1、第二节 与圆有关的位置关系,知识点一 点与圆、直线与圆的位置关系 1点与圆的位置关系 设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则： (1)点在圆外d_r； (2)点在圆上d_r； (3)点在圆内d_r.,2直线与圆的位置关系 设圆的半径为r，圆心到直线的距离OPd，,知识点二 切线的性质与判定 1切线：直线和圆有_的公共点(即直线和圆相切)时， 这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点 2切线的性质：圆的切线_于过切点的半径,唯一,垂直,3切线的判定 (1)定义判定：和圆有_公共点的直线是圆的切线 (2)数量关系：圆心到直线的距离等于_的直线是圆的切线 (3)定理：过半径外端且_于半径的直线
2、是圆的切线,唯一,半径,垂直,4切线长：过圆外一点画圆的切线，这点和切点之间的线 段长叫做这点到圆的切线长 切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长_,相等,知识点三 三角形的内切圆 1和三角形各边都_的圆叫做三角形的内切圆，内切 圆的圆心叫做三角形的内心 2三角形的内心是三角形的三条_的交点，它到 三角形三边的距离相等 3三角形的内心都在三角形的内部,相切,角平分线,若已知O是ABC的内切圆，三角形三边长分别为a，b，c， 面积为S，圆的半径为r，则r .特别地，当ABC是 直角三角形，C90，则r (abc),考点一 点、直线与圆的位置关系 (5年0考) 例1 如图，两个同心圆，大圆的半
3、径为5，小圆的半径为3， 若大圆的弦AB与小圆相交，则弦AB的取值范围是 ,【分析】 先确定出当AB与小圆相切时的值，由弦AB与小圆相交，明确AB与小圆有两个交点，则AB应大于这个值，再由大圆的直径确定出AB的最大值即可,【自主解答】 如图，当AB向下移动到AB位置，恰好 与小圆相切时有一个公共点D，连接OA，OD，则ODAB. ODAB，ADBD. 在RtADO中，OD3，OA5， AD4，AB2AD8. 当AB恰好是大圆的直径时，AB10， AB的取值范围是8AB10. 故答案为8AB10.,1(2017枣庄)如图，在网格中(每个小正方形的边长均 为1个单位)选取9个格点(格线的交点称为格
4、点)如果以A 为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在 圆内，则r的取值范围为( ),B,2如图，已知点A，B在半径为1的O上，AOB60， 延长OB至点C，过点C作直线OA的垂线，记为l，则下列说法 正确的是( ) A当BC等于0.5时，l与O 相离 B当BC等于2时，l与O 相切 C当BC等于1时，l与O 相交 D当BC不为1时，l与O不相切,D,3在RtABC中，AC3，BC4，以C为圆心，以r为半径 作圆若此圆与线段AB只有一个交点，则r的取值范围为 _,3r4或r,考点二 切线的性质与判定 (5年5考) 命题角度 切线的性质 例2(2016济南)如图，AB是O的直径，P
5、A与O相切于点A，OP与O 相交于点C，连接CB，OPA40，求ABC的度数.,【分析】 利用切线的性质和直角三角形的两个锐角互余的性质得到圆心角POA的度数，然后利用圆周角定理来求ABC的度数,【自主解答】 PA是O的切线， BAP90. OPA40， POA50， ABC POA25.,利用切线的性质解决问题时，常连接切点与圆心，构造垂直，然后通过勾股定理、解直角三角形或相似解题,4(2017济南)把直尺、三角尺和圆形螺母按如图所示放 置于桌面上，CAB60，若量出AD6 cm，则圆形螺母 的外直径是( )A12 cm B24 cm C6 cm D12 cm,D,5(2013济南)如图，A
6、B是O的直径，点D在O上， BAD35，过点D作O的切线交AB的延长线于点C， 则C_度,20,6. (2014济南)如图，AB与O相切于点C，AB，O的半径为6，AB16，求OA的长,解：如图，连接OC，AB与O相切于点C，OCAB. 又AB，OAOB， AC AB 168. 在RtAOC中，OA,命题角度 切线的判定 例3(2016张家界)如图，AB是O的直径，C是O上的一点，直线MN经过点C，过点A作直线MN的垂线，垂足为点D，且BACCAD. (1)求证：直线MN是O的切线； (2)若CD3，CAD30，求O的半径,【分析】 (1)连接OC，根据角之间的关系得出ADOC， 进而得出OC
7、MN，根据点C在圆上证得结论；(2)在RtADC 中，求出AC的长，然后利用RtABC求出AB的长即可,【自主解答】(1)如图，连接OC，OAOC， OACOCA. AC平分BAD，BACDAC， OCADAC，OCAD.,ADMN，OCMN. 又OC是O的半径， 直线MN是O的切线 (2)在RtADC中，CAD30，CD3， AC2CD6. AB是直径， ACB90，,ABC是直角三角形 AC平分BAD， BACCAD30，,讲： 切线的判定方法(1)“连半径，证垂直”：若直线与圆有公共点，则连接圆心与交点得到半径，证明半径与直线垂直；(2)“作垂直，证等径”：若未给出直线与圆的公共点，则过
8、圆心作直线的垂线段，证明垂线段的长等于半径在判定时，必须说明“是半径”或“点在圆上”，这是最容易犯错的地方 练：链接变式训练8,7. 如图，在ABC中，ABAC，以AC为直径的O交BC于点D，交AB于点E，过点D作DFAB，垂足为F，连接DE. (1)求证：直线DF与O相切； (2)若AE7，BC6，求AC的长,(1)证明：如图，连接OD. ABAC，BC. ODOC，ODCC， ODCB，ODAB. DFAB，ODDF. 点D在O上，直线DF与O相切,(2)解：四边形ACDE是O的内接四边形， AEDACD180. AEDBED180， BEDACD. 又BB，BEDBCA，,8(2017咸宁)如图，在ABC中，ABAC，以AB为直径的O与边BC，AC分别交于D，E两点，过点D作DFAC，垂足为点F. (1)求证：DF是O的切线； (2)若AE4，cos A ，求DF的长,(1)证明：如图，连接OD，作OGAC于点G， OBOD，ODBB. 又ABAC，CB， ODBC，ODAC. DFAC，DFC90， ODFDFC90. 又OD是O的半径， DF是O的切线,
