1、1第二十四章 24.4.2 圆锥的侧面积和全面积知识点 1：圆锥的基本概念圆锥的组成:圆锥可以看成由一个直角三角形绕一条直角边所在直线旋转一周而成的图形,这条直线叫做圆锥的轴,垂直于轴的边旋转而成的面叫做圆锥的底面,它的底面是一个圆形,斜边旋转而成的面叫做圆锥的侧面.圆锥的母线:连接圆锥的顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线.圆锥的高:圆锥的顶点和底面圆心的距离叫做圆锥的高.圆锥的基本特征:圆锥的轴通过底面的圆心,并且垂 直于底面;圆锥的母线长都相等;经过圆锥的轴的平面被圆锥截得 的图形是等腰三角形.知识点 2：圆锥的侧面展开图沿一条母线将圆锥的侧面剪开并展平,其侧面展开图是一个扇形,
2、扇 形的半径等于圆 锥的母线长,弧长等于圆锥的底面圆周长.知识点 3：圆锥的全面积设圆锥的底面半径为 r,母线长为 l,则它的侧面积和全面积分别为 S 侧 = l2r=rl;S 全 =S侧 +S 底 =rl+r 2=r(l+r).关键提醒:(1)圆锥的面积计算,只要分清底面半径和母线,就可直接计算,但要看清是侧面积还是全面积;(2)圆锥的侧面展开图的圆心角的度数 n,可由 L= =2r 求得,即 n= 或 n= .考点 1：圆锥的侧面展开图与圆锥相关概念的综合运用【例 1】 圆锥底面半径为 250px,高为 10 cm.2(1)求圆锥的表面积;(2)若一只蚂蚁从底面一点 A 出发绕圆锥一周回到
3、 SA 上一点 M 处,且 SM=3AM,求它所走的最短距离.解:(1)圆锥的母线长 SA= =40(cm),圆锥侧面展开图扇形的弧长l=2OA=20(cm), S 侧 = lSA=400(cm 2),S 底 =OA 2=100(cm 2). S 表 = S 底 + S 侧 = 500(cm 2).(2)沿母线 SA 将圆锥的侧面展开,得圆锥的侧面展开图,则线段 AM 的长就是蚂蚁所走的最短距离,由(1)知 SA=1000px,弧 AA= 20cm,ASM= =90.又 SA=AS=1000px,SM=3AM, SM= SA=750px.在 RtASM 中, AM= = =50(cm).所以蚂
4、蚁所走的最短距离是 1250px.点拨:利用底面半径、高及母线组成的直角三角形构造勾股定理求出母线长,进而借助扇形面积公式求出表 面积;蚂蚁在圆锥表面上行走一圈,而圆锥侧面展开后为扇形,故可在展开图(扇形)上求点 A 到点 M 的最短距离(即 AM 的 长).考点 2：利用圆锥的侧面展开图解决实际问题【例 2】 如图,半圆形铁皮半径为 225px,小明同学打算用它制作一圆锥形盒子,他先作半径OC,使BOC=120,用扇形 OBC 作圆锥侧面,再在扇形 OAC 中剪一最大的圆作底面,你认为小明能做成吗?说说你的理由.若行,请问圆锥的高是多少?3解:用圆心角为 120的扇形做成圆锥的侧面,所需要的
5、底面半径是 =2r,所以 r=3.在扇形 OAC 中剪一最大的圆作底面,说明圆 O与各边及弧相切,由切线长定理可知OOE=30,OEOA,得到 OO=2OE,又因为两圆内切,OO=9- OE,即 2OE=9- OE,通过计算可得 OE=3=r,所以小明能做成,此时圆锥的高为 =6 .点拨:用圆心角为 120的扇形做成圆锥的侧面,关键是看做成侧面的扇形的弧长与底面圆的周长是否吻合.考点 3：利用圆锥的知 识设计方案【例 3】 工人师傅要在一边长为 1000px 的正方形铁皮上裁剪下一块完整的圆和一块完整的扇形,使之恰好做成一个圆锥形模型.(1)请你帮助工人师傅设计三种不同的裁剪方案(画 出示意图
6、);(2)哪种设计方案使得正方形铁皮的利用率最高(不用证明)?求出此时圆锥模型底面圆的半径.解:(1)设计方案的示意图如图所示:(2)使得正方形铁皮的利用率最高的裁剪方案为第一种.设圆的半径为 r,扇形的半径为 R,则由题意知 2R=2r,故 R=4r. 正方形的边长为 1000px, BD=40 cm.4 O 与扇形的切点 E、圆心 O 在 BD 上, R+r+ r=BD.将 R=4r,BD=40 代入 上式,解得 r= cm.故使得正方形铁皮的利用率最高时,圆锥模型底面圆的半径为 cm.点拨:本题主要考查勾股定理和圆锥的侧面展开图等知识,此题的关键是正确设计图案,原则上要保证扇形的弧长与底面的周长相等.根据图中的线段长度关系列方程解题是一种常用方法.
