1、12004 年全国“华罗庚杯”少年数学邀请赛初二组决赛试题及评分标准23第九届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试题参考答案（初二组）一、填空（每题 10 分）二、解答下列各题，要求写出简要过程（每题 10 分）7.解答: .1392nm 解方程 .965,43yx得到 x=-3,y=1; 代入原方程组中后两个方程,得到 .35,8nm再解上面关于 m和 n的方程,得到 ;,1369nm 计算 .139672n8.解答:重叠部分的面积是 .)(232r如图 A,两圆重叠部分是两段小圆弧 围成的区域,它由两部分构成:BAO1和 第一部分是四边形 ,因为 所以 和1AOB,11r1AO均是边长为
2、 r的正三角形 ,AD垂直和等分 ,由勾股定理,1BO,所以 , 的面积=243222)(rDA rD231四边形,4321r .21AB的 面 积 第二部分是四个弓形 、 、 、 ，四个弓形相同，只需求出一O1BO个弓形面积即可。因为 ，所以扇形 的面积601A= 、弓形 AO的面积 =扇形 的面积- 的面积=26130r1O1.)(461题 目 1 2 3 4 5 6答 案 9 2004 600 2 171 12750049.解答:42 圈. 设 A、B、C 三个微型机器人的速度分别为 u、v 和 w，圆形轨道周长是S，或 5.2,wuSv 5.22,SS所以，(1).105.2SSvw又
3、有,2310vw（2）解（1）和（2） ，得到 .5Sv代入 ，得到2Svu.4260,17SuS10.解答 31a.0将 10个不等式累加得),(3)(2)( 103211032110321 aaaaa (3)只有 10个式子都取等号,(3)式才成立.由 可以得到 231a ),(231aa(3.1)由 可以得到 42a ,43(3.2)由 可以得到 12103 ),(2110aa(3.10)由(3.1)和(3.2)可推知 类似地,可以推知 所以,).(2431aa )(2121,同理可得 .所以,21a1032 .0321a11.解答:共有 16种填法. 如图 B1,数字 1只能填在左上角
4、的格子中,数字 9只能填到右下角的格子中. 数字 7和数字 8都不能填在中心的格子中;当它们分别填在第三列和第三行时,它们只能填在图 B2阴影5格子中. 数字 7和数字 8都填在第三列时,只能是图 B3的填法.此时,数字 6只能填在图 B3空的阴影格子中,数字 4和 5可以分别填在空的白格子中,共有2种填法.类似地,数字 7和数字 8都填在第三行时,同样有 2种填法(见图B4). 数字 7和数字 8可以分别填在图 B2空的阴影格中,显然,有两种类型,对每一种类型,数字 4、5、6 可以随意填入图 B2空的白格子中，此时数字4、5、6 有 6种填法。两种类型共有 12种填法。综合以上讨论，共有
5、16种符合要求的填法。12.解答:3) 见图 G;4) 40种;在方格纸上共涂有 10个阴影方格,每行每列涂阴影方格的个数均为奇数.所以,必有 1行仅有一个方格涂为阴影,同样,必有 1列,也仅有一个方格涂有阴影.如果这两个阴影方格重合,称为“阴影特征方格”.有“阴影特征方格”的涂法称为 A类涂法,如图 C和图 D.否则,称为 B类涂法,如图 E. A类有唯一“阴影特征方格”.对于 B类涂法,如果某行(称为 a行)仅有 1个阴影方格,例如图 E中的第三行,因为没有“阴影特征方格” ，这个涂有阴影的方格所在的列有 3个阴影方格，有 1个白色方格（未涂阴影的方格称为白色方格） ，例如图 E中的第一列
6、.此时，因为 a行仅有 1个方格涂有阴影,这个白色方格所在行一定涂有 3个阴影方格,如图 E第一行.也就是,这个白色方格所在的行和列中,除去这个方格,其它都是阴影方格,称这个白色方格为“白色特征方格”.B 类有唯一“白色特征方格”.在 A类涂法中,除“阴影特征方格”所在的列和行,其余方格都涂成阴影.所以,“阴影特征方格”的位置唯一地决定了 44的方格纸的涂法.不难得到,A 类涂法有下面 4种类型,见图 Fa.图 Fa 图 Fb6其它 A类涂法,通过旋转必定和图 F中的某个相同.在 B类涂法中,可以抽掉“白色特征方格”所在的行和列,只考虑余下的 33方格,它有 5个白色方格,仅有 1行有 3个白
7、色方格,仅有 1列有 3个白色方格,它们相交的白色方格称为“公共白色方格”.当然,“白色特征方格”在旋转相同意义下,仅有 4种类型(见图 Fb).当“白色特征方格”位置固定时,“公共白色方格”可以有 9种选择,方格纸有 9种不同类型的涂法.所以,B 类共有 49=36种类型的涂法,见图 G.图 G第九届全国“华罗庚金杯“少年数学邀请赛主试委员会，2004/04/10 3第九届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试题参考答案 （初二组）说明和判分建议第 7-10题解题方法和过程仅供参考,如有不同的解答方法,欢迎提供给主试委员会,请寄至“北京中科院科技政策与管理科学研究所,付继良,100080” 。题 目 7 8 9 10 11 12 3 3 4 4 1 1 2 2 1 4 1 1 1 1 1 2 1解答过程 2 17判分建议判分标准1） 答案正确,无过程,如果猜测答案较为容易,建议给 2分,否则给 4-5分;2） 答案正确,依解题过程给出余下的 5-8分;3） 若答案错误,则视解题的过程是否正确给于 1-8分;4） 计算错误少扣分.答案正确 4 4 4 2 4每个答案各 3分合 计 10 10 10 10 10 10
