1、青六制 6年级数学上册-爬坡题第一单元 小手艺展示分数乘法【例 1】看图写算式。思路分析：本题考查的知识点是利用“数形结合”思想来理解分数乘分数的意义和计算方法。解答时，先根据左图得出阴影部分表示单位“1”的 ，右图表31示求 的 是多少，它相当于把单位“1”平均分成了（ 34=12）份，取了其314中的 3份，也就是相当于单位“1”的 。41解答： 的 是多少 1293【例 2】在学校举行的泥塑大赛中，六年级一班共制作泥塑作品 36件，其中男生做了总数的。六年级一班男生做了多少件泥塑作品？思路分析：由题意我们可以画出线段图，来帮助我们解决问题，如下： 男生做了总数的，是把“六年级一班一共制作
2、的泥塑作品 36件”看做单位“1” ，平均分成 9份，男生做的占其中的 5份，求一班男生做了多少件，就是求 36的是多少，用乘法计算，列式为36。解答：36=20（件）答：六年级一班男生做了 20件泥塑作品。【例 3】甲乙两地相距 480千米，A、B 两列火车同时从两地相对开出,经过 3时,A车行了全程的,B 车行了全程的。哪列火车离终点近一些?思路分析：由题意可知，甲乙两地相距 480千米，有 AB两列火车从两地相对开出，经过 3小时，两列火车都行驶了一段距离，问题是让我们判断哪列火车离终点更近一些。我们可以现求出这两列火车分别离终点还有多远，再进行比较。要点提示：线段图直观形象易懂，画线段
3、图帮助我们弄清各个量之间的关系。（ ）（ ）（ ）这个算式表示求（ ）是多少，结果是（ ） 。要点提示数形结合思想侧重的是数与形的和谐对应。A车距离终点：480-480=180（千米）B车距离终点：480-480=192（千米）180192 所以 A车离终点近一些。解答：A 车距离终点：480-480=180（千米）B车距离终点：480-480=192（千米）180192 所以 A车离终点近一些。【例 4】看图列式计算。（1） （2）思路分析：（1）看图可知，一台彩电原件 2400元，把原价分成 6份，现价占其中的 5份，要求现价是多少元，是把原价当作单位“1” ，用乘法计算，列式为 2400
4、=2000（元） 。（2）看图可知，鸡有 480只，把鸡分成 6份，鸭占其中的 5份，鹅占其中的 2份，要求鹅有多少只，是把鸡的只数当作单位“1” ，用乘法计算，列式为480=160（只） 。解答：（1）2400=2000（元） （2）480=160（只）【例 5】有甲乙两箱苹果，甲箱里有苹果 25千克，拿出它的后，这时两箱苹果的质量相等。乙箱原有苹果多少千克？思路分析：由题意可知，甲箱里原有 25千克苹果，后来拿出了，也就是拿出了25=5（千克）苹果，这时甲乙两箱苹果就一样多了，说明甲箱苹果比乙箱苹果多的部分刚好和从甲箱中拿出的部分是一样多的，即甲箱苹果比乙箱苹果多5千克。要求乙箱原有多少千
5、克的苹果，就是用甲箱的苹果质量减去多的那部分即可，列式为 25-5=20（千克） 。解答：25-25=20（千克）答：乙箱原有苹果 20千克。要点提示：明确拿出的部分就是甲比乙多的部分。要点提示：也可以比较 AB 两列火车分别行驶的距离，行驶距离越远的离终点更近一些。要点提示：看懂图意和找准单位“1”是解决此类问题的关键。【例 6】老妇卖鸡蛋，有趣又大方，见人卖一半，还送半盒蛋，见了 4个人，卖光箱中蛋，请问箱中蛋几盒？思路分析：本题考查的知识点是用“逆推法”来解答分数乘法问题。解答时，先从遇到最后一个人，卖了一半，送了半盒，刚好卖完，分析得出，最后一个人得到的是： 2=1（盒）蛋；遇到第三个
6、人，卖了一半，送了半盒，这时有：21（1+ ）2=3（盒） ；遇到第二个人，卖了一半，送了半盒，这时有：（3+ ）2=7（盒） ；遇到第一个人，卖了一半，送了半盒，一共有：（7+ ）2=15（盒） 。21解答： 2=1（盒） （1+ ）2=3（盒）21（3+ ）2=7（盒） （7+ ）2=15（盒）答：箱中有鸡蛋 15盒。【例 7】把一根绳子对折三次后长米,这根绳子一共有多长?思路分析：我们先折一折。如下图所示，图一表示对折一次后一根绳子变成了两段，图二表示再对折一次（对折两次）后变成了四段，图三表示再对折一次（对折三次）后变成了八段。题中要求这根绳子一共有多长，就是求对折三次后的八段共有多长
7、，由题干已知对折三次后每段长米，所以将这八段绳子的长度加起来就是这根绳子的总长度，用加法或乘法计算，列乘法算式为8=（米） 。解答：8=（米）答：这根绳子一共长米。【例 8】六年级一班有 48人，在第一单元测评中，成绩优秀的学生人数占全班人数的，不及格人数是成绩优秀学生人数的。这次考试中及格以上的有多少人？要点提示：可先动手实际操作一下，看看对折三次后是几段。要点提示逆推法解题也就是由结果出发，逐步还原至最初。思路分析：由题意可知，六年级一班有 48人，在第一单元测评中，既有成绩优秀的学生，也有成绩及格和不及格的学生，要求在此次考试中几个以上的人数，就是用全班总人数减去不及格人数，但是题目中并
8、未直接给出不及格的人数，所以我们要先求出不及格的人数。我们可以通过成绩优秀的学人数求出不及格的人数。成绩优秀的学生人数：48=28（人）成绩不及格的学生人数：28=4（人）用全班总人数减去不及格人数即可求出及格以上的学生人数。解答：成绩优秀的学生人数：48=28（人）成绩不及格的学生人数：28=4（人）成绩及格以上人数：48-4=44（人）答：这次考试中及格以上的有 44人。【例 9】一位老人养了 17只羊，临终前立下遗嘱：大儿子分 ，二儿子分 ，2131三儿子分 ，并且分羊时不许宰杀。老人临终后，三个儿子犯了愁，这怎么分1呢？亲爱的同学，你能帮帮他们吗？思路分析：本题考查的知识点是通过“借数
9、法”来解答分数乘法简单的实际问题。解答时，我们会发现已知信息中，单位“1”的 、 和 都不是整数只，2139但 + + = ，所以先借 1只羊，这样变成 18213987只，通过计算 18的 、 和 来求解。239解答：先借一只羊 17+1=18（只）18 =9（只） 18 =6（只） 18 =2（只） 9+6+2=17（只）1191答：老大分 9只，老二分 6只，老三分 2只。【例 10】计算+。思路分析：这是一道考查分数的乘法和加法题，初看此题很多人会拿起笔就直接一个一个计算，然后再加起来，这样做不但繁琐，而且容易出错，那到底有没有更简便的方法呢？答案是肯定的。先看第一个分数：=-要点提示
10、：转化法是常用的数学方法之一。要点提示：找准单位“1”是解决此类问题的关键。要点提示借数法是常用的解决问题的方法。再看第二个分数：=-再看第三个分数：=-依此类推，我们发现原来的算式可以转化成减法算式，如下：+=-+-+-+-=-=解答：+=-+-+-+-=-=【例 11】2017 减去它的 ，再减去余下的 、又减去余下的 、以后每次都减213141去余下的 、 依此类推，一直减到最后余下的 ，那么最后得多少？516 207思路分析：本题考查的知识点是用类推法解答“连续余问题” ，解答时，先从2017减去它的 开始分析，还剩下 2017（1- ） ，再减去余下的 ，还剩下2131余下的（1-
11、） ，即 2017（1- ）（1- ） ，依次类推，一直减到最后余下31213的 ，最后剩下的是 2017（1- ）（1- ）（1- ）（1-07 4） ，然后找规律计算出结果即可。21解答：2017（1- ）（1- ）（1- ）（1- ）213412017=2017 42076=2017 017=1【例 12】一个长方体的水箱，从里面量长是米，宽是米，高是米，这个长方体水箱的容积是多少？思路分析：由题意可知，这个水箱的形状是一个长方体，而且给出了从里面量得的长、宽、高的具体数值。要求这个水箱的容积，可以根据长方体的体积公式解答，列式为。计算时，能约的要先约分，使计算更加简便。解答：=（立方米
12、）答：这个长方体水箱的容积是立方米。要点提示：长方体的容积= 长宽 高。【例 13】 “双十一”购物节活动中，两家商铺都在搞促销活动，洗衣液原价每瓶 30元，甲店买五送一，乙店按原价的 出售，李阿姨要买 12瓶洗衣液，到54哪家商店购买更合算？思路分析：要想得出到哪家商店购买更合算，就要分别求出在两个商店购买 12瓶洗衣液所花的钱数，甲店买五送一，也就是用原来 5瓶的钱，现在可以得到6瓶，也就是每 6瓶中有 5瓶是买的，1 瓶是送的。要看 12瓶中有几个 6瓶，列式为 126=2个，买 12瓶花的钱数就是 2个 5瓶的钱数，也就是 10瓶的钱数；乙店按原价的 出售，只要计算出 12瓶洗衣液原价
13、的 是多少即可，然后4 4进行对比即可得出答案。解答：甲店：126=2（个） 5230=300（元）乙店：1230 =288（元） 54288300 答：到乙店购买更合算。【例 14】有两堆同样多的煤，第 1堆运走吨，第 2堆运走，两堆煤剩下的部分同样重吗？为什么？思路分析：由于两堆煤的质量不确定，我们可以先假设这两堆煤都是 1吨、超过 1吨、低于 1吨三种情况，计算出第二堆运走的质量，再与第一堆比较。要点提示：本题也可以先求出甲店买五送一后每瓶洗衣液的单价，再根据数量求出总价。要点提示：假设法和列举法都是解决数学问题的常用方法。解答：无法确定那堆稻谷剩下的质量多。【例 15】a,b 是不为
14、0的自然数,已知 aa,aa,求 b的值。思路分析：由“一个不为 0的数乘小于 1的数，得数小于它本身” ，可知“aa”中的小于 1,所以 b8。由“一个不为 0的数乘大于 1的数,得数大于它本身” ，可知“aa”中的大于 1,所以 b6。因为 b是不为 0的自然数,且 6b8,所以b=7。解答：b=7【例 16】已知 a、b 和 c都是不为 0的整数,如果a=b=c,那么 a、b 和 c,哪个数最大?哪个数最小?思路分析：题中要比较 a、b、c 谁最大谁最小，我们有两种方法：方法一：假设法。假设a=b=c=1，那么 a=，b=，c=，接下来直接利用异分母分数比较大小的方法进行比较，可知 c最
15、大，a 最小。方法二：直接比较法（乘法算式中因数与因数之间的关系） 。已知a=b=c，那么我们可以先比较、 、这三个因数的大小，可知，要点提示：假设法是解决数学问题的常用方法之一。要点提示：明确积与因数的大小关系是解决本题的关键。然后根据乘法算式中因数之间的关系（积不变，一个因数增加或缩小，另一个因数会随之缩小或增大） ，可知 abc，即 c最大，a 最小。解答：c 最大，a 最小。【例 17】对错我来判。 （对的打“” ，错的打上“” ）（1）因为 + =1，所以 的倒数是 。 （ ）32312（2）一个数的倒数一定比这个数小。 （ ）（3） 是倒数， 也是倒数。 （ ）4思路分析：本题考查
16、的知识点是倒数的意义。解答时，要明确的是乘积是 1的两个数叫做互为倒数，也就是说倒数不是单独存在的，是指两个数的积是 1时，我们说其中的一个数是另一个数的倒数。（1）因为 + =1，它们的积 = 1，所以 和 不是互为倒数。323129312（2）一个非 0自然数的倒数比这个数小，如 2的倒数是 ，但是一个数的倒数不一定比这个数小，如 的倒数是 3,3就比 大。（3）互为倒数的两个数的积是 1，也就是说乘积是 1的两个数互为倒数，单独的一个数不能说倒数，所以 是倒数， 也是倒数都是错误的。43解答：（1） （2） （3）【例 18】一个自然数与它的倒数的差是 21 ，这个自然数是多少？21思路
17、分析：本题考查的知识点是运用转化法解答倒数差问题。解答时，先把 21转化为 21+ ，它等于 22- 的差，22 和 互为倒数，21 正好是 222121 21与 的差，所以得出这个数是 22。解答：22要点提示单独的一个数不能说是倒数。第二单元 摸球游戏可能性【例 1】下面是六（1）班同学统计的校门口 5分钟内车流量的情况。请你判断下面同学的对话对不对。 （对的画“” ，错的画“” ）（1）小强说：“下 1辆车一定是小轿车。 ” （ ）（2）小东说：“下 1辆车可能是面包车。 ” （ ）（3）小兰说：“下 1辆车偶尔是货车。 ” （ ）（4）小明说：“下 1辆车是摩托车的可能性最大。 ” （
18、 ）（5）小华说：“下 1辆车是货车的可能性最小。 ” （ ）思路分析：此题考查的是随机事件发生的可能性大小。我们来一一分析。（1）小强说：“下 1辆车一定是小轿车。 ”这是不对的，因为还有可能是公交车、摩托车、火车、面包车。（2）小东说：“下 1辆车可能是面包车。 ”这是正确的，因为统计表说明 5分钟内确实有面包车经过。（3）小兰说：“下 1辆车偶尔是货车。 ”这是对的，因为从统计表这我们可以看出，5 分钟内只有 1辆货车经过，所以下 1辆是货车的可能性比较小。（4）小明说：“下 1辆车是摩托车的可能性最大。”这是不对的，因为从统计表这我们可以看出，5分钟内经过的汽车中小轿车是最多的，所以下
19、 1辆是小轿车的可能性最大。（5）小华说：“下 1辆车是货车的可能性最小。 ”这是对的，因为从统计表这我们可以看出，5 分钟内经过的汽车中货车是最少的，所以下 1辆是货车的可要点提示：某一事件在单位时间内发生的次数越多，说明这一事件发生的可能性就较大。能性最小。解答：（1） （2） （3） （4） （5）【例 2】按要求给下面的圆盘涂上颜色？思路分析：观察上面的圆盘可以看到，圆盘都平均分成 8份，每份是面积相等的扇形。第一个圆盘要求指针一定落在红色区域，也就是说无论圆盘怎么转动，指针总能落在红色区域，也就是圆盘应该全部涂成红色；第二个圆盘要求指针不可能落在红色区域，也就是说无论圆盘怎么转动，指
20、针总不能落在红色区域，那么转盘上就不能涂红颜色，可以涂其他的颜色；第三个圆盘要求指针经常落在红色区域，说明圆盘上的红色区域的面积大于其他颜色的面积；第四个圆盘要求指针偶尔落在红色区域，说明圆盘上的红色区域的面积小于其他颜色的面积。解答：第三单元 布艺兴趣小组分数除法【例 1】把一根米的木料锯成相等的若干段，一共锯了 3次，每段长多少米？思路分析：由题意可知，要将一根木料锯成若干段，锯了 3次，要求每段的长度。已知木料的总长度，求每段长，根据每段长=总长度分成的段数，我们先要求出分了多少段。我们可以实际操作一下，将木料锯要点提示：在转盘游戏中，哪一区域占圆盘的面积越大，指针停在这一区域的可能性越
21、大。要点提示：实际操作是掌握数学知识点的常用方法之一。一次，可得到 2 段；将木料锯两次，可得到 3 段；将木料锯三次，可得到 4 段。解答：3+1=4（段） 4=（米）答：每段长米。【例 2】笑笑走 60米用了 分钟，淘气走 80米用了 分钟，他俩谁走的快？3254思路分析：要判断出他们两个谁走的快一些，必须先分别求出他们两人平均每分钟所走的路程，也就是先分别求出他们两人的速度。根据“速度=路程时间”，列除法算式为 60 和 80 ，求出速度后再进行比较。3254解答：60 =60 =90（米）80 =80 =100（米）5490100答：淘气走的快一些。【例 3】如果 a=b=c，并且 a
22、、b、c 都不为 0，试比较 a、b、c 的大小，说明理由。思路分析：方法一 ：将除法转化为乘法我们可以根据分数除法的法则，把上面的算式转化成乘法算式，即 2a= b=1c，又因为4321 ，所以 bca。43方法二：假设法我们先假设 ，那么 a=1 = ，b=1 = ，c=115321c2134=1,因为 1 得出 bca。53解答：bca理由：由 可得53422a= b=1c，因为 21 ，所以4bca。【例 4】计算 20172017 20187思路分析：本题考查的知识点是用转化法解答特殊数的分数除法。解答时，先要点提示：速度=路程时间要点提示：转化法是常用的数学方法之一。要点提示：假设
23、法是解决问题时经常用到的一种方法。所谓“假设法”就是依据题目中的已知条件或结论作出某种假设, 然后按照已知条件进行推算, 从而得到正确答案。要点提示化繁为简是转化，转化是常用的一种数学方法。观察给出的算式，除数是一个带分数，它的整数部分和分数部分的分子都和被除数相同，都是 2017，所以可以利用商不变的规律被除数和除数都除以 2017，转化为比较简单的分数计算。解答：20172017 20187=（20172017）（2017 2017）20187=1=20178【例 5】把一根竹竿插入水中米,然后将竹竿倒转再插入水中至处,结果竹竿未湿的一段长米。这根竹竿长多少米?思路分析：可以画线段图帮助分
24、析题意,由题意可知，是把整根竹竿的长度看作单位“1”,题中的三个量中米、米都是具体的数量,只有是分率。画线段图如右图,从图中可以看出已知数量米对应的分率也是,已知分量和分率，要求单位“1” ，用除法计算。解答：+=(米) 1-= =(米)答:这根竹竿长米。【例 6】甲的相当于乙的,乙的相当于丙的,甲是 25,求丙。思路分析：根据条件可以找出题目中的数量关系,如下:把已知条件代入数量关系中,问题即可解决。解答：25=30 30=100答:丙是 100。【例 7】植树节到了，六年级的两个班参加义务植树活动，六年级一班植树棵数的是二班植树棵数的，一班植树 80棵，二班植树多少棵？思路分析：由题意可知
25、，六年级一班植树棵数的是二班植树棵数的，也就是说六年级一班植树的棵数的等于二班植树棵数的，数量关系是六年级一班植树棵数=六年级二班植树棵数。我们可以设二班植树 x棵，根据上面的相等关系要点提示：画线段图是解决数学问题的常用方法之一。要点提示：遇到较复杂的问题时，可以先把数量关系列出来，在把已知数对应进去，剩下的就是要求的。列方程求解。解答：解：设二班植树 x棵。x=80x=30x=30x=105答：二班植树 105棵。【例 8】体育课上，同学们站成一列，梁玲数了数，排在她前面的人数是这列总人数的 ，排在她后面的人数是这列总人数的 ，从前面数，梁玲排第几？32 41思路分析：本题考查的知识点是用
26、“方程的方法”来解答分数除法问题。解答时，先设给出的分数的单位“1”为 x，也就是这列队伍有 x人。然后根据“这列队伍的人数-梁玲前面的人数-梁玲后面的人数=1”列出方程 x- x- x=1，3241接着求出方程的解是 x=12,最后再根据梁玲前面的人数是这列队伍总人数的 ，求出梁玲排第几，列式为 12 +1=9。32解答：解：设这列队伍一共有 x人。x- x- x=13241(1- - )x=1x=112x=12 12 +1=932答：梁玲排第 9。【例 9】六一班男生的一半和女生的 共 16人，女生的一半和男生的 共 144141人。这个班共有学生多少人？思路分析：本题考查的知识点是合并单
27、位“1” 。解答时，要明确的是男生的一半和女生的 +女生的一半和男生的 =男生的 +女生的 =全班的 。所以设4141343全班有 x人，可以得方程要点提示：找准题目中的等量关系是解决问题的关键。要点提示这列队伍的人数-梁玲前面的人数-梁玲后面的人数=1要点提示男生的一半和女生的 +女生的一半和男生的141=男生的 +女生的43=全班的x+ x=16+14，解这个方程得 x=40,从而求出全班有 40人。214解答：解：设全班有 x人。x+ x=16+141x=3043x=40答：全班有 40人。【例 10】一桶油,第一次用去,第二次用去的比第一次多 2千克,桶里还剩下 3千克。这桶油原来有多
28、少千克?思路分析：由题意可知，这桶油的总质量是单位“1” 。 “第二次用去的比第一次多 2千克” ，即第二次用去整桶油的还多 2千克，这时这桶油总共用去+=还多 2千克，且桶里还剩下 3千克，说明 2+3=5（千克）对应单位“1”的分率是 1-=。已知分量和分率，要求单位“1” ，用除法计算。解答：（2+3）（1- ）=25（千克）答：这桶油原来有 25千克。第四单元 人体的奥秘比【例 1】甲、乙、丙三位同学分别调制了一杯蜂蜜水。甲调制时用了 40毫升的蜂蜜，200 毫升水；乙调制时用了 5小杯蜂蜜，20 小杯水；丙调制时用的水是蜂蜜的 7倍。 （ ）调制的蜂蜜水最甜。A.甲 B.乙 C.丙
29、D.无法判断思路分析：本题考查的知识点是利用比的意义解决实际问题。甲调制的蜂蜜水中，蜂蜜与水的比是 40:200=1:5= ；乙调制的蜂蜜水中，蜂蜜与水的比是515:20=1:4= ；丙调制的蜂蜜水中，蜂蜜与水的比是 1:7= 。 ，所41 714571以，乙调制的蜂蜜水最甜。解答：B【例 2】骆驼体重 250千克，能搬运质量为 300千克的货物；蚂蚁体重 0.05克，要点提示：找准已知分量及其对应单位“1”的分率是解决问题的关键。能搬运质量为 2克的虫子写出它们各自搬运的质量与体重的比，并求出比值相对于自身体重，你觉得谁的力气大？为什么？思路分析：本题考查的知识点是比和求比值的方法，解答时需
30、要明确的是：比值越大，力气就越大。依据比的意义，用它们各自搬运的质量比体重；再用比的前项除以后项，就可求比值，最后根据比较比值的大小，从而得出结论。解答：300：250=6：5=1.2 2：0.05=40：1=40 401.2答：相对于自身体重，蚂蚁的力气大，因为它每千克的体重承受的重量大。【例 3】如果 a:b=3:4, b:c=5:6,那么 a:c=（ ）:( )。思路分析：题目要求我们通过 a与 b的比以及 b与 c的比，求 a与 c的比，我们可以利用中间量 b来进行传递。b 在 a:b中是 4份，而在 b:c中是 5份，要想通过它进行传递，必须使它在两个比中所占的份数相等，我们根据比的
31、基本性质，分别把 a:b=3:4化成 a:b=15:20，把 b:c=5:6化成 b:c=20:24，这样 b在量比中的份数相同，通过它传递即可。解答：a:c=15:24【例 4】聪聪和明明两人喝糖水，聪聪把 10克糖放到 90克水中；明明把 15克糖放到 120克水中。写出聪聪和明明两人的杯中糖和水的比分别是多少？谁的杯中的糖水甜一些？思路分析：要比较他们两人的糖水，谁的更甜，就要先分别求出这两杯糖水中糖和水的比，这个比越大，就约甜。聪聪的糖水中糖和水的比：10:90=1:9=明明的糖水中糖和水的比：15:120=1:8=所以明明的糖水更甜。解答：聪聪的糖水中糖和水的比：10:90=1:9=
32、明明的糖水中糖和水的比：15:120=1:8= 所以明明的糖水更甜。【例 5】爸爸今年 30岁,今年小强与爸爸的年龄比是 16,再过几年他们父子的要点提示：找到中间量，让中间量在两个比中占的份数相同。要点提示：糖水中，糖与水的比越大，这杯糖水就越甜。年龄比是 94?思路分析：由题意可知，爸爸今年 30岁,今年小强与爸爸的年龄比是 16,也就是把爸爸的年龄平均分成了 6份,小强的年龄和其中的一份同样多,因此小强今年 306=5(岁)。题目要求再过几年爸爸和小强的年龄比是 94,这里有一点需要格外注意，虽然爸爸和小强的年龄及年龄比发生了变化,但是他们的年龄差是不变的,总是 30-5=25(岁),因
33、此用年龄差 25岁除以年龄比的份数差 9-4=5,即 255=5(年),所以当小强 54=20(岁)时,即 20-5=15(年)后父子的年龄比是94。解答：306=5(岁) 30-5=25(岁)9-4=5 255=5(年)54=20(岁) 20-5=15(年)答:再过 15年他们父子的年龄比是 94。【例 6】丫丫读一本书，已读的和未读的页数之比是 5:4，如果再读 18页，这时已读的和未读的页数比是 2:1,这本书有多少页？思路分析：本题考查的知识点是利用转化法来解答比的问题。解答时，把整本书的页数看成单位“1” ，先根据给出的两次已读的页数和未读的页数比转化为分数：第一次已读的页数占全书的
34、 ，第二次已读的页数占全书的 ，5412这充分说明，两次读的分率差是 - ，页数差是 18，这样根据“数量差12该数量差对应的分率差=单位“1” ”求出这本书的页数，列式为 18（ -） ，计算结果是 18（ - ）=18 =162(页)。545491解答：18（ - ）=18 =162(页)125491答：这本书有 162页。【例 7】玩具厂一、二、三车间人数的比为 15:21:27，三车间比二车间多 36人。一车间有多少人？思路分析：由题意可知，已知一、二、三车间人数的比为 15:21:27，即5:7:9，也就是说，如果把三车间的人数分成 9份，那么二车间的人数是其中的要点提示：小强和爸爸
35、的年龄差不会随着年龄的变化而变化，是一个固定的数。要点提示：分量差分率差= 总数量。要点提示：找准单位“1”是关键。7份，即三车间比二车间多两份；又已知三车间比二车间多 36人，说明多的这两份对应着 36人，可求出每份代表 362=18（人） 。根据求出的每份代表的人数一车间的份数即可求出一车间的人数，用乘法计算。解答：36（27-21）=6（人）156=90（人）答：一车间有 90人。【例 8】四位乘客合租一辆汽车回家过春节，由于下车地点不同，每人承担的车费各不同，乘客 A付的车费与其他三位的比是 1：2，乘客 B付的车费与其他三位的比是 1：3，乘客 C付的车费与其他三位的比是 1：4，乘
36、客 D付的车费是26元，这四位乘客一共付车费多少元？思路分析：本题考查的知识点是利用转化法来解答按比例分配问题。解答此题的关键是题目中出现了 3个不同的单位“1” ，要抓住不变量，统一单位“1” 。 由“乘客 A付的车费与其他三位的比是 1：2”可知乘客 A付的车费占总数的，由“乘客 B付的车费与其他三位的比是 1：3”可知乘客 B付的车费占总数的 ，由“乘客 C付的车费与其他三位的比是 1：4”可知乘客 C付的车费占总数的 ，可求出可知乘客 D付的车费占总数的几分之几，再由“乘客 D付的车费是 26元” ，根据“部分数量部分数量对应的分率=单位“1” ”列式计算得出总费用为 26（1- -
37、- ）=26 =120（元） 。21341603解答：26（1- - - ）=26 =120（元） 。213460答：四位乘客一共付费 120元。第五单元 完美的图形圆【例 1】在下面的正方形中画一个最大的圆。思路分析：通过之前的学习，我们知道，对于一个圆来说，其圆心确定圆的位置，半径决定圆的大小。要在这个正方形中画一个最大的圆，那这个圆的圆心就应该是正方形的中心（两条对角线的交点） ，圆的直径应该等于这个正方形的边长。解答：先画出正方形的两条对角线，然后以对角线的交点为圆心，正方形边长的一半为半径画圆，所得的圆就是最大的圆。如下图：【例 2】如右图，已知长方形的长是 36厘米，则圆的半径和直
38、径分别是多少厘米？思路分析：从图中可以看出，长方形中间的完整的圆和两边的两个半圆的直径是相等的，都等于长方形的宽。另外，两边的半圆的半径加上中间大圆的直径刚好等于长方形的长，所以长方形的长正好等于它们的半径的 4倍，即用长方形的长除以 4就可以求出它们的半径，再根据半径与直径的关系求出直径。解答：244=6（厘米） 62=12（厘米）答：圆的半径和直径分别是 6厘米、12 厘米。【例 3】用两种方法把四个直径是 16厘米的圆柱形木料捆扎在一起,截面如下图所示。求这两种方法分别需要多少厘米的绳子。图(1) 图(2) 思路分析：图(1)：在一个圆周上环绕的绳子长度是这个圆的周长的,四个角上共四个圆
39、周，正好是一个圆的周长,即 3.1416=50.24(厘米)。四边两圆之间水平的线段,每条线段的长度正好等于两个圆的半径的和,也就是直径的长度,要点提示：正方形的中心是正方形两条对角线的交点,也是最大圆的圆心。要点提示：长方形的长正好等于圆的半径的 4 倍。有 4条线段,即水平线段的长度为 416=64(厘米)。图(2)：在一个圆周上环绕的绳子长度是这个圆的周长的,两边的两个圆周加起来正好是一个圆的周长,即 3.1416=50.24(厘米)。上面或下面相邻两个圆之间水平的线段,每条线段正好等于三个圆的直径的和,两条线段就是六个圆的直径的和,即 616=96(厘米)。解答：3.1416+416=
40、50.24+64=114.24(厘米)3.1416+616=50.24+96=146.24(厘米)答:图(1)方法用去了 114.24厘米的绳子,图(2)方法用去了 146.24厘米的绳子。【例 4】求下面阴影部分的面积。 （单位：厘米）（1） （2）思路分析：（1）本题考查的知识点是用“割补平移法”将不规则图形转化为规则图形求出阴影部分的面积。解答时，只要将左边阴影平移到右边空白部分或者将右边阴影平移到左边空白部分，阴影就转化为一个边长是 5厘米的正方形。这样求出正方形的面积就是阴影部分的面积。（2）本题考查的知识点是外圆内方的阴影部分的面积。解答时，要明确的是阴影部分的面积等于圆的面积减去
41、正方形的面积，正方形的面积等于以圆的直径为底边，圆的半径为高的两个等大的三角形的面积之和，据此解答即可。解答：（1）55=25（平方厘米）答：阴影部分的面积是 25平方厘米。（2）3.14（102） -10（102）222=3.1425-105=78.5-50=28.5（平方厘米）答：阴影部分的面积是 28.5平方厘米。【例 5】下面图形中的阴影部分是扇形吗？是的在括号里画“” ，不是的画“”。思路分析：由扇形的定义可知，由圆心角的两条边和圆心所对的弧围成的图形是扇形。第一个图形就是由圆心角和圆心角所对的弧围成的图形，因此第一个是扇形；第二个和第三个都不是圆心角，所以第二个和第三个都不是扇形。
42、解答：【例 6】一个圆形水池的半径是 5米，为迎接国庆，现需在水池的周围摆放盆花，每隔 3.14米放一盆，求一共可以放多少盆花？思路分析：要求圆形水池周围一共可以摆放多少盆鲜花，就要先求出这个圆形水池的周长，然后再根据周长和盆花摆放的间隔距离即可求出所需。圆形水池的半径是 5米，我们可以利用公式 C=2r 求出这个水池的周长。解答：3.1452=31.4（米）31.43.14=10（盆）答：一共可以放 10盆花。【例 7】两只蜜蜂分别沿着涂色部分的边缘爬 1次，哪只蜜蜂爬过的路线长？（两个正方形的边长相等）要点提示：抓住扇形的本质特征，严格按照扇形的定义判断。要点提示：已知半径求圆的周长，可以
43、直接利用公式 C=2r 计算。思路分析：要想比较这两只蜜蜂谁爬过的路线长，就是比较左右两个图中涂色部分的周长。我们先观察左图，阴影部分的周长是外部正方形的周长与内部以正方形边长的一半为半径的圆周长之和；再观察右图，阴影部分的周长是外部正方形的周长与四个以正方形边长的一半为半径的小扇形的弧长之和，而这四个小扇形的周长加起来刚好是以正方形边长的一半为半径的圆周长。因此，这两只蜜蜂爬过的路线一样长。解答：这两只蜜蜂爬过的路线一样长。【例 8】一只挂钟的分针长 20厘米，经过 30分钟后，分针扫过的面积是多少平方厘米？思路分析：要解答这道题之前，我们要先知道钟面上有三根针，其中分针每走一格，就是过了
44、1分钟。题中的分针走了 30分钟，我们假如它是从 1走到了6，也就是走了 180，它扫过的面积恰好是以分针长度为半径的一个半圆，那我们就可以通过圆的面积公式求出它扫过的面积。解答：3.1420 2 2=628（平米厘米）答：分针扫过的面积是 628平方厘米。【例 9】如图，一个半径为 1厘米的小圆盘沿着一个半径为 4厘米的大圆盘外侧做无滑动的滚动当小圆盘的中心围绕大圆盘中心转动 90度后，小圆盘运动过程中扫过的面积是多少平方厘米？思路分析：本题考查的知识点是 圆环的面积，需要注意是外圆半径是414+12=6厘米，然后根据圆环的面积公式求得面积后乘 ，最后还要加上一3609个小圆的面积。解答：4
45、+12=6（厘米）3.14（6 -4 ） +3.141 =3.1420 +3.1423609241要点提示：四个小扇形的弧长之和正好是一个圆的周长。要点提示：将实际问题与学过的知识联系起来是常用的数学方法之一。=15.7+3.14=18.84（平方厘米）答：小圆盘运动过程中扫过的面积是 18.84平方厘米。【例 10】一个花坛的形状如图所示，中间正方形的边长为10米，四周是四个半圆形，这个花坛的占地面积是多少平方米？思路分析：观察上图可知，花坛的中间是一个正方形，正方形的四周分别是 4个半圆，因此这个花坛的面积就等于一个正方形的面积与四个半圆的面积之和。我们知道，正方形的面积=边长边长，已知正
46、方形的边长是 10米，可以直接利用正方形的面积公式求出正方形的面积。求半圆的面积就要先求出半圆的半径，观察图形可知，圆的直径等于正方形的边长，因此半圆的半径是正方形边长的一半，即 5米，求出半径就可以求半圆的面积了。最后将各部分面积加起来即可。解答：半圆的半径：102=5（米）一个半圆的面积： 3.145 22=3.14252=39.25（平方米）四个半圆的面积：39.254=157（平方米）正方形的面积：1010=100（平方米）花坛的面积：157+100=257（平方米）答：这个花坛的占地面积是 257平方米。【例 11】如下图所示，等边三角形的空白部分是三个相同的扇形，三角形的边长是 2
47、0厘米，求阴影部分的周长。思路分析：我们知道，等边三角形的每一个内角都是 60。另外，由题意可知，要点提示：解决求组合图形的面积时，一般要将它们分割成几个简单的图形，分别求出简单图形的面积，再求出它们的和或差。要点提示：三个扇形和在一起正好是一个半圆。三个小扇形的半径都是三角形边长的一半，即 202=10（厘米） 。因此，将三个小扇形合在一起正好是一个半径为 10厘米的半圆，所以要求上图中阴影部分的周长，就是求半径为 10厘米的圆的周长的一半。解答：3.141022=31.4（厘米）答：阴影部分的周长是 31.4厘米。【例 12】从一张三角形铁皮上剪下三个半径都是 3厘米的扇形。这 3个扇形的
48、面积和是多少平方厘米。思路分析：本题考查的知识点是利用转化法解答扇形的面积，解答时，根据这3个扇形的面积和是半径为 3厘米的半圆的面积利用圆的面积公式解答。解答：把这 3个扇形拼在一起，能得到半径为 3厘米的半圆。3.143 2=3.1492=14.13（平方厘米）2答：这 3个扇形的面积和是 14.13平方厘米。【例 13】如图。一只小狗拴在等边三角形的墙角，墙边长 3米。绳长 4米，求这只小狗最多能看护的面积。思路分析：本题考查的知识点是利用与圆有关的组合图形面积计算来解决简单的实际问题。解答此题的关键是弄清小狗的看护范围由哪些图形组成。如下图，小狗最多能看护的面积 以 4米为半径圆的 （绿色部分）+两65个以 1米为半径圆的 （蓝色部分） 。解答时，利用圆心角的度数得出每个扇形32面积相当于整个圆面积的几分之几，最后列式解答。绿色部分是半径是 4米的圆的面积的几分之几：（360-60）360= ；蓝色部分占半径是651米的圆的面积的几分之几：（180-60）2360= 。32解答：3.144 2 +3.1412
