1、专题 09 二次根式的概念与性质阅读与思考式子 叫做二次根式，二次根式的性质是二次根式运算、化简求值的基础，主要有：(0)a1 说明了 与 、 2 一样都是非负数a2 （ 0） 解二次根式问题的基本途径 通过平方，去掉根号有理化 23 揭示了与绝对值的内在一致性aa4 （ 0， 0） bAb5 （ 0， 0） 给出了二次根式乘除法运算的法则 a6若 0，则 0，反之亦然，这是比较二次根式大小的基础bab运用二次根式性质解题应注意：（1）每一性质成立的条件，即等式中字母的取值范围；（2）要学会性质的“正用” 与“ 逆用”，既能够从等式的左边变形到等式的右边，也能够从等式的右边变形到等式的左边例题
2、与求解【例 1】设 ， 都是有理数，且满足方程 ，那么 的值是xy140232xyxy_ （“希望杯”邀请赛试题）解题思路：将等式整理成有理数、无理数两部分，运用有理数和无理数的性质解题【例 2】 当 1 2，经化简， _x2121xx解题思路：从化简被开方数入手，注意 中 0 的隐含制约a【例 3】若 0， 0，且 ，求 的值ab35abab23ab（天津市竞赛试题）解题思路：对已知条件变形，求 ， 的值或探求 ， 的关系【例 4】若实数 ， ， 满足关系式：xym，试确定 的值352319xyxyAm（北京市竞赛试题）解题思路：观察发现（ 199 ）与（199 ）互为相反数，由二次根式的定
3、义、性质xy探索解题的突破口【例 5】已知 ，求 的值12142352abbcabc（山东省竞赛试题） 解题思路：题设条件是一个含三个未知量的等式，三个未知量，一个等式才能确定未知量的值呢?考虑从配方的角度试一试.【例 6】在ABC 中，AB ，BC ，AC 三边的长分别为 ， ， ，求这个三角形的面积小辉5103同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为 1），再在网格中画出格点ABC（即ABC 三个顶点都在小正方形的顶点处），如图 1 所示这样不需求ABC 的高，而借用网格就能计算出它的面积（1）请你将ABC 的面积直接填写在横线上：_（2）我们把上述求ABC 面积的方
4、法叫作构图法若ABC 三边的长分别为 ，2 ，5a（ 0），请利用图 2 中的正方形网格（每个小正方形的边长为 ）画出相应的ABC，并求7a出它的面积（3）若ABC 三边的长分别为 ， ，2 （ 0， 0，且216mn94n2mnn ）试运用构图法求出这个三角形的面积mn（咸宁市中考试题）解题思路：本题主要考查三角形的面积、勾股定理等知识，不规则三角形的面积，可通过构造直角三角形、正方形等特殊图形求得CBA图 1 图 2能力训练A 级1要使代数式 有意义则 的取值范围是_234xx（“希望杯”邀请赛试题）2阅读下面一题的解答过程，请判断是否正确?若不正确，请写出正确的解答已知 为实数，化简 a
5、31a解：原式 aA3已知正数 ， ，有下列命题：b（1）若 1， 1，则 1；aa（2）若 ， ，则 ；52b32（3）若 2， 3，则 ；b（4）若 1， 5，则 3aa根据以上命题所提供的信息，请猜想：若 6， 7，则 _ba（黄冈市竞赛试题）4已知实数 ， ， 满足 ，则 （ ）的值为_abc211024abcAbc5代数式 的最小值是（ ）12xxA0 B1 C1 D不存在6下列四组根式中是同类二次根式的一组是（ ）A 和 2 B3 和 3.5. abC 和 D 和ab7c（“希望杯”邀请赛试题）7化简 的结果是（ ） 2296135xxA6 6 B6 6 C4 D4（江苏省竞赛试题
6、）8设 是一个无理数，且 ， 满足 l0，则 是一个（ ）aababA小于 0 的有理数 B大于 0 的有理数C小于 0 的无理数 D大于 0 的无理数（武汉市竞赛试题）9已知 ，其中 0，求 的值234ababa5ba（山东省中考试颗）10已知 与 的小数部分分别是 ， ，求 的值61ab（浙江省竞赛试题）11设 ， ， 为两两不等的有理数abc求证： 为有理数22211ca（北京市竞赛试题）12设 ， 都是正整数，且使 ，求 的最大值xy160xy（上海市竞赛试题）B 级1已知 ， 为实数，y ，则 5 6 _x22913xxxy2已知实数 满足 ，则 1999 2_a10aa3正数 ，
7、满足 4 2 4 4 3，那么 的值为_mnnmn820mn（北京市竞赛试题）4若 ， 满足 3 7，则 = 的取值范围是_ab5absab（全国初中数学联赛试题）5已知整数 ， 满足 2 50，那么整数对（ ， ）的个数是（ ）xyxyxyA0 B1 C2 D3（江苏省竞赛试题）6已知 1，那么代数式 的值为（ ）aaA B C D 525255（重庆市中考试题）7设等式 在实数范围内成立，其中 ， ， 是两两不同axyaxayxya的实数则代数式 的值为（ ） 223A3 B C2 D1 538已知 ，则 的值为（ ） 225x251xA3 B4 C5 D69设 ， ， 是实数，若 2 4
8、 6 14，求 abcabc1ab2c的值（北京市竞赛试题）10已知 3 3cz 3， 1，求证： axbyxyz2233axbyczab3c11已知在等式 中， ， ， ， 都是有理数， 是无理数求：axbscdabcdx（1）当 ， ， ， 满足什么条件时， 是有理数，s（2）当 ， ， ， 满足什么条件时， 是无理数（“希望杯”邀请赛试题）12设 ，求不超过 的最大整数ss2222111390s13如图，C 为线段 BD 上一动点，分别过点 B，D 作 ABBD ，EDBD，连结 AC，EC，已知AB5，DE 1，BD8，设 CD x（1）用含 的代数式表示 ACCE 的长；x（2）请问点 C 满足什么条件是 ACCE 的值最小？（3）根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式 的最小值22419xxAB DEC（恩施自治州中考试题）
