1、3.与立体几何有关的压轴小题1.(2017 届山西大学附属中学模 块诊断) 如图为某几何体的三视图，则其体积为 ( )A. 4 B. C. 4 D.23 2 43 3 43答案 D解析 由三视图可知，该几何体是一个半 圆柱(所在圆柱为圆柱 OO1)与四棱锥的组合体，其中四棱锥的底面 ABCD 为圆柱的轴截面，顶点 P 在半圆柱所在圆柱的底面圆上(如图所示)，且 P 在 AB 上的射影 为底面的圆心 O.由三视图数据可得，半圆柱所在圆柱的底面半径 r1，高 h2，故其体积 V1 r2h 122；12 12四棱锥的底面 ABCD 为边长为 2 的正方形，PO 底面 ABCD，且 POr1.故其体积
2、 V2 S 正方形 ABCDPO 221 .13 13 43故该几何体的体积 VV 1V 2 .432.如图，正四面体 DABC 的顶点 A，B，C 分别在两两垂直的三条射线 Ox，Oy ，Oz 上，则在下列命题中，错误的是( )A.OABC 是正三棱锥B.直线 OB 与平面 ACD 相交C.直线 CD 与平面 ABC 所成的角的正弦值为32D.异面直线 AB 和 CD 所成的角是 90答案 C解析 如图 ABCD 为正四面体，ABC 为等边三角形，又OA，OB ，OC 两两垂直，OA平面 OBC，OABC.过 O 作底面 ABC 的垂线，垂足为 N，连接 AN 交 BC 于 M，可知 BCA
3、M，M 为 BC 的中点，同理可证，连接 CN 交 AB 于 P，则 P 为 AB 的中点，N 为底面ABC 的中心，OABC 是正三棱锥，故 A 正确；将正四面体 ABCD 放入正方体中，如图所示， 显然 OB 与平面 ACD 不平行，则 B 正确；由图可知：直线 CD 与平面 ABC 所成的角的正弦值为 ，则 C 错误；63异面直线 AB 和 CD 所成角是 90，故 D 正确.3.如图，在矩形 ABCD 中，AB2，AD1，点 E 为 CD 的中点，F 为线段 CE(端点除外)上一动点.现将DAF 沿 AF 折起，使得平面 ABD平面 ABC.设直线 FD 与平面 ABCF 所成角为 ，
4、则 sin 的最大值为( )A. B. C. D.13 24 12 23答案 C解析 如图，在矩形 ABCD 中，过点 D 作 AF 的垂线交 AF 于点 O，交 AB 于点 M.设 CFx(0 x1)，AMt，由DAMFDA，得 ，即有 t ，AMAD ADDF 12 x由 0x1，得 t1.12在翻折后的几何体中，AFOD，AFOM，AF平面 ODM，从而平面 ODM平面 ABC，又平面 ABD平面 ABC，则 DM平面 ABC，连接 MF，则MFD 是直线 FD 与平面 ABCF 所成角，即 MFD ，而 DM ，DF2x ，1 t21t则 sin t ，DMDF 1 t2 t4 t2由
5、于 t 21，则当 t2 时，sin 取到最大值，其最大值为 .14 12 124.(2017 届广东阶段测评)如图，平面四边形 ABCD 中，ABAD CD 1，BD ，BD CD，将其沿对角线 BD 折成四面体 ABCD，使平面2ABD平面 BCD，若四面体 ABCD 的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为( )A.3 B. C.4 D. 32 34答案 A解析 由图示可得 BDA C ，BC ，DBC 与ABC 都是以 BC 为斜边的直角三2 3角形，由此可得 BC 中点到四个点 A， B，C，D 的距离相等，即该三棱锥的外接球的直径为，所以该外接球的表面积 S4 23.3 (32)5.
6、如图，直三棱柱 ABCA 1B1C1 的六个顶点都在半径为 1 的半球面上，ABAC ，侧面BCC1B1 是半球底面圆的内接正方形，则侧面 ABB1A1 的面积为( )A.2 B.1 C. D.222答案 C解析 球心在面 BCC1B1 的中心 O 上， BC 为截面圆的直径，BAC90，底面外接圆圆 心 N 位于 BC 的中点处，A 1B1C1 外心 M 在 B1C1 中点上，设正方形 BCC1B1 的边长为 x，在 RtOMC 1 中，OM ，MC1 ，OC1R1，x2 x2 2 21，(x2) (x2)即 x ，则 ABAC1，2 1 .1ABS形2 26.(2017河北衡水中学四调)在
7、棱长为 6 的正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，M 是 BC 的中点，点P 是面 DCC1D1 所在的平面内的动点，且满足APD MPC，则三棱锥 PBCD 体积的最大值是( )A.36 B.12 C.24 D.183 3答案 B解析 AD底面 D1DCC1，ADDP，同理 BC平面 D1DCC1，则BCCP，APD MPC ，PADPMC，AD2MC，PD2PC，下面研究点 P 在面 ABCD 内的轨迹( 立体几何平面化)，在平面直角坐标系内设D(0，0)，C(6，0)，C1(6，6)，设 P(x，y)，PD2PC， 2 ，化简得(x8) 2y 216(0 x 6)，该圆与 CC1 的
8、交点的纵坐标最x2 y2 x 62 y2大，交点坐标(6，2 )，三棱锥 PBCD 的底面 BCD 的面积为 18，要使三棱锥 PBCD 的体3积最大，只需高最大，当 P 点坐 标为(6 ，2 )时，CP 2 ，棱锥的高最大，此时三棱锥3 3PBCD 的体积 V 182 12 ，故 选 B.13 3 37.(2017 届福建厦门双十中学期中 )如图，在棱长为 1 的正方体 ABCDA 1B1C1D1 的对角线AC1 上取一点 P，以 A 为球心，AP 为半径作一个球，设 APx，记该球面与正方体表面的交线的长度和为 f(x)，则函数 f(x)的图象最有可能的是( )答案 A解析 球面与正方体的
9、表面都相交，我们考虑三种特殊情形：当 x1 时；当 x 时；当 x 时.12 2当 x1 时，以 A 为球心，1 为半径作一个球， 该球面与正方体表面的交 线弧长为3 21 ，且为函数 f(x)的最大值；14 32当 x 时，以 A 为球心， 为 半径作一个球，根据 图形的相似，该球面与正方体表面的交线12 12弧长为(1)中的一半；当 x 时，以 A 为球心， 为半径作一个球，该球面与正方体表面的交线弧长为2 23 2 ，16 2 2 32对照选项可得 A 正确.8.已知球的直径 SC4，A， B 是该球球面上的两点，AB2，ASCBSC 45 ，则棱锥SABC 的体积为( )A. B. C
10、. D.33 233 433 533答案 C解析 由条件知直径 SC 所对 的圆周角SBC SAC90，由已知ASCBSC45，SBC 与SAC 是全等的等腰三角形，设球的球心为点 O，BOSC，AOSC，即 SC平面 AOB，由条件 OAOB2， 则OAB 为等边三角形，V SABC S OABSC 4 .13 13(1222sin 60) 4339.(2017 届辽宁省庄河市高级 中学月考) 已知长方体 ABCDA 1B1C1D1 的外接球 O 的体积为，其中 BB12，则三棱锥 OABC 的体积的最大值为( )323A.1 B.3 C.2 D.4答案 A解析 由题意设外接球的半径为 R，
11、则由题设可得 R3 ，由此可得 R2，43 323记长方体的三条棱长分别为 x，y，2，则 2R ，由此可得 x2y 212，x2 y2 4三棱锥 OABC 的体积 V xy116 xy 1，当且仅 当 xy 时“”成立.故选 A.16 16 x2 y22 610.(2017浙江温州中学模拟) 已知四边形 ABCD，AB BDDA2，BCCD .现将2ABD 沿 BD 折起，当二面角 ABDC 处于 过程中，直线 AB 与 CD 所成角的余弦值6，56取值范围是( )A. B. 528，28 28，528C. D.0，28 0，528答案 D解析 如图所示，取 BD 的中点 E，连接 AE，C
12、E，AEC 即为二面角 ABDC 的平面角，而 AC2AE 2 CE22AE CEcosAEC42 cosAEC，AEC ，3 6，56AC1， ，7 2 cos ， ( )AB CD 2 AB CD AB BD BC 2ABBC 1 ，AB2 BC2 AC22ABBC AC22 52，12设异面直线 AB，CD 所成的角为 ，0cos ，故选 D.12252 52811.正三角形 ABC 的边长为 2，将它沿高 AD 翻折，使点 B 与点 C 间的距离为 1，此时四面体 ABCD 外接球的表面积为_.答案 133解析 根据题意可知，三棱锥 BACD 的三条侧棱 BDAD，DCDA，底面是正三
13、角形，它的外接球就是它扩展为正三棱柱的外接球.正三棱柱中，底面边长为 1，高 为 .3由题意可得三棱柱上下底面中心连线的中点到三棱柱顶点的距离相等，说明该中点就是外接球的球心，正三棱柱 ADCBDC 的外接球的球心为 O，外接球的半径为 r.球心到底面的距离为，则球的半径满足 r2 2 2 ，外接球的表面 积为 4r2 .32 (2332) ( 32) 1312 13312.如图所示，正方体 ABCDABC D的棱长为 1，E，F 分别是棱 AA，CC的中点，过直线 EF 的平面分别与棱 BB，DD分别交于 M，N 两点，设 BMx，x0，1 ，给出以下四个结论：平面 MENF平面 BDDB；
14、直线 AC平面 MENF 始终成立；四边形 MENF 周长 Lf(x )，x0，1 是单调函数；四棱锥 CMENF 的体积 Vh( x)为常数.以上结论正确的是_.答案 解析 因为 EFBB ，EFBD，BBBDB，所以 EF平面 BDDB，所以平面MENF平面 BDDB成立；因为 ACEF，所以直线 AC平面 MENF 始终成立；因为 MF ，(12 x)2 1f(x)4 ，所以 f(x)在0 ，1上不是单调函数；(x 12)2 1V CMENF VFMCE V FCNE ，故 h(x)为常数.1314 1314 1613.在三棱锥 PABC 中，PA，PB，PC 两两垂直，且 PA3，PB
15、2，PC1，设 M 是底面ABC 内一点，定义 f(M)(m，n，p)，其中 m，n，p 分别是三棱锥 MPAB，三棱锥MPBC，三棱锥 MPCA 的体积，若 f(M) ，且 8，则正实数 a 的最小值为(12，x，y) 1x ay_.答案 1解析 依题意， x y 3211，12 13 12即 xy ，12 2 (xy )2 2(1a2 )2( 1) 2，1x ay (1x ay) (1 a yx axy) a a由题设 2( 1) 28，解得 a1，a故正实数 a 的最小值为 1.14.(2017江西南阳一中月考) 如图，ACB90，DA平面 ABC，AEDB 交 DB 于E，AFDC 交 DC 于 F，且 ADAB2，则三棱锥 DAEF 体积的最大值为_.答案 26解析 AD平面 ABC，DAAB，ADBC，AEDB ，又 ADAB2，DE .2又BCAC，ACADA，BC平面 ACD，平面 BCD平面 ACD，AFDC，平面 BCD平面 ACDCD ，AF平面 ACD，AF平面 BCD，AFBD ，又 AEBD，BD平面 AEF，由 AFEF，得 AF2EF 2AE 222AF EF，即 AFEF1，S AEF ，当且 仅当 AFEF1 时“”成立，12三棱锥 DAEF 体积的最大值为 .13 2 12 26
