1、4.5 利用三角形全等测距离基础训练1.如图,将两根钢条 AA,BB的中点 O 连在一起,使 AA,BB可以绕着点 O 自由转动,就做成了一个测量工件,由三角形全等得出 AB的长等于内槽宽 AB,那么判定OABOAB的理由是( )A.边角边 B.角边角C.边边边 D.角角边2.如图,要测量河中礁石 A 离岸边 B 点的距离,采取的方法如下:顺着河岸的方向任作一条线段 BC,作CBA=CBA,BCA=BCA.可得ABCABC,所以 AB=AB,所以测量 AB 的长即可得 AB 的长.判定图中两个三角形全等的理由是( )A.SAS B.ASA C.SSS D.AAS3.某大学计划为新生配备如图所示
2、的折叠凳.图是折叠凳撑开后的侧面示意图(木条等材料宽度忽略不计),其中凳腿 AB 和 CD 的长相等,O 是它们的中点.为了使折叠凳坐着舒适,厂家将撑开后的折叠凳宽度 AD 设计为 30 cm,则由以上信息可推得 CB 的长度也为 30 cm,依据是( )A.SAS B.ASA C.SSS D.AAS4.教室里有几盆花,如图,要想测量这几盆花两旁的 A,B 两点间的距离不方便,因此,选点 A,B 都能到达的一点 O,如图,连接 BO 并延长BO 到点 C,使 CO=BO,连接 AO 并延长 AO 到点 D,使 DO=AO.那么 C,D 两点间的距离就是 A,B 两点间的距离.理由:在COD 和
3、BOA 中, 所以CODBOA( ).=,=,=, 所以 CD= .所以只要测出 C,D 两点间的距离就可知 A,B 两点间的距离. 5.如图,由两根钢丝固定的高压电线杆,按要求当两根钢丝与电线杆的夹角相同时,固定效果最好.现已知钢丝触地点到电线杆的距离相等,那么请你判断图中两根钢丝的固定是否合乎要求,并说明理由.(电线杆的粗细忽略不计)6.如图,小敏做了一个角平分仪 ABCD,其中 AB=AD,BC=DC,将仪器上的点 A 与PRQ 的顶点 R 重合,调整 AB 和 AD,使它们分别落在角的两边上,过点 A,C 画一条射线 AE,AE 就是PRQ 的平分线.此角平分仪的画图原理是:根据仪器结
4、构,可得ABCADC,这样就有QAE=PAE.则说明这两个三角形全等的依据是( )A.SAS B.ASA C.AAS D.SSS7.杨阳同学沿一段笔直的人行道行走,在由 A 步行到达 B 处的过程中,通过隔离带的空隙 O,刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语,其具体信息汇集如下:如图,ABOHCD,相邻两平行线间的距离相等,AC,BD 相交于O,ODCD,垂足为 D,已知 AB=20 米,请根据上述信息求标语 CD 的长度.8.如图,为了测量出池塘两端 A,B 之间的距离,在地面上找到一点 C,连接 BC,AC,使ACB=90,然后在 BC 的延长线上确定点 D,使 CD=BC
5、,那么只要测量出 AD 的长度就得到了 A,B 两点之间的距离.你能说明其中的道理吗?9.如图,已知零件的外径为 a,要求它的厚度 x,动手制作一个简单的工具,利用三角形全等的知识,求出 x.10.如图,在ABC 中,D 为 AB 的中点,AD=5 cm,B=C,BC=8 cm.(1)若点 P 在线段 BC 上以 3 cm/s 的速度从点 B 向终点 C 运动,同时点 Q 在线段 CA 上从点 C 向终点 A 运动.若点 Q 的速度与点 P 的速度相等,经过 1 s 后,请说明BPDCQP.若点 Q 的速度与点 P 的速度不等,当点 Q 的速度为多少时,能使BPDCPQ?(2)若点 P 以 3
6、 cm/s 的速度从点 B 向点 C 运动,同时点 Q 以 5 cm/s 的速度从点 C 向点 A 运动,它们都依次沿ABC 三边运动,则经过多长时间,点 Q 第一次在ABC 的哪条边上追上点 P?11.如图,AB=DC,A=D.试说明:ABC=DCB.12.如图,在ABC 中,BAC=4ABC=4C,BDAC 交 CA 的延长线于点D,求ABD 的度数.13.农科所有一块五边形的试验田如图所示,已知在五边形 ABCDE 中,ABC=AED=90,AB=CD=AE=BC+DE=20 m,求这块试验田的面积.参考答案1.【答案】A 2.【答案】B 3.【答案】A4.【答案】SAS;BA5.解:合
7、乎要求.理由如下:在ABO 和ACO 中, =,=,=, 所以ABOACO(SAS).所以BAO= CAO.所以合乎要求.分析:本题易误认为 AB=AC,由 BO=CO,AO=AO 判定 ABOACO而出错.6.【答案】D 解:因为在 ABC 和 ADC 中,AB=AD,BC=DC,AC=AC,所以ABCADC(SSS). 故选 D.7.解:因为 ABCD, 所以 ABO= CDO.因为 ODCD,所以CDO=90.所以ABO=90,即 OBAB.因为相邻两平行线间的距离相等,所以 OD=OB.在ABO 与CDO 中,=,=,=,所以ABOCDO(ASA).所以 CD=AB=20 米.8.解:
8、因为ACB=90,所以ACD=180-ACB=90.在ABC 和ADC 中, =,=,=, 所以ABCADC(SAS).所以 AB=AD.9.解:可设计如图所示的工具,其中 O 为 AC,BD 的中点.在AOB 和COD 中, =,=,=, 所以AOBCOD(SAS).所以 AB=CD.所以测量出 C,D 之间的距离,CD 的长就是 A,B 间的距离.因为 AB=a-2x,所以 x= = .-2 -210.解:(1) 因为 BP=31=3(cm),CQ=31=3(cm),所以 BP=CQ.因为 D 为 AB 的中点,所以 BD=AD=5 cm.因为 CP=BC-BP=8-3=5(cm),所以
9、BD=CP.又因为B=C,所以BPD CQP(SAS).设点 Q 的运动时间为 t s,运动速度为 v cm/s.因为BPDCPQ,所以 BP=CP=4 cm,BD=CQ=5 cm.所以 t= = s.3 43所以 v= = = (cm/s). 543154所以当点 Q 的运动速度为 cm/s 时,能使BPDCPQ.154(2)设经过 x s 点 Q 第一次追上点 P.由题意,得 5x-3x=210,解得 x=10.所以点 P 运动的路程为 310=30(cm).因为 30=28+2,所以此时点 P 在 BC 边上.所以经过 10 s 点 Q 第一次在边 BC 上追上点 P.11.解:如图,分
10、别取 AD,BC 的中点 N,M,连接 BN,CN,MN,则有 AN=ND,BM=MC.在ABN 和DCN 中,=,=,=,所以ABNDCN(SAS).所以ABN= DCN,NB=NC.在NBM 和NCM 中, =,=,=,所以NBMNCM(SSS).所以NBM=NCM.所以NBM+ABN=NCM+DCN.所以ABC=DCB.分析:说明三角形全等时常需添加适当的辅助线,辅助线的添加以能创造已知条件为上策.如本题取 AD,BC 的中点就是把中点作为已知条件,这也是几何说明中的一种常用技巧.12.解:设C=x,则ABC=x,BAC=4x.在ABC 中,x+x+4x=180,解得 x=30.所以BAC=120.所以DAB=60.因为 BDAC,所以ABD=90-DAB=90-60=30.13.解:如图,延长 DE 至点 F,使 EF=BC,连接 AC,AD,AF.易得 CD=FD.因为 =,=,=, 所以ABCAEF(SAS).所以 AC=AF.在ACD 与AFD 中,因为 =,=,=,所以ACDAFD(SSS).所以五边形 ABCDE 的面积是2SADF=2 DFAE=2 2020=400(m2).12 12
