1、二次函数的概念知识讲解（基础）【学习目标】1.理解函数的定义、函数值、自变量、因变量等基本概念；2.了解表示函数的三种方法解析法、列表法和图像法；3.会根据实际问题列出函数的关系式，并写出自变量的取值范围；4.理解二次函数的概念，能够表示简单变量之间的二次函数关系.【要点梳理】要点一、函数的概念一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量 x，y，对于自变量 x 在某一范围内的每一个确定值，y 都有惟一确定的值与它对应，那么就说 y 是 x 的函数.对于自变量 x 在可以取值范围内的一个确定的值 a，函数 y 有惟一确定的对应值，这个对应值叫做当 x=a 时函数的值，简称函数值.要点诠释：对于函数
2、的概念，应从以下几个方面去理解：（1）函数的实质，揭示了两个变量之间的对应关系；（2）判断两个变量之间是否有函数关系，要看对于 x 允许取的每一个值，y 是否都有惟一确定的值与它相对应；（3）函数自变量的取值范围，应要使函数表达式有意义，在解决实际问题时，还必须考虑使实际问题有意义.要点二、函数的三种表示方法表示函数的方法，常见的有以下三种：（1）解析法：用来表示函数关系的数学式子叫做函数的表达式， （或解析式） ，用数学式子表示函数的方法称为解析法.（2）列表法：用一个表格表达函数关系的方法.（3）图象法：用图象表达两个变量之间的关系的方法.要点诠释：函数的三种表示方法各有不同的长处.解析式
3、法能揭示出变量之间的内在联系，但较抽象，不是所有的函数都能列出解析式；列表法可以清楚地列出一些自变量和函数值的对应值，这会对某些特定的数值带来一目了然的效果，例如火车的时刻表，平方表等；图象法可以直观形象地反映函数的变化趋势，而且对于一些无法用解析式表达的函数，图象可以充当重要角色.对照表如下：表示方法 全面性 准确性 直观性 形象性列表法 解析式法 图象法 要点三、二次函数的概念一般地，形如 y=ax2+bx+c（a, b, c 是常数，a0）的函数叫做 x 的二次函数. 若 b=0，则 y=ax2+c； 若 c=0，则 y=ax2+bx； 若 b=c=0，则 y=ax2.以上三种形式都是二
4、次函数的特殊形式，而 y=ax2+bx+c（a0）是二次函数的一般式. 要点诠释：如果 y=ax2+bx+c(a,b,c 是常数，a0)，那么 y 叫做 x 的二次函数这里，当 a=0 时就不是二次函数了，但 b、c 可分别为零，也可以同时都为零【典型例题】类型一、函数的相关概念1、如图所示，下列各曲线中表示 y是 x的函数的有( )A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【思路点拨】抓住函数定义中的关键词语“ y都有惟一确定的值” ， x与 y之间的对应，可以是“一对一” ，也可以是“多对一” ，不能是“一对多”.【答案】C；【解析】这是一道函数识别题，从函数概念出发，领悟其内涵，此题不难得到
5、答案，不构成函数关系【总结升华】在一个变化过程中，如果有两个变量 x与 y，并且对于 x的每一个确定的值， y都有惟一确定的值与其对应，那么我们就说 x是自变量， 是 的函数.举一反三：【变式】下列等式中， y是 的函数有（ ）个.230,1,|,|xyxxyxyA.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C；要判断是否为函数，需判断两个变量是否满足函数的定义.对于21,xy当 x取 2 时，y有两个值 3与它对应，对于 |xy，当 取 2 时， y有两个值2 和它对应，所以这两个式子不满足函数定义的要求：y 都有惟一确定的值与 x 对应，所以不是函数，其余三个式子满足函数的定义.2、求出下列函数
6、中自变量 的取值范围.（1） 52xy（2） 43xy（3） 23yx（4） 1（5） 12（6） 【思路点拨】自变量的范围，是使函数有意义的 x的值，大致是开平方时，被开方数是非负数，分式的分母不为零等等.【答案与解析】解：（1） 52xy， 为任何实数，函数都有意义；（2） 43，要使函数有意义，需 2x30，即 x 32；（3） yx，要使函数有意义，需 2 30，即 ；（4） 21，要使函数有意义，需 2x10，即 12x；（5） 3yx， 为任何实数，函数都有意义；（6） 2，要使函数有意义，需 302x，即 x3 且 2. 【总结升华】关于自变量的取值范围，在实际问题中，还要考虑实
7、际情况.3、若 y与 x的关系式为 2-+45yx，当 x2 时， y的值为（ ）A8 B9 C10 D11【思路点拨】把 2代入关系式即可求得函数值.【答案】B；【解析】 45y.【总结升华】 是 x的函数，如果当 x a时 y b，那么 叫做当自变量为 a时的函数值.类型二、函数的三种表示方法4、一水库的水位在最近 5 小时内持续上涨，下表记录了这 5 小时的水位高度t/时 0 1 2 3 4 5 y/米 10 1005 1010 1015 1020 1025 (1)由记录表推出这 5 小时中水位高度 y（米）随时间 t（时）变化的函数解析式，并画出函数图象(2)据估计这种上涨的情况还会持
8、续 2 小时，预测再过 2 小时水位高度将达到多少米？【思路点拨】观察表格发现随着时间的均匀增加，水位高度的增加量相同，可知该函数为一次函数. 【答案与解析】解：(1)由表中观察到开始水位高 10 米，以后每隔 1 小时，水位升高 0.05 米，这样的规律可以表示为：y=0.05t+10（0t5）这个函数的图象如下图所示：(2)再过 2 小时的水位高度，就是 t=5+2=7 时，y=0.05t+10 的函数值，从解析式容易算出：y=0.057+10=10.35,从函数图象也能得出这个值数答：2 小时后，预计水位高 10.35 米【总结升华】本题综合考察了列表法、解析法和图像法，是一道不错的试题
9、.类型三、二次函数的概念5、当常数 m 时，函数 y=（m 22m8）x 2+（m+2）x+2 是二次函数；当常数 m= 时，这个函数是一次函数【思路点拨】根据一次函数与二次函数的定义求解.【答案与解析】解：由函数 y=（m 22m8）x 2+（m+2 ）x+2 是二次函数，得m22m8m0解得 m4，m2，由 y=（m 22m8）x 2+（m+2 ） x+2 是一次函数，得，解得 m=4，故答案为：4，2；4【总结升华】本题考查了二次函数的定义，利用了二次函数的二次项的系数不能为零，一次函数一次项的系数不能为零举一反三：【变式 1】下列函数中，是二次函数的是（ )A. 2xy B. xy12 C. 2)(xy D. 123xy【答案】A【变式 2】若函数 是二次函数，则 m 的值是 【答案与解析】解：若函数 是二次函数，则 m29m+20=2，再利用 m60，故（m3 ） （m 6）=0，m6，解得：m=3故答案为：3
