1、几何直观在数学学习中所扮演的角色Abraham ArcaviEducational Studies in Mathematics 52: 215241, 2003汇报人 ：张之堃 2017.3.26摘 要Abstract摘 要 几 何 直 观 的 研 究 在 当 前 数 学 和 数 学 教 育 领 域中 逐 渐 走 入 人 们 的 视 野 。 直 观 既 是 对 图 像 的 创 造 、理 解 和 反 映 过 程 ， 又 是 这 个 过 程 所 得 到 的 结 果 。本 文 尝 试 对 几 何 直 观 做 出 定 义 ， 并 对 它 能 够 、 也应 该 在 数 学 学 习 和 活 动 中 所
2、扮 演 的 各 种 角 色 做 出分 析 、 例 证 和 反 思 ， 同 时 还 讨 论 了 几 何 直 观 可 能给 学 生 和 教 师 带 来 的 局 限 和 困 难 。目 录 摘 要 引 言 数 据 之 中 为 问 题 解 决 服 务 不 仅 仅 是 相 信 ， 也 许 还 能 证 明 ？ 你 我 所 见 是 否 相 同 ？ 我 们 开 始 看 到 的 那 些 看 不 到 的 事 情引 言A first round引 言 生 物 学 ： 视 觉 系 统 是 我 们 最 为 重 要 的 信 息 来 源 ， 大 脑 中 最 大 的功 能 区 ， 就 是 负 责 视 觉 和 知 觉 、 动 作
3、 、 语 言 等 方 面 的 视觉 控 制 的 。 视 神 经 包 含 10亿 神 经 纤 维 ， 相 较 而 言 ， 听 觉神 经 只 有 50000。 社 会 文 化 ： 基 本 可 以 说 ， 在 我 们 所 生 活 的 世 界 中 ， 大 部 分 信 息 都是 通 过 视 觉 传 播 的 ， 科 技 也 支 持 鼓 励 视 觉 上 的 沟 通 。引 言 虽 然 人 们 从 洞 穴 壁 画 时 期 开 始 就 在 使 用 图 像记 录 和 交 流 信 息 ， 用 “ 视 觉 文 化 ” 代 替 “ 印 刷文 化 ” 就 和 从 “ 口 传 文 化 ” 向 “ 印 刷 文 化 ” 转 换一
4、 样 意 义 深 长 。引 言 可 能 在 看 到 之 前 我 们 已 经 通 过 别 人 的 描 述 了解 这 些 了 ， 但 是 看 到 这 些 东 西 本 身 ， 不 但 满 足 了我 们 “ 看 ” 的 愿 望 ， 带 来 其 中 的 乐 趣 ， 还 能 给 我们 更 加 准 确 的 理 解 ， 或 者 成 为 我 们 进 一 步 提 出 问题 的 助 跳 板 。“ 可 视 化 能 让 我 们 看 清我 们 所 看 不 到 的 东 西 ”数 据 之 中In the data看 到 看 不 到 的 东 西 ， 指 的 是 一 个 更 加“ 抽 象 ” 的 世 界 ， 没 有 任 何 一
5、种 光 学 或 者电 子 科 技 能 让 这 些 东 西 变 得 可 见 。 可 能 我们 真 正 需 要 的 是 “ 认 知 技 术 ” （ Pea， 1987）和 能 够 超 越 思 维 局 限 的 媒 介 ， 帮 我 们 看 清数 学 中 的 概 念 和 观 点 。数 据 之 中 一 个 综 合 了 Zimmermann， Cunningham和 Hershkowitz观 点 的 定 义 ： 可 视 化 是 为 了 描 绘 和 交 流 信 息 、 发 展 当 前 所 未 知 的想 法 并 做 出 进 一 步 的 理 解 ， 在 头 脑 中 、 书 面 上 或 者 使 用科 技 工 具 ，
6、 创 造 、 理 解 和 使 用 图 像 、 画 面 、 图 表 的 能 力 、过 程 和 产 物 。 Visualization is the ability, the process and the product of creation, interpretation, use of and reflection upon pictures, images, diagrams, in our minds, on paper or with technological tools, with the purpose of depicting and communicating inform
7、ation, thinking about and developing previously unknown ideas and advancing understandings.数 据 之 中“ A diagram is worth a thousand words”数 据 之 中法 国 工 程 师 Charles Joseph Minard (1781 1870)图 的 组 成 是 二 维 的 ， 非 线 性 的 ， 而 语 言 则是 固 定 顺 序 和 逻 辑 阐 述 方 式 的 。 图 片 提 供 的 信息 组 成 一 个 个 信 息 团 ， 就 像 我 们 平 时 在 生 活 中所
8、 看 到 的 一 样 ， 能 够 让 人 一 眼 就 理 解 ， 减 少 了搜 集 信 息 的 过 程 。 数 据 之 中“可 视 化 的 本 质 就 是 创 造 一 种 能 立 刻 不 证自 明 的 感 觉 。“ an essential factor for visualization is creating the feeling of self-evidence and immediacy” Fischbein, 1987Anscombe（ 1973） 认 为 图 表 有 不 同 的 目 的 ，比 如 ：（ 1） 让 我 们 了 解 和 理 解 数 据 的 大 致 特 征（ 2） 让
9、我 们 看 到 这 些 大 致 特 征 之 后 的 东 西数 据 之 中图 表 揭 示 数 据 深 意数 据 之 中图 表 揭 示 数 据 深 意数 据 之 中图 表 揭 示 数 据 深 意数 据 之 中1、 可 视 化 还 可 以 伴 随 符 号 展 开 。正 分 数 的 中 间 数 公 式 ：若 a/bc/d， 则 数 据 之 中 Papert （ 1980） ： 想 象 有 根 绳 子 绕 地 表 一 周（ 假 设 地 球 是 完 美 光 滑 的 球形 ， 半 径 4000英 里 ， 差 不 多是 6400km） 有 个 人 提 议 ， 把绳 子 的 一 端 系 在 一 个 6英 尺（
10、1.8m） 高 的 杆 子 上 ， 显 然现 在 需 要 的 绳 子 要 长 一 点 ，那 么 要 长 多 少 呢 ？ 数 据 之 中 hR 非 正 式 的 画 图 解 题 有 这 样 一 个 发 展 过 程 一 根 绳 子 环 绕 方 地 球 多 边 地 球 圆 地 球 一 根 绳 子 被 架 在 正 方 形 表 面 高 度 为 h的 杆 子 上 ，通 过 正 方 形 的 边 时 ， 绳 子 是 直 的 ， 通 过 角 时 形 成半 径 为 h的 圆 弧 。 数 据 之 中 我 们 的 直 觉 可 能 是 错 的 ， 我 们 不 应 该 信 任直 觉 ， 而 应 当 依 靠 符 号 组 成
11、的 论 据 。 可 视 化 可 以 给 我 们 的 直 觉 打 “ 补 丁 ”数 据 之 中2、 直 观 地 解 决 问 题 能 让 我 们 更 好 地 理 解 概 念和 意 义 。 这 一 族 线 性 方 程 的 共 同 特 征 是 什 么 ？数 据 之 中符 号 解 答 可 以 做 出 下 面 这 样 简 单 的 语 法 转 换 ：数 据 之 中 有 经 验 的 数 学 家 可 以 “ 看 ” 穿 符 号 形 式 的 表 达 ， 不 论 它们 看 上 去 多 复 杂 。 但 对 于 其 他 人 ， 尤 其 是 对 学 习 数 学 的 学生 而 言 ， 可 视 化 在 以 下 三 个 方 面
12、 有 着 强 大 的 补 充 功 能 ：（ 1） 可 视 化 可 以 给 符 号 化 的 表 达 提 供 支 持 和 说 明 （ 还 能通 过 自 己 的 方 式 提 供 证 据 ） （ 中 间 数 公 式 ）（ 2） 可 以 帮 助 我 们 辨 析 正 确 和 非 正 确 的 符 号 解 答 （ 绳 子绕 地 球 ）（ 3） 帮 助 我 们 加 深 对 理 论 基 础 的 理 解 ， 弥 补 常 规 解 法 容易 忽 略 的 地 方 （ 比 如 斜 率 =截 距 ）数 据 之 中为 问 题 解 决 服 务Serve for problem solving为 问 题 解 决 服 务Davis（
13、 1984） 提 出 了 一 种 现 象 ， 他 称 之 为 视 觉调 节 顺 序 （ visually-moderated sequences， VMS） ： 一 个 人 要 开 车 去 很 远 的 地 方 ， 这 个 地 方 可 能他 只 在 很 多 年 以 前 去 过 一 两 次 。 一 般 来 讲 ， 这 个人 不 能 一 下 说 上 来 应 该 怎 么 到 那 个 地 方 。 他 依 靠的 是 VMS， 看 到 一 个 地 标 ， 然 后 才 知 道 接 下 来 该怎 么 走 ， 直 到 见 到 下 一 个 视 觉 提 示 。 这 种 情 况 下 ， 直 观 给 我 们 带 来 的 并 不 是 概 念 ，而 是 一 系 列 程 序 。为 问 题 解 决 服 务过 程 基 本 是 ：看 -写 -看 -写 ， 视 觉 线 索 V1引 发 程 序 P1为 问 题 解 决 服 务在 问 题 解 决 中 ， 可 视 化 不 但 能 给 思 考 过 程 提 供 提示 ， 也 在 启 发 我 们 得 出 结 论 上 扮 演 着 中 心 角 色 ：Barbeau（ 1997） 一 个 NXN的 数 字 矩 阵 ， 第 i行 第 j列 （ 1 i， j n） 的数 是 比 i和 j小 的 数 ， 求 所 有 数 的 和 。
