3，1)， 3a b40.解组成的方程 组得Error!(2)l2 的斜率存在，l 1l 2，直 线 l1 的斜率存在k1k 2，即 1a.ab又 坐
3、标 原点到这两条直线的距离相等，l 1l 2，l1，l2 在 y 轴上的截距互为相反数，即 (b) 4b由联立，解得Error! 或Error!经检验此时的 l1 与 l2 不重合，故所求值为Error!或 Error!类题通法已知两直线 l1：A1xB 1yC 10 和 l2：A2xB 2yC 20(1)对于 l1l 2 的 问题，先由 A1B2A 2B10 解出其中的字母值，然后代回原方程检验这时的 l1 和 l2 是否重合，若重合，舍去(2)对于 l1l2 的问题，由 A1A2B 1B20 解出字母的值即可题 组 训 练 1经过两点 A(2,1)，B(1，m 2)的直线 l 的倾斜角为锐
4、角，则 m 的取值范围是( )Am1 Bm1C1m1 Dm 1 或 m1解析：选 C 直线 l 的倾斜角为锐角，斜率 k 0，1m1.m2 11 22直线 ax2y 10 与直线 2x3y10 垂直，则 a 的值为( )A3 B43C2 D3解析：选 D 由 2a60 得 a3.故选 D.3已知直线 x2ay 10 与直线(a1)xay10 平行，则 a 的值为( )A. B. 或 032 32C0 D2解析：选 A 当 a0 时，两直 线的方程化为 x1 和 x1，显然重合，不符合 题意；当a0 时， ，解得 a .故选 A.a 11 a2a 32直线方程直线方程的求法一直是考查重点，多以解
5、答题形式考查，常涉及距离、平行、垂直等知识，有时与对称问题相结合，难度中档以上 考 点 精 要 1直线方程的五种形式名称 方程 常数的几何意义 适用条件一般情况yy 0 k(xx 0)(x0，y0)是直 线上的一个定点，k 是斜率直 线不垂直于 x 轴点斜式 斜截式 ykxb k 是斜率，b 是直线在 y 轴上的截距 直 线不垂直于 x 轴一般情况 y y1y2 y1 x x1x2 x1 (x1，y1)，(x2，y2)是直线上的两个定点直线不垂直于 x 轴和y 轴两点式 截距式 1xa yb a，b 分别是直线在 x 轴，y 轴 上的两个非零截距直线不垂直于 x 轴和y 轴，且不过原点一般式A
6、xByC0A，B 不同时为 0A，B，C 为系数 任何情况2常见的直线系方程(1)经过两条直线 l1：A 1xB 1yC 10，l 2：A 2xB 2yC 20 交点的直线系方程为A1x B1yC 1 (A2xB 2y C2)0，其中 是待定系数在这个方程中，无论 取什么实数，都不能得到 A2xB 2yC 20，因此它不能表示直线 l2.(2)平行直线系方程：与直线 AxByC 0( A，B 不同时为 0)平行的直线系方程是Ax By0( C )(3)垂直直线系方程：与直线 AxByC 0( A，B 不同时为 0)垂直的直线系方程是Bx Ay0.典例 过点 A(3，1)作直线 l 交 x 轴于
7、点 B，交直线 l1：y2x 于点 C，若|BC|2| AB|，求直线 l 的方程解 当直线 l 的斜率不存在 时，直线 l：x3，B(3,0)，C(3,6)此时|BC |6， |AB|1，|BC| 2|AB |，直 线 l 的斜率存在设直线 l 的方程为 y1k(x3) ，显然 k0 且 k2.令 y0，得 x3 ，1kB ，(3 1k，0)由Error! 得点 C 的横坐标 xC .3k 1k 2|BC|2|AB|，|x Bx C|2|x Ax B|， 2 ，|3k 1k 2 1k 3| |1k| 3 或 3 ，3k 1k 2 1k 2k 3k 1k 2 1k 2k解得 k 或 k .32
8、 14所求直线 l 的方程 为 3x2y70 或 x4y70.类题通法求直线方程时，要根据给定条件，选择恰当的方程，常用以下两种方法求解：(1) 直接法：直接选取适当的直线方程的形式，写出 结果；(2)待定系数法：先以直线满足的某个条件为基础设出直线方程，再由直线满足的另一个条件求出待定系数，从而求得方程 题 组 训 练 1已知直线 l1：3x 2y10 和 l2：3x 2y130，直线 l 与 l1，l 2 的距离分别是d1，d 2，若 d1d 221，求直线 l 的方程解：由直线 l1，l2 的方程知 l1l 2，又由 题意知，直线 l 与 l1，l2 均平行(否则 d10 或d20，不符
9、合题意)设直线 l：3x2 ym0(m1 且 m13)，由两平行直线间的距离公式，得d1 ，d2 ，又 d1d221，所以 |m1| 2|m13| ，解得 m25 或 m9.|m 1|13 |m 13|13故所求直线 l 的方程为 3x2y250 或 3x2y90.2已知直线 l：3x y30，求：(1)点 P(4,5)关于 l 的对称点；(2)直线 xy20 关于直线 l 对称的直线方程解：设 P(x，y)关于直 线 l：3xy30 的对称点为 P(x，y) kPP kl1，即 31.y yx x又 PP的中点在直线 3xy 30 上，3 30.x x2 y y2由得Error!(1)把 x
10、4，y 5 代入得 x2， y7，P(4,5)关于直 线 l 的对称点 P的坐标为(2,7) (2)用分别代换 xy 2 0 中的 x，y，得关于 l 的对称直 线方程为 4x 3y 9520，3x 4y 35化简得 7xy220.圆的方程主要以选择、填空题的形式考查圆的方程的求法，或利用圆的几何性质、数形结合求函数式的最值也可与其他曲线结合综合考查圆的方程的应用求圆的方程的主要方法是待定系数法，确定圆的方程需要三个独立的条件，求解时要注意结合图形，观察几何特征，简化运算 考 点 精 要 (1)圆的标准方程：(x a) 2(yb) 2r 2(2)圆的一般方程：x 2y 2DxEyF0(3)若圆
11、经过两已知圆的交点或一已知圆与一已知直线的交点，求圆的方程时可用相应的圆系方程加以求解：过两圆 C1：x 2y 2D 1x E1yF 10，C 2：x 2y 2D 2xE 2yF 20 交点的圆系方程为 x2y 2D 1xE 1yF 1( x2y 2D 2xE 2yF 2)0( 为参数，1)，该方程不包括圆C2；过圆 C：x 2 y2Dx EyF0 与直线 l：AxByC 0 交点的圆系方程为x2y 2DxEyF(AxBy C )0( 为参数，R)典例 在平面直角坐标系中，已知ABC 的三个顶点的坐标分别为 A(3,0)，B(2,0)，C(0，4) ，经过这三个点的圆记为 M.(1)求 BC
12、边的中线 AD 所在直线的一般式方程；(2)求圆 M 的方程解 (1)法一：由 B(2,0)，C(0，4) ，知 BC 的中点 D 的坐标为(1，2)又 A(3,0) ，所以直线 AD 的方程 为 ，y 0 2 0 x 31 3即中线 AD 所在直线的一般式方程 为 x2y30.法二：由题意，得|AB| AC|5，则ABC 是等腰三角形，所以 ADBC.因为直线 BC 的斜率 kBC2，所以直线 AD 的斜率 kAD ，12由直线的点斜式方程，得 y0 (x3) ，12所以直线 AD 的一般式方程为 x2y30.(2)设圆 M 的方程 为 x2y 2DxEyF0.将 A(3,0) ，B(2,0
13、)，C(0，4)三点的坐标分别代入方程，得Error!解得Error!所以圆 M 的方程是 x2y 2x y60.52类题通法利用待定系数法求圆的方程(1)若已知条件与圆的圆心和半径有关，可设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r 的方程 组 ，从而求出 a，b，r 的值(2)若已知条件没有明确给出圆的圆心或半径，可选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于 D，E，F 的方程 组，从而求出 D，E，F 的值 题 组 训 练 1以线段 AB：x y 20(0x 2) 为直径的圆的方程为( )A(x 1)2(y1) 22B(x1) 2( y1) 22C(x1) 2( y1) 28D(x 1)2
14、(y1) 28解析：选 B 直径的两端点分别为(0,2)，(2,0)，圆心为(1,1)，半径为 ，故圆的方程为2(x1) 2( y1) 22.2已知圆 C 经过点 A(2，3)，B( 2，5)，且圆心在直线 l：x2y30 上，求圆C 的方程解：设圆 C 的方程为(xa) 2( yb) 2r 2.由题意，得Error!解得Error!所以圆 C 的方程为(x1) 2( y2) 210.3求以圆 C1：x 2y 212x2y130 和圆 C2：x 2y 212x16y250 的公共弦为直径的圆 C 的方程解：联立两圆的方程得方程组Error!相减得公共弦所在直线的方程为 4x3y20.再由Err
15、or! 解得两圆交点坐标为( 1,2)， (5， 6)所求 圆 以公共弦为直径， 圆心 C 是公共弦的中点(2，2) ，半径 长为 125.5 12 6 22圆 C 的方程为( x2) 2( y 2)225.直线与圆的位置关系多以选择题、填空题考查直线方程与圆的方程的求法，涉及直线与圆有关的基本问题，对于直线中内容很少单独考查在解决直线与圆的问题时，充分发挥数形结合思想的运用，尤其是涉及弦长问题，多用几何法 考 点 精 要 1直线与圆位置关系的判断方法(1)几何法：设圆心到直线的距离为 d，圆的半径长为 r.若 dr，则直线和圆相离(2)代数法：联立直线方程与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，其判别式为 .0 直线与圆相切； 0直线与圆相交； ，95 5圆 C 与直线 y 2x4 不相交，t2 不符合 题意，舍去圆 C 的方程为( x2) 2( y 1)25.
