1、生活中的数学 例 1 如图，从 A 村到 E 村有两条路（一条经过 B、 C、 D 村，另一条不经过） ，哪条路比较近呢？（两条路分别是由一个比较大的半圆和四个小半圆组成的）分析 从图形来看，直觉告诉我们，经过 B、 C、 D 村的路比较近，这似乎太明显了不过，半圆的长很容易计算，还是利用数学知识加以计算更能保证答案正确无误，或者更容易说服别人解 设经过 B、 C、 D 村的道路中，每个小半圆的半径都为 r，则不经过B、 C、 D 村的道路的半径为 4r经过 B、 C、 D 村的道路的长为 ，不经过 B、 C、 D 村的道路的长为 。可见，两条道路的长度相同评注 （1）看到经过计算得出的结果，
2、恐怕很多同学会有出乎意料的感觉：这个结果与我们预先想到的结果大不相同，这说明了学习数学知识既是很有趣，同时又是很有用处的无论是数学学习中，还是在生活的其他方面，直觉都是很重要的，但是只有直觉，而不依靠数学知识、数学方法也是不行的有一则数学趣闻同样说明了这个道理印度宰相发明了一种妙趣无穷的国际象棋，国王舍罕决定重赏他国王把宰相召进宫里，对他说：“你发明了这种绝妙的游戏，我要重重地奖赏你，你要什么，凡是你想得到的，我都可以满足你的要求！”宰相想了想，微笑着对国王说道：“陛下，请您在这张棋盘的第一个小格内，赏给我 1 粒麦子，在第二个小格内 2 粒，第三个小格内 4 粒，第四个小格内 8粒，照这样下
3、去，每一小格是前一小格的 2 倍，请把摆满棋盘 64 个小格的所有麦子都赏给您的仆人吧！”国王吩咐侍从抬来一袋麦子，开始按达依尔宰相的要求往棋盘上放麦子，一格一格地放下去，每一格都是前一格数量的 2 倍，照这样，越到后面麦子的数量越大，当侍从把所需麦粒仔细算完以后，国王竟被这个数目吓呆了，因为他没有122 22 32 42 6318 446 744 073 709 551 615 粒麦粒如果按宰相的要求，国王必须有一个高 4 米、宽 10 米的粮仓装麦子，这个粮仓有 3000 万公里长，能绕地球赤道 700 圈，可以把地球全部表面（包括海洋）铺上 2 米厚的小麦层，这是一个多么巨大的数字啊！它
4、相当于全世界两千多年小麦产量的总和这么多麦子，国王怎么能拿得出来呢？所以国王无法兑现奖赏（2）在本题中，我们是通过设小半圆的半径都是 r 来解决本题的，实际上，小半圆的半径是否相同以及小半圆的个数是几个，都与解出本题无关例 2 请你仔细观察图给出的五个图形它们中哪一个与众不同呢？请说出你的理由分析 所谓“ 与众不同 ”，是说某一图形具有的某一特征是其他四图形所不具备的回答这一问题，必须对五个图形进行仔细的比较一个图形可能有什么特征，这是多方面的，比如形状，是由什么基本图形组成的或变化而来的，是否具有对称性，外围轮廓和内部的情况，是否很像生活中的什么事物，是否具有（表示）某种特殊的意义，乃至有哪
5、几种颜色等等。从不同的角度来说，这五个图形中的每一个都有区别于其他图形之处解答一 图 A 与众不同因为另外四个图形都是轴对称图形，惟有图 A 不是解答二 图 B 与众不同它是一个正方形，图形内的两条线段把它分成为四个小正方形就是说，如果沿图形内部的两条线段，把这个图形剪成四部分，那么其中每一部分的形状都与原图形相同，另外四个图形都不具有这一特点解答三 图 C 与众不同它的轮廓线是断开的，或者说，它不是封闭图形，而另外四个图形都是封闭图形解答四 图 D 与众不同它是五个图形中惟一的三角形（指外围轮廓） 解答五 图 E 与众不同因为另外四个图形或者是由线段组成的，或者是其中有段线，而图 E 则不然
6、，它是完全由曲线组成的图形评注 （1）上面给出了五个解答，哪个正确呢？都正确也许，对一道题有五个不同的解答，而且都是正确解答，感到很不理解，这可能是由于以前见到的这种题目太少造成的随着课程改革的深入进行，以后将还能见到这样的题目在生活、工作中，有许多问题是没有确实答案的，比如在一定面积的土地上，做新建一所初中的规划，怎样安排教学楼、操场。大门的位置，怎样进行绿化与美化，就没有确实的答案最后决定选用的方案是不是最好的？这也没有绝对正确的答案（2）本题如果是要求写出每个图形的与众不同之处，那么前面的解答是不全面的因为我们还可以从另外的角度审视图形比如，只有图 A 是由两个半圆组成的；只有图 B 中的角都是直角；只有图 C 中的两部分是靠一个点连接的，（3） “只有图 A 不是轴对称图形” ，不能说只有图 A 不具有对称性以后将学到不同于轴对称的对称性
