1、1第八章 8.1 二元一次方程组知识点 1:二元一次方程的概念含有两个未知数,并且含 有未知数的项的次数都是 1 的方 程叫做二元一次方程.二元一次方程具备以下几个特征:(1)它是一个整式方程;(2)只含有两个未知数;(3)含有未知数的项的次数都为 1.知识点 2:二元一次方程组的概念把两个整式方程合在一起,就组成了一个方程组,这个方程组中有两个未知数,含有每个未知数的项的次数都是 1,像这样的方程组叫做二 元一次方程组.知识点 3:二元一次方程的解一般地,使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值,叫做二元一次方程的解,二元一次方程有无数个解.知识点 4:二元一次方程组的解二元一次方程组中两
2、个方程的公共解叫做二元一次方程组的解.二元一次方程组的解应该同时满足两个方程,例如 是方程 2x+y=7 的解,又是方程 x-y=-4 的解,所以 是方程组的解.考点 1:由方程(组)的 解确定待定系数的值【例 1】 若 是二元一次方程 4x-3y=10 的一个解,求 m 的值.解: 由题意得 4(3m+1)-3(2m-2)=10,整理如下:12m+4-6m+6=10,6m=0,解得 m=0.点拨：将代入方程 4x-3y=10 中得到 一个关 于 m 的一元一次方程,从而求出 m 的值.考点 2:二元一次方程的整数解2【例 2】 求二元一次方程 3x+2y=12 的非负整数解.解法一:原方程可
3、化为 y= ,由于 x,y 都是非负整数,并且保证 12-3x 能被 2 整除,那么 x 必为偶数.当 x=0 时,y=6;当 x=2 时,y=3;当 x=4 时,y=0.所以原方程的非负整数解为解法二:3x=12-2y,12 ,2y 均为偶数,3x 为偶数,x 为偶数,故对 x 取偶数进行讨论.当 x=0 时,y=6;当 x=2 时,y=3;当 x=4 时,y=0.原方程的非负整数解为点拨：把二元一次方程写成用含 x 的代数式表示 y 的形式,在题目所给的范围内对 x 进行取值 ,即可得到对应的 y 值.考点 3:二元一次方程整数解的应用【例 3】 现有布料 25 m,要裁成大人和小孩的两种
4、服装,已知大人和小孩的两种服装每套分别用 布 2.4 m 和 1 m,问:大人和小孩的两种服装各裁多少套能 恰好把布用完?解:设大人和小孩的两种服装分别裁 x 套、y 套能恰好把布用完,则 2.4x+y=25.这个方程的正整数解为答:裁大人服装 5 套,小孩服装 13 套或裁大人服装 10 套,小孩服装 1 套能恰好把布用完. 点拨：本题有两个未知数:“大人服装的套数”,“小孩服装的套数”,却只有一个相等关系,故只能列出一个二元一次方程,虽然这个二元一次方程有无数个解,由于服装的套数是正整数,因此,本题只求二元一次方程的正整数解即可.1第八章 8.2.1 消元解二元一次方程组(一)知识点:代入
5、消元法把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来,再代入另一个方程,实现消元,进而求得这个二元一次方程组的解.这种方法叫做代入消元法,简称代入法.考点 1:用代入消元法解方程组【例 1】 用代入法解方程组 解法一:由得:y=4-x. 把代入得:2x-(4-x)=5.解得:x=3.把 x=3 代入得:y=1.原方程组的解为解法二:由得:x=4-y.把代入,得:2(4- y)-y=5,解得:y=1.把 y=1 代入,得:x=3.原方程组的解为:解法三:由得:y=2x-5.把代入,得:x+2x-5=4,解得:x=3.将 x=3 代入,得:y=1.原方程组的解为:点拨：用代入
6、法解方程组的一般步骤:(1)从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形,用含有 x(或 y)的代数式表示 y(或 x),即变成 y=ax+b(或 x=ay+b)的形式;(2)将 y=ax+b(或 x=ay+b)代入另一个方程中,消去 y(或 x)得到一 个关于 x(或 y)的一元一 次方程;(3)解这个一元一次方程,求出 x(或 y)的值;(4)把求得的 x(或 y)的值代入 y=ax+b(或 x=ay+b)中,求出 y(或 x)的值;(5)把求得的 x,y 的值用“”联立起来,就是方程组的解.2考点 2:参数法解方程组【例 2】 解方程组解:设 = =k,则 x=5k,y=2k,15k-4
7、k =22,解得 k=2.x=10, y=4.这个方程组的解是点拨：当方程组中的一个方程形如 = 或 x5=y2 时,我们考虑用参数 k 表示 x,y 的值,代入另一个方程得到一个关于参数 k 的方程,求出 k 的值后,即 可得到原方程组的解.1第八章 8.2.2 消元解二元一次方程组(一)知识点 1:加减消元法两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时,把这两个方程的两边分别相加或相减,就能消去这 个未知数,得到一个一元一次方程.这种方法叫做加减消元法,简 称加减法.知 识点 2:列二元一次方程组解实际应用题的步骤列二元一次方程组解应用题与列一元一次方程解应用题的思路基本相似,也是审题、
8、设元、列方程、检验、作答几个步骤.其中与列一元一次方程解应用题不同的是,列一元一次方程解应用题的时 候 ,我们需要考虑设哪个未知量为 x,运用哪个相 等关系来列方程,而列二元一次方程组解应用题时,如果题目有两个未知量,两个相等关系,我们直接将未知量设为 x 和 y,两个相等关系都用来 列方程.考点 1:先化 简再求方程组的解【例 1】 解方程组 解:原方程组可化为 5-,得 26y=104,解得 y=4.把 y=4 代入,得 x+20=28,解得 x=8.所以原方程组的解为点拨对于比较复杂的二元一次方程组,首先将两个方程化简成 ax+by=c 的形式,然后再使用代入消元法或加减消元法求解 .考
9、点 2:换元法解方程组【例 2】 解方程组2解:设 a= ,b= ,则原方程组可变形为解得 解得点拨：仔细观察方程组,我们不难发现两个方程中均出现 和 ,我们可将 和 分别看作两个未知数 a,b,这个复杂的方程组就可以转化成一个简单的方程组来解决了,这种方法叫做换元法. 考点 3:轮对称的二元一次方程组的求解策略【例 3】 解方程组解:+,得 27x+27y=81,化简得 x+y=3.-,得-x+y=-1.+,得 2y=2,解得 y=1.-,得 2x=4,解得 x=2.原方程组的解是点拨：呈现 形式的方程组称为轮对称方程组.考点 4:一个二元一次方程组与一个二元一次方程同解的问题【例 4】 若
10、关于 x,y 的方程组 的解也是方程 3x+2y=17 的解,求 m 的值.解法一: -,得 3y=-6m,即 y=-2m.把 y=-2m 代入,得 x-4m=3m,解得 x=7m.把 x=7m,y=-2m 代入 3x+2y=17,得 21m-4m=17,解得 m=1.解法二:33-,得 2x+7y=0.根据题意可得:解这个方程组,得把 代入,得 7-4=3m,解得 m=1.点拨：解法一:把 m 看作已知数,用含 m 的代数式表示 x,y,然后把 x,y 的值代入 3x+2y=17 中,得到一个关 于 m 的一元一次方程,解这个一元一次方程即可求出 m 的值.解法二:由原方程组消去 m,得到一
11、个关于 x,y 的二元一次方程,这个二元一次方程和 3x+2y=17组成一个方程组,解出 x,y 的值,然后代入原方程组中任意一个方程求出 m 的值.1第八章 8.3 实际问题与二元一次方程组知识点 1:行程问题路程=速度时间;顺水速=静水速+水速;逆水速=静水速-水速;知识点 2: 工 作问题工作量=工作 效率工作时间知识 点 3:商品销售问题总价=单价数量;利润=售价-进价;利润率= 100%;知识点 4: 数字问题两位数=十位数 字10+个位数字.三位数 =百位数字 100+十位数字10+个位数 字.知识点 5:储蓄问题利息=本金利率时间,本息和=本金+利息;考点:多解问题【例】 甲、乙
12、两人分别从相距 30 km 的 A、B 两地同时相向而行,经过 3 h 后相距 3 km,再经过 2 h,甲到 B 地所剩路程是乙到 A 地所剩路程的 2 倍,求甲、乙两人的速度.解:设甲的速度为每小时 x km,乙的速度为每小时 y km,当甲、乙两人相遇前相距 3 km 时,依题意,得解得当甲、乙两人相遇后相距 3 km,依题意,得2解得答:甲的速度为每小时 4 km,乙的速度为每小时 5 km或甲的速 度为每小时 5 km,乙的速度为每小时 5 km.点拨：本题中未指明甲、乙两人是相遇之前相距 3 km,还是相 遇之后相距 3 km.因 此容易仅考虑一种情况,而忽略了另一种情况.1第八章
13、 8.4 三元一次方程组的解法知识点:三元一次方程组的 概念1.三元一次方程组 :方 程组含有三个未知数,每个方程中含未知数的项的次数都是 1,并且一共有三个方程,这样的方程组叫做三元一次方程组.2.解三元一次方程组的基本步骤(1)利用代入法或加减法,把方程组中的一个方程与另两个方程分别组成两组,消去同一个未知数,得到关于另外两个未知数的二元一次方程组;(2)解这个二元一次方程组,求得两个未知数的值;(3)将这两个未知数的值代入原方程 组中较简单的一个方程,求出第三个未知数的值.3.解三元一次方程组的基本思想是消元,即通过“代入”或“加减”进行消元,把“三元”化为“二元”,进而再化为“一元”.
14、考点 1:巧解方程组【例 1】 解方程组 解:设 = = =k,则 x=2k,y=3k,z=5k.把它们代入,得 2k-6k+15k=22.解得 k=2.进而解得 x=4,y=6,z=10.所以原方程组的解为点拨：因为是一个连等的形式,故可以根据其特点令其等于一个常数 k,直接将三元转化为一元求解.考点 2:利用三元一次方程组求字母的值【例 2】 在等式 y=ax2+bx+c 中,当 x=-1 时,y=0;当 x=2 时,y=3;当 x=5 时,y=60.求a、b、c 的值.2解:由题意得: 解得:点拨：求 a、b、c 的值需要三个方程,因此本题提供了三组 x、y 的对应值,将这三组值分别代入
15、 y=ax2+bx+c 中,即可得到三个关于 a、b、c 的三元一 次方程 .考点 3:由两个三元一次方程求代数式的比【例 3】 已知 4x-3y-6z=0,x+2y-7z=0,求 的值.解:由题意得: 4-,得:11y=22z. 解得:y=2z.把 y=2z 代入,得:x+4z=7z. 解得:x=3z. = = =- .点拨：要求出三元一次方程中三个未知数的值,至少需要三个方程,只有两个三元一次方程一般情况下是无法求出三个未知数的值的,可设法将其中一个未知数看作已知数,表示出另外两个未知数.考点 4:方程组的应用【例 4】 汽车在相距 70 km的甲、乙两地往返行驶,由于行驶中有一个坡度均匀的小山,所以去时用时 2 小时 30 分,返回时用时 2 小时 18 分,已知汽车在平地上每小时行驶 30 km,下坡时每小时行驶 40 km,上坡时每小时行驶 20 km,求去时上坡路、下坡路及平地的路程.解:设去时上坡路为 x km、下坡路为 y km、平地为 z km,则根据题意得解得:答:去时上坡路为 12 km、下坡路为 4 km、平地为 54 km.点拨：去时的上坡路返回时是下坡路,去时的下坡路返回时是上坡路.
