1、5.坐标系与参数方程1.(2017江苏)在平面直角坐标系中 xOy 中，已知直线 l 的参数方程为Error!(t 为参数) ，曲线C 的参数方程为Error! (s 为参数).设 P 为曲线 C 上的动点，求点 P 到直线 l 的距离的最小值.解 直线 l 的普通方程为 x2y80，因为点 P 在曲线 C 上，设 P(2s2，2 s)，2从而点 P 到直线的距离d ，|2s2 42s 8|5 |2s 22 4|5当 s 时，d min .2455因此当点 P 的坐标为(4，4) 时，曲线 C 上的点 P 到直线 l 的距离取到最小值 .4552.在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程
2、为Error!(t 为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴)中，圆 C 的方程为6sin .(1)求圆 C 的直角坐标方程；(2)设圆 C 与直线 l 交于点 A，B.若点 P 的坐标为(1，2) ，求 的最小值.|PA| |PB|解 (1)由 6sin ，得 26sin ，化为直角坐标方程为 x2y 26y ，即 x2(y3) 2 9.(2)将 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程，得 t22(cos sin )t70，由 (2cos 2sin ) 24 70，故可设 t1，t2 是上述方程的两根，所以Error!又直线
3、l 过点 ，(1，2)故结合 t 的几何意义得 |PA| |PB| |t1| |t2| |t1 t2| (t1 t2)2 4t1t2 2 ，4(cos sin )2 28 32 4sin 2 32 4 7所以 的最小值为 2 .|PA| |PB| 73.在直角坐标系 xOy 中，已知点 P ，曲线 C 的参数方程为 Error!( 为参数).以原点为极(0，3)点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 .32cos( 6)(1)判断点 P 与直线 l 的位置关系并说明理由；(2)设直线 l 与曲线 C 的两个交点分别为 A， B，求 的值.1|PA| 1|PB|解 (1)
4、点 P 在直线上，理由如下：直线 l： ，32cos( 6)即 2cos ，( 6) 3即 cos sin ，3 3所以直线的直角坐标方程为 xy ，易知点 P 在直线 上.3 3(2)由题意，可得直线 l 的参数方程为Error!( t 为参数) ，曲线 C 的普通方程为 1，x22 y24将直线 l 的参数方程代入曲线 C 的普通方程，得 2 2 24，( 12t) ( 3 32t)5t 212t40，两根为 t1， t2，t 1t 2 ，t1t2 0，125 45故 t1 与 t2 异号， ，|PA| |PB| |t1 t2| (t1 t2)2 4t1t24145 | t1|t2|t 1
5、t2 ，|PA|PB|45 .1|PA| 1|PB| |PA| |PB|PA|PB| 144.在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为Error!( 为参数). 以原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 4sin .(1)求曲线 C1 的普通方程和 C2 的直角坐标方程；(2)已知曲线 C3 的极坐标方程为 (0， R )，点 A 是曲线 C3 与 C1 的交点，点 B是曲线 C3 与 C2 的交点，且 A， B 均异于原点 O，且 4 ，求 的值.|AB| 2解 (1)由Error!消去参数 可得 C1 的普通方程为( x2) 2 y24.4
6、sin ， 24sin ，由Error!得曲线 C2 的直角坐标方程为 x2( y2) 24.(2)由(1)得曲线 C1：(x2) 2y 24，其极坐标方程为 4cos ，由题意设 A(1，)， B(2，)，则 4|AB| |1 2| |sin cos |4 4 ，2|sin( 4)| 2 sin 1，( 4) k (kZ)，4 2又 0， .345.已知曲线 C1：Error!( 为参数 )，C2：Error!(t 为参数).(1)曲线 C1，C 2 的交点为 A，B，求 ；|AB|(2)以原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，过极点的直线 l1 与曲线 C1 交于O， C
7、两点，与直线 sin 2 交于点 D，求 的最大值.|OC|OD|解 (1)方法一 曲线 C1：(x1) 2y 21，将 C2 的参数方程代入，得 2 21，( 32t 1) (233 t2)化简得，t 2 t 0，533 43所以 .|AB| |t1 t2| (t1 t2)2 4t1t2 3方法二 曲线 C2 的直角坐标 方程为 y x ，33 233过点 ， C1过点 ，不妨令 A ，(2，0) (2，0) (2，0)则OBA90， OAB 30，所以 2 .|AB|32 3(2)C1 的极坐 标方程为 2cos ，令 l1 的极角为 ，则 1 ， 22cos ，|OD|2sin |OC|
8、sin cos sin 2 ，|OC|OD| 12 12当 时取得最大值 .4 126.(2017四川大联盟三诊)已知 ，在直角坐标系 xOy 中，直线 l1 的参数方程为0，)Error!(t 为参数)；在以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线 l2 的极坐标方程是 cos 2sin .( ) ( 6)(1)求证：l 1l 2；(2)设点 A 的极坐标为 ， P 为直线 l1， l2 的交点，求 的最大值.(2，3) |OP| |AP|(1)证明 易知直线 l1 的普通方程为 xsin ycos 0.又 cos 2sin 可 变形为( ) ( 6)cos cos sin sin 2sin ，( 6)即直线 l2 的直角坐标方程为xcos ysin 2sin 0.( 6)因为 sin cos sin 0，( cos )根据两直线垂直的条件可知， l1l 2.(2)解 当 2 ， 时， 3cos 2cos 2sin ，( ) (3 ) ( 6)所以点 A 在直线 cos 2sin 上.(2，3) ( ) ( 6)设点 P 到直线 OA 的距离为 d，由 l1l 2 可知， d 的最大值为 1.|OA|2于是 d 2d 2，|OP| |AP| |OA|所以 的最大 值为 2.|OP| |AP|
