1、第2节 证明不等式的基本方法,考纲展示,知识梳理自测,考点专项突破,解题规范夯实,知识梳理自测 把散落的知识连起来,1.比较法,知识梳理,2.综合法与分析法 (1)综合法:从 出发,利用定义、公理、定理、性质等,经过一系列的 、论证而得出命题成立. (2)分析法:从 出发,逐步寻求使它成立的 条件,直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等),从而得出要证的命题成立.,已知条件,推理,要证的结论,充分,3.反证法与放缩法 (1)反证法 证明命题时先假设要证的命题 ,以此为出发点,结合 ,应用公理、定义、定理、性质等,进行正确的推理,得到和命题的条件(或已证明的
2、定理、性质、明显成立的事实等) 的结论,以说明假设不正确,从而得出原命题成立,我们把这种证明方法称为反证法. (2)放缩法 证明不等式时,通过把不等式中的某些部分的值 或 ,简化不等式,从而达到证明的目的,我们把这种方法称为放缩法.,不成立,已知条件,矛盾,放大,缩小,4.三个正数的算术-几何平均不等式 (1)定理,a=b=c,不小于,不小于,a1=a2=an,双基自测,B,解析:根据条件和分析法的定义可知选项B最合理.故选B.,2.已知a+b+c0,ab+bc+ac0,abc0,用反证法求证a0,b0,c0时的反设为( ) (A)a0,c0 (C)a,b,c不全是正数 (D)abc0,解析:
3、反证法提出假设时,是否定“a0,b0,c0”,应为a,b,c不全是正数,故选C.,C,答案:9,考点专项突破 在讲练中理解知识,考点一,比较法证明不等式,反思归纳 比较法证明不等式的方法与步骤 (1)作差比较法:作差、变形、判号、下结论. (2)作商比较法:作商、变形、判断、下结论. 提醒:(1)当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时,一般使用作差比较法. (2)当被证的不等式两边含有幂式或指数式或乘积式时,一般使用作商比较法.,考点二,用综合法、分析法证明不等式,反思归纳,(2)用分析法证明不等式时,不要把“逆求”错误地作为“逆推”,分析的过程是寻求结论成立的充分条件,而不一定是充要条件
4、,同时要正确使用“要证”“只需证”这样的连接“关键词”. (3)分析法与综合法常常结合起来使用,称为分析综合法,其实质是既充分利用已知条件,又时刻瞄准解题目标,即不仅要搞清已知什么,还要明确干什么,通常用分析法找到解题思路,用综合法书写证题过程.,考点三,用反证法证明不等式,证明:假设a1,a2,a3,a4均不大于25, 即a125,a225,a325,a425. 则a1+a2+a3+a4100,这与已知a1+a3+a3+a4100矛盾.故假设错误. 所以a1,a2,a3,a4中至少有一个数大于25.,【例3】 (2017银川月考)已知a1+a2+a3+a4100,求证:a1,a2,a3,a4
5、中至少有一个数大于25.,反思归纳 对于某些问题中所证结论若是“都是”“都不是”“至多”“至少”等问题,一般用反证法.其一般步骤是反设推理得出矛盾肯定原结论.,考点四,放缩法证明不等式,反思归纳 放缩法的关键是控制放缩的幅度,幅度过大或过小都会与所证不等式有差异.,备选例题,解题规范夯实 把典型问题的解决程序化,【教师备用】 利用综合法证明不等式 【典例】 (10分)(2017全国卷)已知a0,b0,a3+b3=2, 证明:(1)(a+b)(a5+b3)4;,满分展示 证明:(1)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b61分 =(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4)3分 =4+ab(a2-b2)24分 所以(a+b)(a5+b5)4. 5分,(2)a+b2.,答题模板 第一步:展开不等式的左边并适当整理; 第二步:利用已知条件将展开结果进行配方; 第三步:利用两数和的立方公式展开整理; 第四步:利用ab( )2进行放缩; 第五步:解不等式获得待证结论.,
