1、1第二十二章 22.1.6 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和性质知识点 1:二次函数的一般式 y=ax2+bx+c 与顶点式 y=a(x-h)2+k 之间的关系1.转化方法:y=ax2+bx+c=a +c=a +c=a + .对照 y=a(x-h)2+k,这里 h=- ,k= .即抛物线 y=ax2+bx+c 的对称轴为直线 x=- ,顶点坐标为 .2.将一般式配成顶点式的一般步骤为:(1)将二次项和一次项结合在一起,并提取二次项系数;(2)将括号中的二次二项式加上一次项系数一半的平方,并在常数项中减去所配的常数;(3)将配好的函数解析式写成 y=a(x-h)2+k 的形式.知识点 2
2、:二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和性质二次函数 y=ax2+bx+c 的图象的“五点法”作图.(1)用配方法求出抛 物线的顶点坐标和对称轴,在坐标系中描出顶点 M,并用虚线画出对称轴;(2)设抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴的交点为 A,B,与 y 轴的交点为 C,再找出 C 关于对称轴的对称点 D,把A,B,C,D 和顶点 M 共五个点按从左到右的顺序连接起来,并向上或向下无限伸展,就得到函数图象,这种作图方法简称“五点法”.二次函数 y=ax2+bx+c 的性质主要从图象开口方向、对称轴、顶点坐标,函数的增减性,函数的最大(小)值这几个方面来研究,列表归纳如下:二次函数y=
3、ax2+bx+ca0 a0 C.a+b+c0 D.b0;抛物线的对称轴在 y 轴左侧,则- 0,由对称轴在 y 轴的左侧可知 b0,由此可以判断该一次函数的图象经过第二、三、四象限,即不经过第一象限.4本题将一次函数和二次函数的图象及其性质结合在一起,是一个综合性问题.在二次函数的一般形式 y=ax2+bx+c 中,a 的符号由其图象开口方向判断,b 的符号由 a 以及其图 象的对称轴的位置判断,c的符号由二次函数图象与 y 轴的交点位置来判断.一次函数 y=ax+b 中,a 的符号由一次函数的增减性判断,b 的符号由直线 y=ax+b 与 y 轴的交点位置来判断.考点 3:运用两点式 y=a
4、(x-x1)(x-x2)(a,x1,x2为常数,且 a0)求二次函数的解析式【例 3】 已知抛物线与 x 轴的两个公共点的坐标分别为(1- ,0),(1+ ,0),并且与 y 轴交于点(0,-2),求此抛物线的解析式.解:抛物线与 x 轴的两个交点的坐标分别为(1- ,0),(1+ ,0).设此抛物线的解 析式为 y=a(x-1+ )(x-1- ).点(0,-2)在此抛物线上,a(-1+ )(-1- )=-2,解得 a=2,此抛物线的解析式为 y=2(x-1+ )(x-1- ),即 y=2x2-4x-2.点拨：已知抛物线与 x 轴的两个公共点的坐标分别为(x 1,0)和(x 2,0)时,我们往往设两点式,即y=a(x-x1)(x-x2),如果与 x 轴只有一个公共点(x 0,0),那么往往设此抛物线的解析式为 y=a(x-x0)2,再由抛物线上的另一个点的坐标求出此抛物线的解析式.
