1、浅解心脏线浅解心脏线作者： 尹肃、 孙康200911181002、200911181028摘要本文通过查找文献资料并进行一定的分析，对心脏线的定义，方程，性质，快速画法以及应用进行简单介绍。 关 键 词心 脏 线 逐 点 算 法 Morley 定理引 言心 脏 线 （ Cardioid） 是 de Castillon 在 1741 年 的 Philosophical Transactions of the Royal Society 发 表 的 ； 意 为 “像 心 脏 的 ”。 心 脏 线 是外摆线的 一 种 ， 亦 可 作 为 圆 的 包 络 线 ， 用 逐 点 算 法 可 快 速 生 成
2、 心 脏 线 。1.心 脏 线 的 定 义1.圆 上 定 点 在 动 切 线 上 射 影 的 轨 迹2. 一个尖点的外摆线3.两圆过某一交点的动割线两端处切线交点的轨迹2.心 脏 线 的 方 程在笛卡儿坐标系中，心脏线的参数方程为：其中 r 是圆的半径。曲线的尖点位于（r，0） 。在极坐标系中的方程为：3. 心 脏 线 的 图 像这是四个朝着不同方向的心脏线。4.心 脏 线 的 性 质1. 三角形的内切心脏线的中心 O，总位于其 Morley 三角形的边上，当且仅当心脏线与三角形某边双重相切时。如图，注；Morley 定理一个三角形的六条内角三等分线,与每边相邻的两线各交于一点, 这三点是一个
3、正三角形的顶点2. 心脏线可作为圆的包络线。设一心脏线的歧点为 A、基圆是圆 O。对于此心脏线上任一点 P，若 Q 点是 P 点在基圆上的对应点，亦即: Q 是 的垂直平分线与基圆相切的切点，则 = 而且此心脏线过 P 点的切线就是过 P 而与 PQ 垂直的线。以 Q 为圆心、 为半径作一圆，此圆必经过 A 点与 P 点，而且此圆过 P 点的切线也是过 P 而与 垂直的直线。由此可知: 以 Q 为圆心、 为半径的圆必与上述心脏线相切于 P 点。 前段所提的性质，可以作如下的解释:给定一定圆 O 及其圆周上一点 A，若对于圆 O 上所有点 Q，以 Q 点为圆心、 为半径作一圆，则所有此种圆都与以
4、 A 为歧点、圆 O 为基圆的心脏线相切;或者说，以 A 为歧点、圆 O 为基圆的心脏线是上述所有圆的包络线(envelope ，见图) 。 3.心脏线是一种外摆线对于以 A 为歧点且圆 O 为基圆的心脏线上每个点 p 都可在基圆上找到一个对应点 Q，使得 A 点与 P 点对基圆 O 过 Q 的切线 QN 对称，或是说， P 点就是 A 点对切线 QN 的对称点;如果我们进一步作出基圆 O 对切线 QN 的对称图形，则所得图形是一个圆，它通过 P 点而且与基圆 O 相切于 Q 点(见图四)。因为此圆的半径与基圆的半径相等而且 = ，所以，此圆上弧 PQ 的长与基圆上弧 AQ 的长相等。这些现象
5、显示什么意义呢?我们说明如下。 图四取一个大小与基圆相同的滚动圆，让它沿着基圆的外部作没有滑动的滚动，滚动圆上选定一个定点，此定点在滚动前的位置是 A。图四表示: 当滚动圆滚动到与固定圆 (即基圆)相切于 Q 点时，滚动圆上的定点就到达 P 点。由此可知:所谓心脏线，乃是当滚动圆与固定圆的半径相等时，滚动圆上的定点所描绘的曲线，这是一外摆线。 将心脏线视为外摆线，还有另一种描述方法。在图五中，设 P 是以 A 为歧点而圆 O 为基圆的心脏线上一点， Q 是基圆上一点且点 A 与点 P 对基圆过 Q的切线成对称。设直线 PQ 与基圆交于另一点 R，直线 AP 与基圆交于另一点 M。以 M 为圆心
6、、基圆的直经为半径画一圆，此圆必通过 P 点且与基圆相切于 R 点，我们将证明 :基圆 O 上的弧 AQR 的长与大圆 M 上的弧 PR 的长相等。为什么呢? 图五因为 与 平行，所以， = 。又因为大圆 M 的半径是基圆 O 的半径的两倍，所以，大圆 M 上的弧 PR 的长等于基圆 O 上的弧 QR的长的两倍。另一方面，因为直线 QQ通过等腰三角形 的顶点 O 且平行其底边 ，所以，直线 QQ平分 的顶角的外角，亦即: = 。由此可得 = 。于是，在基圆 O 上，弧 AQ与弧 QR 的长相等。将上述二等式结合，即得:大圆 M 上的弧 PR 的长等于小圆 O 上的弧 AQR。这个现象的意义可说
7、明如下。 取一个半径为基圆 O 的直径的滚动圆，让它沿着基圆的外部作没有滑动的滚动 (请注意: 两圆内切) ，滚动圆上选定一个定点，此定点在滚动前的位置是 A。图四表示:当滚动圆滚动到与固定圆 (即基圆)相切于 R 点时，滚动圆上的定点就到达 P 点。由此可知 :前述的心脏线，就是此滚动圆上的定点所描绘出来的曲线。4. 心脏线是一垂足曲线在图六中，设有一个以 A 点为歧点的心脏线， 是此心脏线上通过 A 点的一弦，直线 与基圆 O 交于另一点 M。作基圆 O 的一直径 ，使得 而且 是圆 O 的一个内接四边形。因为 的一组对边 与 平行且等长，所以， 是平行四边形。于是， 。又因为 是圆内接四
8、边形，所以， 。由此可得 故 是等腰三角形， 。另一方面，因为基圆 O 过 Q 的切线必与 及 垂直，所以，此切线与 的交点 N 乃是 的中点。由此可知：点 P 是点 A 对基圆 O 过 Q 之切线的对称点。 图六 同理，点 P是点 A 对基圆 O 过 Q之切线的对称点。 若以 A 点为伸缩中心将基圆 O 放大二倍，则放大圆的圆心是图二中的 B 点且半径为 2a。若直线 AQ 与放大圆交于另一点 QO，则因为 ，所以，放大圆过 QO 的切线与基圆过 Q 的切 线 QN 平行。因为 = ， = ，所以， QN 线与直线 QOP 平行。由此可知 :直线 QOP 就是放大圆过 QO 的切线。因为 。
9、由此可知:前述心脏线上每个点 P 都是点 A 至放大圆的某一切线的垂足。 若 S 为一曲线而 A 为一定点，则由点 A 至曲线 S 的所有切线的垂足所成的图形，称为曲线 S 对点 A 的垂足曲线(pedal curve)。根据前段的说明。可知 :心脏线是一圆对其圆周上一定点的垂足曲线。 5. 心脏线是一焦线在图七中，P 是以 A 为歧点、圆 O 为基圆的心脏线上一点， 的垂直平分线与基圆相切于 Q。另一方面，有一个与基圆同样大小的滚动圆，沿着基圆的外部作没有滑动的滚动。当滚动圆与基圆的切点由 A 滚动到变成 Q 时，滚动圆上的定点也由 A 移动至 P，此时，滚动圆的圆心是 J，而且直线 OQ
10、与滚动圆的另一交点为 I。因为基圆与滚动圆的半径相等，而且分别在两圆上的弧 AQ 与弧 QP 的长度相等，所以，可得 。若在 上选取一点 C 使得 ，则 。由此得 。这个等式代表什么意义呢？我们说明如下。 图七首先注意到: 的长等于基圆之半径的 3 倍。若我们以 O 为圆心、 为半径作一圆，则 C 是此大圆上的一个定点，亦即: 不会随着 P 点的移动而改变位置。另一方面，不论 P 是心脏线上任何点，对应的 I 点都是此大圆与滚动圆的切点。因为直线 OI 是此大圆过 I 点的法线，而直线 CI、直线 PI 等二直线与法线 OI 的夹角相等，所以，直线 PI 就是直线 CI 在该大圆上反射后所得的
11、直线。因为心脏线过 P 点的切线就是与 垂直的直线 PI，也就是说，过 C点的每条直线在该大圆上反射后所得的直线，都是心脏线的切线。或者说，该心脏线是过 C 的所有直线在大圆上反射后，所得的所有直线的包络线。 设 S 为一曲线而 F 为一定点，若过 F 点的所有直线在曲线 S 上反射后，所得的所有直线可包络出一曲线，则此包络线称为曲线 S 以 F 为辐射点 (radiant point) 的焦线 (caustic curve)。所以，依前段的说明，图六中以 A 为歧点、圆 AQB 为基圆的心脏线，就是三倍大圆以其上的 C 点为辐射点的焦线。 6.心 脏 线 的 弧 长 与 面 积因为心脏线是一
12、外摆线，所以，心脏线的弧长与面积都可以根据外摆线的一般结果来说明。 若固定圆的半径是滚动半径的 k 倍，则外摆线的一拱之长为 ，其中 a 是滚动的半径。若 k =1 则所得的外摆线就是心脏线，而且整个心脏线就只是一拱。由此可知：若基圆的半径为 a，则所得心脏线的全长为 16a。 若固定圆的半径是滚动圆半径的 k 倍，其中 k 是正整数，则外摆线所围的区域的面积为 ，其中 a 是滚动圆的半径。由此可知：若基圆的半径为 a，则所得心脏线围出的面积为 。 5.心 脏 线 的 快 速 画 法 ： 逐 点 算 法结 论 ：心 脏 线 作 为 一 种 特 殊 曲 线 ， 它 的 定 义 多 种 多 样 ， 并 且有 许 多 有 趣 的 性 质 （ 如 与 Morley 定 理 的 联 系 ） 与 结 论 。参 考 文 献 ：1. 心 脏 线 的 逐 点 生 成 算 法 林 芳宁 夏 大 学 学 报 （ 自 然 科 学 版 ） 2006 年 3 月 第 27卷 第 一 期 文 章 编 号 ： 0253-2328(2006)01-0025-022. 心 脏 线 赵 文 敏中 数 网3. Morley 定 理 的 一 种 极 限 形 式 刘 可 育 数 学 通 报 2007 年 03 期
