1、1第七章 7.1.2 平面直角坐标系知识点 1:平面直角坐标系如图,平面内两条互相垂直、原点重合的数轴,组成平面直角坐标系,其中水平的数轴称为 x 轴或横轴,习惯上取向右为正方向;竖直的数轴称为 y 轴或纵轴,习惯上取向上为正方向;两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点,坐标系所在的平面叫坐标平面.建立了平面直角坐标系以后,坐标平面就被两条坐标轴分成,四个部分(图),每个部分称为象限,分别叫做第一象限,第二象限,第三象限和第四象限,坐标轴上的点不属于任何象限.知识点 2:点的 坐标有了平面直角坐标系,平面内的点就可以用有序数对来表示了.如图 7.1-12,由点 A 分别向 x 轴和 y 轴作垂线
2、,垂足 M 在 x轴上的坐标为 3,垂足 N 在 y 轴上的坐标为 4,所以点 A 的横坐标是 3,纵坐标是 4,有序数对(3,4)就是点 A 的坐标,同理点 B 的坐标是(-3,-4).平面直角坐标系内的任意一点,都有一对有序实数对和它对应,反之任意一对有序实数对,在平面内都有一个确定的点和它对应,因此平面内的点与有序实数对是一一对应关系.知识点 3:特殊位置点的坐标特征点 M(x,y)所处的位置 坐标特征点 M 在第一象限 M(正,正)点 M 在第二象限 M(负,正)点 M 在第三象限 M(负,负)象限内的点点 M 在第四象限 M(正,负)坐标轴 点 M 在 x 轴上 在 x 轴正半轴上:
3、M(正,0)2在 x 轴负半轴上:M(负,0)在 y 轴 正 半轴上:M(0,正)上的点点 M 在 y 轴上在 y 轴负半轴上:M(0,负)点 M(x,y)所处的位置 坐标特征点 M 在一、三象限角平分线上x=y,即横坐标与纵坐标相等象限角平分线上的点点 M 在二、四象限角平分线上x=-y,横、纵坐标互为相反数MNx 轴(MNy 轴) M、N 两点纵坐标相等两点连线与坐标轴平行MNy 轴(MNx 轴) M、N 两点横坐标相等M(x,y)到 x 轴距离 |y|个单位长度M(x,y)到坐标轴距离M(x,y)到 y 轴距离 |x|个单位长度考点 1:根据坐标描出点的位置【例 1】 如图是益阳市行政区
4、域图,图中益阳市区所在地用坐标表示为(2,0),安化县城所在地用坐标表示为 (-2,-1),那么南县县城所在地用坐标表示为 . 3分析:方法一:要确定“南县县城”的位置可以先根据“益阳 市区”和“ 安化县城”的坐标建立正确的平面直角坐标系,即建立平面直角坐标系必须符合“益阳市区”和“安化县城”的坐标,建立如图所示的直角坐标系后,易得“南县县城”的坐标是(3,4).方法二:利用平移的知识,“南县县城”可以看作“益阳市区”先向右平移 1 个单位,再向上平移 4 个单位,故可知“南县”的坐标是(3,4).答案:(3,4)点拨：本题是利用网格的相对位置来考查平面直角坐标系及点的坐标等相关知识,根据已知
5、点的特征来写,建立直角坐标系,如考点 2:由点的位置确定坐标中字母的值或取值范围【例 2】若点 A(a,b)在 y 轴上,则点 B(a-2 008 ,a+2 009)在 ( )A.第一象限 B.第二象限 C.第三 象限 D.第四象限答案:B 点拨：因为点 A(a,b)在 y 轴上,所以 a=0,所以 a-2 008 =-2 008,a+2 009=2 009,则点 B 的坐标为(-2 008,2 009),所以点 B 在第二象限内,故选 B.提升点 3:点到坐标轴的距离【例 2】点 P 在第二象限内,P 到 x 轴 的距离是 4,到 y 轴的距离是 3,那么点 P 的坐标为( ).A. (-4
6、,3) B. (-3,-4)C. (-3,4) D. (3,-4)分析:首先由点 P 在第二象限内,知道它的横坐标小于 0,纵坐标大于 0,再由到 x 轴的距离是 4,到 y 轴的距离是 3,得横坐标应为-3,纵坐标应为 4,故点 P 的坐标为(-3,4),应选 C.答案:C点拨：此题主要考 查了点的坐标与它到横、纵坐标轴的距离之间的提升点 4:坐标平面内图形的面积【例 2】 如图,已知ABC,若将ABC 向下平移 2 个单位得到ABC,则点 A 的对应点 A的坐标是 . 4分析:要作ABC 向下平移 2 个单位后的ABC,首先要作出 A、B、C 三点向下平移 2 个单位的对应点,然后顺次连接
7、即可.解答:如图所示,此时点 A(-1,0),B(-3,-1),C (0,-3).所以 A的坐标是(-1,0).点拨:解答平行于坐标轴直线上点的坐标时,平行条件往往被忽略,而这类问题的关键在于找出与已知点平行的横坐标或纵坐标的值,以此为突破确定其他点的坐标.1第七章 7.1.1 有序数对知识点:有序数对有顺序的两个数 a与 b组成的数对, 叫做有序数对,记作( a,b).由有序数对的定义知,任意两个不同的数组成有序数对,两个数的排列顺序不同,所表示的意义 就不同. 如有序数对(2,4)与 (4,2),不妨用来表示“教室里座位的位置”,前者表示“2 排 4号”,后者表示“4 排 2号”,可见这两
8、个有序数对表示的是两个不同的位置.注意：应用这种方法确定物体的位置时，应事先规定，如我们可以规定排号写在前，座号写在后；也可以规定座号写在前，排号写在后.考点 1:用行号和列号确定位置的方法【例 1】 如图是某市市区几个旅游景点所在位置的示意图(图中每个小正方形的边长为 1个单位长度),如果以 O为原点建立两条互相垂直的数轴,用(2,2.5)表示金凤广场的位置,用(11,7)表示动物园的位置.根据此规定:(1)湖心岛、光岳楼、山陕会馆的位置如何表示?(2)(11,7)和(7,11)是同一个位置吗?为什么?2解:(1)湖心岛:(2.5,5);光岳楼:(4,4);山陕会馆:(7,3).(2)不是同
9、一个地方,因为前面一个数字代表横向,后一个 数字代表纵向,交换数字的位置后,就不表示同一 个位置 .点拨：运用有序数对解决实际问题的时候, 我们首先必须弄清有序数对中前一个数表示的实际意义,后一个数表示的实际意义,然后综合这两个条件确定这个有序数对表示的意考点 2:用有序数对表示路 线【例 2】 如图,点 A表示 3街与 5大道的十 字路口,点 B 表示 5街与 3大道的十字路口,如果用(3,5)(4,5)(5,5)(5,4)(5,3)表示由 A到 B的一条路径,那么你能用同样的方法写出由 A到 B的其他的几条路径吗?(写出 5条即可)解:其他的路径可以是:(3,5)(4,5)(4,4)(5,
10、4)(5,3);(3,5)(4,5)(4,4)( 4,3)(5,3);(3,5)(3,4)(4,4)(5,4)(5,3);(3,5)(3,4)(4,4)(4,3)(5,3);(3,5)(3,4)(3,3)(4,3)(5,3).考点 3：利用方位角确定物体的位置【例 3】 如图,雷达探测器测得六个目标 A、B、C、D、E、F 出现,按照规定的目标表示方法,目标 C、F 的位置表示为 C(6,120)、F(5,210),按照此方法在表示目标 A、B、D、E 的位置时,其中表示不正确的是( )A.A(5,30) B .B(2,90)C.D(4,240) D.E(3,60)3答案:D点拨：由题意可知
11、C(6,120),F(5,210),依据此规律可知 A(5,30)、B(2,90)、D(4,240)、E(3,300),不正确的是 E点的表示方法. 1第七章 7.2.1 用坐标表示地理位置知识点:建立平面直角坐标系 表示地理位置利用平面直角坐标系绘制区域内一些地点分布情况平面图的过程如下:(1)建立坐标系,选择一个适当的参照点为原点,确定 x 轴、 y 轴的正方向;(2)根据具体问题确定单位长度;(3)在坐标平面内画出这些点,写出各点的 坐 标和各个地点的名称.考点:用坐标表示地理位置【例】 根据下列条件画一幅示 意图,标出学校、工厂、体育馆、百货商店的位置.(1)从学校向东走 300 m,
12、再向北走 300 m 是工厂;(2)从学校向西走 100 m,再向北走 200 m 是体育馆;(3)从学校向南走 150 m,再向东走 250 m 是百货商店.解:以学校为原点,以学校的正东方向为 x 轴的正半轴,以学校的正北方向为 y 轴的正 半轴建立平面直角坐标系,图中的一个单位长度表示 50 m,分别标出学校、工厂、体育馆、百货商店的位置,如图所示. 点拨：参照点的选取要恰当,一般以正北 方向为 y 轴正 半轴,正东方向为 x 轴正半轴 . 1第七章 7.2.2 用坐标表示平移知识点 1:坐标系中点的平移点在坐标系中的平 移方式有两种:一种是沿 x 轴左右平移,另一种是沿 y 轴上下平移
13、.点 P(x,y)平移方式(其中 a,b0) 平移后点的坐标向右平移 a 个单位长度 (x+a,y)沿x轴平移向左平移 a 个单位长度 (x-a,y)向上平移 b 个 单位长度 (x,y+b)沿y轴平移向下平移 b 个单位长度 (x,y-b)知识点 2:坐标系中图形的平移图形平移的时候,图形上每个点都沿着相同的 方向平移相同的距离,所以图形上每个点平移的方式是一样的,坐标的变化也是相同的.一般地,在平面直角坐标系内,如果把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正数 a,相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移 a 个单位长度;如果把图形各个点的纵坐标都加(或减去)一个正数 a,相应的新图形
14、就是把原图形向上(或向下) 平移 a 个单位长度.考点 1：点在坐标系中的平移【例】 将点 A(2,1)向左平移 2 个单位长度得到点 A,则点 A的坐标是( )A.(2,3) B.(2,-1) C.(4,1) D.(0,1)2答案:D 点拨：将点向左平移 2 个单位长 度,其横坐标减 2,纵坐标 不变,点 A的坐标为(2-2,1),即(0,1).故选 D.考点 2:图形的平移与 坐标的变化【 例】 如图,把图中的ABC 经过一定的变换得到图中的A BC,如果图中ABC 上点 P 的坐标为(a,b),那么这个点在图中的对应点 P的坐标为( )A.(a-2,b-3) B.(a-3,b-2)C.(
15、a+3,b+2) D.(a+2,b+3)答案:C 点拨：由于图形向右平移了 3 个单位长度,向上平移了 2 个单位长度,因此图形上的每个点都作了相同的变化.1第九章 9.1.1 不等式及其解集知识点 1:不等式的概念用符号“”(或“”)“”连接而成的数学式子,叫做不等式.知识点 2:不等式的解一般地,能够使不等式成立的未 知数的值,叫做这个不等式的解.如 x=-2、x=-1、x=- 都是不等式 x-11的解.注意:一元一次不等式的解与一元一次方程的解是有区别的,一元一次方程的解只有唯一一个,而一元一次不等式的解可能不止一个. 知识点 3:不等式的解集1.不等式的解的全体称为这个不等式的解集.如
16、 x 是不等式 x-11的解集.2.解不等式:求不等式解集的过程,叫做解不等式.3.不等式解集的表示方法:一般来说,表示不等式解集有“不等式法”和“数轴法”两种,“不等式法”简便易行,“数轴法”直观明确,在不加要求的前提下,一 般用“不等式法”,有时一些题目中也要求“并在数轴上表示”.(1)不等式法:一般地,一个含有未知数的不 等式的解有无数多个,其解集是一个范围, 这 个范围可以用最简单的不等式来表示.如不等式 x-26 的解集为 x8.这种表示方法叫做不等式法.(2)数轴法:不等式的解集可以在数轴上直观地表示 出来,形象地说明不等式有无数个解.注意:只要能使不等式成立的未知数的值都是不等式
17、的解,不等式的解一般有无数个,这无数个未知数的值组 成不等式的解集 ,因此不等式的解集一般是一个范围,而不是一个具体的值,但如果一个范围不包括所有未知数的值,那么这个范围 也不是不等式的解集.知识点 4:一元一次不等式含有一个未知数,并且未知数的次数为 1的不等式叫做一元一次不等式.注意:一元一次不等式必须是经过化简后含有一个未知数,且未知数的次数是一.2考点:用不等式表示实际问题中的数量关系【例】 某市自来水公司按如下标准收取水费:若每户每月用水不超过 10 m3,则每立方米收费1.6元;若每户用水超过 10 m3,则超过的部 分每立方米收费 3元.小 明家某月的水费不少于 25元,他家这个
18、月的用水量最少是多少?只列出不等式.解:设他家这个月的用水量为 x m3,则 1.610+3(x-10)25.点拨：设他家这个月的用水量为 x m3,则由“小明家 某月的水费不少于 25元”知,他家这个月的用水量超过了 10 m3,其中 10 m3收费 1.610元,其余部分收费 3(x-10)元,所以小明家这个月共交水费1.610+3(x-10)元.1第九章 9.1.2 不等式的性质知识点 1:不等式的性质 1不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,不等号的方向不变.即如果 ab,那么 acbc.知识点 2:不等式的性质 2不等式的两边都乘(或除以)同一个正 数,不等号的方向不变.
19、即如果 ab,c0,那么 acbc .知识点 3:不等式的性质 3不等式的两边都乘(或除以)同一个负 数,不等号的方向改变.即如果 ab,ccb B.bac C.abc D.cab答案:C 点拨：由图可知 3bbc.考点 2:应用不 等式的基本性质求字母的取值范围【例 2】 若关于 x 的不等式(1-a)x2 可化为 x2 可化为 x1.a 的取值范围为 a1.点拨：把不等式 x2 化为 xa 或 xa 或 x5x-4;(4)4-3x4;(6)- +1 .解:(1)不等式两边都减去 12 得-x-2,由不等式的性质 3,得 x5x-4 两边同时减去 2x,得 3x-47(由不等式的性质 1,两
20、边同时加上 3x+3),再由不等式的性质 2,两边同除以 7,得 x1.(5)由 +14,两边同时减去 1,得 3,两边同乘 3,得 x9.(6)对- +1 两边同时乘 6,得-4x+63x-3,再对不等式两边同时加上 4x+3,得 7xa 或 xa 的形式.1第九章 9.2.1 一元一次不等式（一）知识点:解一元一次不等式的方法和步骤1.利用不等式的性质,我们可以把一个较复杂的一元 一次不等式逐步转化为 xa(xa)或x + 的正整数解.解:去分母,得 3(2-3x)-3(x-5)2(-4x+1)+8,去括号,得 6-9x-3x+15-8x+2+8,移项,合并同类项,得-4x-11 ,系数化
21、为 1,得 x .因为小于 的正整数有 1,2 两个,所以这个不等式的正整数解是 1,2.点拨：求不等式的特殊解时,应先求出不等式的解集,然后在解集中确定符合要求的特殊解.2考点 2:方程(组)解的讨论【例 2】 若关于 x 的方程 x- = 的解是非负数,求 m 的取值范围.解:解关于 x 的方程 x- = ,去分母,得 2x- =2-x,去括号,得 2x-x+m=2-x,移项、合并同类项,得 2x=2-m,系数化为 1,得 x= .因为 x0,所以 0,即 2-m0,所以 m2.点拨：首先解方程,用含 m 的代数式表示出 x,再根据解是非负数得 x0,从而列出关于 m 的不等式,求出其取值
22、范围. 1第九章 9.2.2 一元一次不等式（二）知识点:应用不等式解决实际 问题解不等式 应用题通常采用解方程应用题的解题过程,即在审题过程中 寻找能体现全题的不等关系,建立不等式,然后准确地解不等式.有些问题,往往是先求出取值范围,然后取符合范围的解,其关键还是建立不等式模型.注意:解决不等式应用题的关键是建立不等式 模型,列不等式时我们要注意不等号是否取到等号.考点 :利用不等式的特殊解 来设计方案【例】 某物流公司要将 300 t 物资运往某地,现有 A、B 两种型号的车可供调用,已知 A 型车每辆可 装 20 t,B 型车每辆可装 15 t,在每辆车不超载的条件下,把 300 t 物
23、资装运完,问:在已确定调用 5 辆 A 型车的前提下至少还需调用 B 型车多少辆?解:设还需调用 B 型车 x 辆,根据题意,得 205+15x300,解得 x13 .由于 x 是车的数 量,应为整数,所以 x 的最小值为 14.答:至少需要 14 辆 B 型车.点拨：本 题有一个不等关系,那就是 A、B 两种型号的车总共装运的物资的吨数必须不少于 300 t,根据这个不等关系,列出一个一元一次不等 式,求出调用 B 型 车辆数的范围,最后根据车的辆数必须为整数,讨论出 B 型车至少需要的辆数.1第九章 9.3 一元一次不等式组知识点 1:一元一次不等式组的概念一般地,由几个含有同一未知数的一
24、元一次不等式所组成的一组不等式叫做一元一次不等 式组.对于一元一次不等式组的概念,应抓住以下几点:(1)组成不等式组的不等式必须是含有同一未知数的不等式;(2)每一个不等式必须是一元一次不等式;(3) 组成不等式组的不等式的个数必须是两个或两个以上.知识点 2:一元 一次不等式组的解集表示(重难点)一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集,如果这些不等式的解集无公共部分,就说这个不等式组无解.几个不等式解集的公共部分,通常是利用数轴来确定的.一元一次不等式组 解集 图示 语言表达(ab 同大取大(a- ;解不等式,得 x4.所以不等式组的解集为- 0,m-2a,得 x
25、a-1.将不等式组的解集在数轴上表示如图:不等式组有解,a-12, 解得 a3.故选 B.1第五章 5.1.1 相交线知识点 1:相交线当两条直线有且只有一个公共点时,则称这两条直线相交,如图.知 识点 2：邻补角1. 定义:两条直线相交所得的四个角中,有一条公共边,另一边互为反向延长线的两个角是邻补角.如图,1 和2 有一条公共边 OA,它们的另一边互为反向延长线,具有这种关系的两个角,称互为邻补角.2. 性质:如果 1 和2 是一对邻补角,那么1+2=180.注意：(1)判定两个角是否为邻补角,关键是看这两个角的两边是否满足“其中一边是公共边,另一边互为反向延长线”的条件.(2)邻补角 是
26、 成对的,包含了两层含义:是位置关系:相邻;是数量关系:两角之和等于180.(3)邻补角也可以看作是一条直线与端点在这条直线上的一条射线组成的两个角.(4)注意邻补角和补角的区别:邻补角一定互补,但互补的两个角不一定是邻补角.因为邻补角既相邻又互补,但互补的两个角不管其位置如何,只要它们的和为 180就是一对互补的角.知识点 3：对顶角1. 定义:两个角,如果它们有一个公共的顶点,并且角的两边互为反向延长线,那么它们就互为对顶角.如图,1 和3,2 和4 互为对顶角.22. 性质:对顶角相等.注意:(1)判断两角是否为对顶角,要抓住它的特征:有公共顶点;两个角的两边互为反向延长线.(2)对顶角
27、是成对出现的,单独一个角不能构成对顶角.(3)互 为对顶角的两个角相等,但相等的两个角不一定是对顶角. 考点 1:利用对顶角、邻补 角建立起角度之间的联系【例 1】 如图,直线 AB,CD,EF 相交于点 O,AOE=30,BOC=2AOC,求DOF 的度数.解:设AOC=x,则BOC=2x.由邻补角的定义得 2x+x=180.解之,得 x=60.AOC =60.EOC= AOC-AOE=60-30=30.DOF=EOC=30.点拨：EOC 与DOF 互为对顶角,因此要求DOF 的度数只需求出EOC 的度数.由已知BOC=2AOC 且BOC 与AOC 互为邻补角,从而可求出BOC 和AOC 的
28、度数,再由EOC 的度数等于AOC 和AOE 的度数之差,且AOE 的度数已知,不难求出EOC 的度数.考点 2:角度计算问题常见解题思路【例 2】 如图,直线 AB,CD 相交于点 O,OE 平分BOD,OF 平分COE,AOD BOE=41,求AOF 的度数.3解:方法一:由已知可设AOD=4x,BOE=x.OE 平分BOD,BOD=2BOE=2x.AOD + BOD=180,4x+2x=180,解得 x=30,BOE=30,AOD=120,COE=150.OF平分COE,EOF=COE=75,BOF=EOF-BOE=45,AOF=180-BOF= 135.方法二:OE 平分BOD,DOE
29、=BOE.AODBOE=41,设AOD=4x,则BOE=DOE=x.点 O 在直线 AB 上,AOD+BOD=180,4x+x+x=180,解得 x=30.DOE=30,BOD=60,COE=180-DOE=150,AOC=BOD=60.OF 平分COE,COF=COE=75,AOF=AOC+COF=60+75=135.点拨：由于AOF=AOC+COF,因此求AOF 的度数可以转化为求AOC 的度数和COF 的度数.由于AOC=BOD,COF=COE,因此求出BOD 的度数和COE 的度数是解题的关键.1第五章 5.1.2 垂线知识点 1：垂直的定义1. 垂直:直线 a,b 相交于点 O(如图
30、),当有一个夹角为 90时,称直线 a,b 互相垂直,记作 ab或 ba.在 图中我们用作为表示两条直线互相垂直的标识 ,它们相交的交点 O 叫做垂足.日常生活中,如墙角、黑板、窗框、书边、课桌等都给我们垂直的形象.2. 垂线段:过直线外一点作已知直线的垂线,这点和垂足之间的线段叫做这条直线的垂线段.如图,过直线 l 外一点 P,作 PO直线 l,垂足为 O,则线段 OP 叫做点 P 到直线 l 的垂线段.知识点 2：垂线的画法1. 垂线的画法:过一点画已知直线的垂线,这是我们必须掌握的基本作图之一.那么如何才能画出呢?具体地说来,可以有下面的三种方法:(1)利用三角板;(2)利用量角器;(3
31、)利用直尺和圆规.运用(1)或(2)两种工具作图时可以按下面的步骤操作:一贴:将三角板的一条直角边紧贴于已知直线(或是将量角器的 0线与已知直线重合);二过:使三角板的另一直角边经过已知点(或是使量角器的 90线经过这一点);三画:沿着已知点所在的这条直角边画出所求直线(或者是沿量角器 90线所在直线画出).如图所画的 PQ 就是直线 AB 的垂线.22. 点到直线的距离:直线外一点到这条直线垂线段的长度,叫做点到直线的距离,在上图中,PQ的长度就是点 P 到直线 AB 的距离.注意：(1)垂线、垂线段的垂足 都要作垂直符号;(2)垂线段和表示距离的线段要画出端点,而垂线则可向两方延伸;(3)
32、作线段(射线)的垂线时,如果垂足在其延长线(反向延长线)上,则应将其延长(或反向延长),并且用虚线表示.知识点 3：垂线的性质性质(1):在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.这里的“过一点”的点既可以在直线上,也可以在直线外;“有”表 示存在,“只有 ”则表示唯一,意思是说,肯定有一 条并且不能多于一条.性质(2):连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短.简单的说成:垂线段最短.考点 1:利用垂直定义求角度的大小【例 1】 如图所示,直线 AB 与 CD 相交于点 O,OEAB 于点 O,EODBOD=31,求COE 的度数.解:OEAB,EOB=AOE=90.EO
33、DDOB=31,BOD= EOB= 90=22.5.又AOC=BOD=22.5,COE=AOC+AOE,3COE=2 2.5+90=112.5.点拨：垂直是两条直线的位置关系,而 90是一个角的大小,垂直定义建立起两直线垂直与90的角之间的联系.由于COE=AOC+AOE,AOE=90,因此只需求出AOC 即可,又因为AOC=BOD,故将求AOC 的度数转化成求BOD 的度数,又由于EODBOD=31,EOD+BOD=90,从而可求出BOD 的度数.考点 2:垂线段与点到直线的距离的应用【例 2】 点 P 为直线 m 外一点,点 A,B,C 为直线 m 上三点,PA=4 cm,PB=5 cm,
34、PC=2 cm,则点 P到直线 m 的距离( )A.为 4 cm B.为 2 cm C.小于 2 cm D.不大于 2 cm答案:D 点拨：点到直线的距离是指这个点到直线的垂线段的长 度,虽然垂线段最短,但是在 PA,PB,PC中并没有说明 PC 是垂线段 ,所以垂线段的长可能小于 2 cm,也可能等于 2 cm.考点 3:垂线段与点到直线的距离的应用【例 3】 如图, 点 A 表示小明家,点 B 表示小明的外婆家,若小明先去外婆家拿渔具,然后再去河边钓鱼,怎样走路最短?请画出行走路线.解:如图,连接 AB,作 BM 垂直河边于点 M.折线 A-B-M 即为所求.点拨：从点 A 到点 B 的最
35、短路线是线段 AB,理由是“两点之间,线段最短”;从点 B 到河边的最短路线是点 B 到河边的垂线段,理由是“垂线段最短”.1第五章 5.1.3 同位角、内错角、同旁内角知识点 1:同位角两条直线被第三条直线所截,得到的八个角中,若两个角都 在两条直线的同一方,又在第三条直线的 同侧,则这样的两个角是同位角,如图中的1 和2 就是同位角.描出1 和2 的两条边,可以发现描出的图形好像是大写字母 F.由图可以观察出:1 和2 各有一条边在同一条直线上,这条直线就是第三条直线,1 和2的 另一条边分别在另外两条直线上.知识点 2:内错角两条直线被第三条直线所截,得到的八个角中,若两个角夹在两条直线
36、之间,又在第三条直线的两侧,则这样的两个角是内错角,如图中的1 和2 就是内错角.描出1 和2 的两条边,可以发现描出的图形好像是大写字母 Z.知识点 3:同旁内角两条直线被第三条直线所截 ,得到的八个角中,若两个角都在两 条 直线之间,又在第三条直线的同旁,则这样的两个角是同旁内角,如图中的1 和2 就是同旁内角.描出1 和2 的两条边,可以发现描出的 图形构成任意旋转的“U”形.2注意：为了便于记忆,同学们还可仿照图中用双手表示“三线八角”(两大拇指所在直线代表被截直线,食指所在直线 代表截线).考点 1:从复杂的图形中分离出同位角、内错角、同旁内角【例 1】 如图所示,1 和E,2 和3
37、,3 和E 各是什么位置关系的角?它们分别是哪两条直线被哪一条直线所截得到的?解:1 和E 是直线 AD,EC 被直线 BE 所截得到的同位角, 2 和3 是直线 AD,EC 被直线 AC所截得到的内错角,3 和E 是直线 AC,AE 被直线 EC 所截得到的 同旁内角.考点 2:确定图形中已知角的同位角、内错 角、同旁内角【例 2】 如图,试找出图中1 的所有同位角.解:1 的同位角有GDC,GEB,EBH、DCH.点拨：当把直线 AG 看作第三条直线时,只需再找一条与 AG 相交的直线(如直线 DC)构成“三线八角”基本图形,得到1 的同位角(如GDC);照此方法可使问题得解.1第五章 5
38、.2.1 平行线知识 1：平行线1. 平行的定义:同一平面内不相交的两条直线叫做平行线.如图,AB 与 CD 平行,记作 ABCD,读作 AB 平行于 CD.生活中平行 线的形象是很常见的.比如,两平行的铁轨、黑板平面相对 的两边、数学本子中平行的格子线、立方体相对的棱长平行线的 定义包含三层意思:(1)“在同一平面内”是定义的前提条件,是区别于空间内两条不相交的直线;(2)“不相交的两条直线”是平行线的特征;(3)通常所说的线段、射线平行,实际上是指它们所在的直线平行.2. 两直线的位置关系同一平面内两条直线只有两种位置关系:平行或者相交.判断同一平面内两直线的位置关系时,可以根据它们的公共
39、点的个数来判断:(1)有且只有一个公共点,则两直线相交;(2)无公共点,则两直线平行;(3)有两 个或两个以上公共点,则两直线重合(因为两点确定一条 直线).注意：理解平行线的定义要注意两点:(1)在同一平面内;(2)不相交.特别要注意:互相平行的两条直线没有公共点,但没有公共点的 两 条直线不一定平行 ;通常所说的线段与线段平行、射线与射线平行指的是它们所在的直线平行.知识点 2:平行公理及其推论1平行公理：经过直线外一点,有且只有 一条直线与已知直线平行.注意把握“有且只有”的含义,它包含两层含义:“有”“存在性”即存在一条与已知直线平行的直线;“只有”“唯一性”即与已知直线平行的直线是唯
40、一的.2推论(平行线的传递性)如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.2即:如果 ab,cb,那么 ac.知识点 3:平行线的画法平行线的画法是几何画图的基本技能之一,方法为:一“落”(三角板的一边落在已知直线上);二“靠”(用直尺紧靠在三角板的另一边);三“移”(沿直尺移动三角板,直到落在已知直线上的三角板的一边经过已知点);四“画”(沿三角板过已知点的边画直线).如图.考点 1:相交与平行的综合应用【例 1】 在同一平面内有三条直线,它们之间的位置 关系共有几种情形?试画图说明.解:共有 4 种情形,如图所示.点拨：由平行线的概念可知,在同一平面内,不相交的两条直线是平行
41、线,也就是说:在同一平面内,两条直线的位置关系有两种:平行和相交.考点 2:利用定义和公理的推论证明平行【例 2】 已知直线 ab,bc,cd,则 a 与 d 的位置关系是什么?请说明理由 .解:ad.理由:ab,bc,ac.cd,ad.点拨：由 ab,bc,可知直线 a、c 都平行于直线 b,根据平行于同一直线的两条直线互相平行可知 ac;又由 cd,可得 ad.1第五章 5.2.2 平行线的判定知识点 1:同位角相等,两直线平行两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行.简单地说,同位角相等,两直线平行.注意:(1)“同位角相等两直线平行”,这个顺序不能乱;(2)“同位角
42、相等,两直 线平行”通过两个角的相等推导出两直线的位置关系(平行),建立起角度大小关系与两直线位置关系之间的 联系.知识点 2:内错角相等,两直线平行两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行.简单地说:内错角相等,两直线平行.知识点 3:同旁内角互补,两直线平行两条直线被第三条直线 所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行.简单地说:同旁内角互补,两直线平行.考点 1:道路拐弯中的角度问题【例 1】 一学员在广场上驾驶汽车,两次拐弯后,行驶的方向与原来的方向相同,这两次拐弯的角度可能是( )A.先向左拐 30,再向右拐 30 B.先向右拐 50,再向 左拐 30C.先向左
43、拐 50,再向右拐 130 D.先向右拐 50,再向左拐 130答案:A点拨：逐一画图分 析,如分析选项 A,如图,学员沿 DC 驾驶汽车,先向左拐 30,即1=30,至 CA 行驶,然后向右拐 30,即 2=30,因为1=2,且1 与2 是同位角,所以 DCAB,且 AB 与 DC 方向相同.故 A 正确,同理可分析 B、C、D 均不正确.2考点 2:平行线判定的综 合应用【例 2】 如图,已知直 线 a、b、c、d、e, 且1=2,3+4=180,则 a 与 c 平行吗?请说明理由.解:平行.理由:1=2(已知),ab(内错角相等,两直线平行),3+4=180(已知),bc(同旁内角互补,
44、两直线平行).ac.点拨：由1=2 可得 ab,由3+4=180可得 bc,所以 ac.考点 3:角平分线与平行的综合应用【例 3】 如图所示,已知 BE 平分ABC,CF 平分BCD,1=2,那么直线 AB 与 CD 的位置关系如何?并说明理由.解:ABCD .理由:BE 平分ABC ,ABC=21.CF 平分BCD, BCD=22.1=2,ABC=BCD,ABCD.点拨：根据两条角平分线及1=2 可推得ABC=BCD,它们是直线 AB、CD 被 BC 所截而得的内错角,所以 ABCD.1第五章 5.3.1 平行线的性质知识点 1:平行线的性质 1两条平行线被第三条直线所截,同位角相等.知识
45、点 2:平行线的性质 2两条平行线被第三条直线所截,内错角相等.知识点 3:平行线的性质 3两条平行线被第三条直线所截,同旁内角互补.注意：(1)同位角相等、内错 角相等和同旁内角互补是由平行线的性质所得的结论,所以它们成立的前提是“两直线平行”.(2)要注 意正确区分平行线的性质与判定,由角的数量关系得到两条直线平行,是平行线的判定;由两 条直线平 行得到角的 数量关系 ,是平行线的性质.(3)要特别注意没有 两条直线平行这个条件,同位角和内错角不相等,同旁内角也不互补.考点 1:探索平行 线中的拐角【例 1】 如图,ABDE,则BCD、B、D 之间的数量关系如何,为什么?解:BCD=B-D
46、.理由:如图,过点 C 作 CFAB.CFAB,B=BCF(两直线平行,内错角相等).ABDE,CFDE,DCF=D(两直线平行,内错角相等),B-D=BCF-DCF.2BCD=BCF-DCF ,BCD=B-D.点拨:作辅助线构造内错角是解决此题的关键.提升点 2:平行线性质的应用【例 2】 如图,已知 l1l 2,ABC=120,l 1AB,求 的度数.解答:如图,过点 B 作 l3l 1. l 1AB(已知), l 3AB(两直线平行,同位角相等). =90(垂直的定义). ABC=120(已知), =120-90=30 .又 l 3 l1,l1l 2(已知), l3l 2(平行公理推论)
47、. =30(两直线平行,同位角相等).点拨:平行线有一个非常重要的作用,就是角的传递,在本题中虽然知道 l1l 2,但却与ABC 无法建立联系,因此我们可以过点 B 作一条与 l1平行的直线 l3,根据“平行于同一条直线的两条直线平行”的性质可得到 l3l 2,进而可以建立起ABC 与 的联系.注意：本题辅助线的作法还可以叙述为:过点 B 作 l3AB.适当添加辅助线是解数学题的重要手段.这里过直线外一点作已知直线的平行线,是常用的辅助线之一.辅助线在解题过程中起铺路架桥的作用,有化难为易之功效,是解数学图形题常用的技巧.作辅助线要注意作法的叙述,辅助线要画成虚线.1第五章 5.3.2 命题、
48、定 理、证明知识点 1：命题判断一件事情的语句,叫命题.它必须对某件事情作出判断,要么肯定,要么否定,而像“你回家了吗”“画 ABCD”等等就不 是命题.知识点 2：命题的组成命题都是由题设和结论两部分组成,题设是已知 事项,结 论是由已知事项推出的事项.它通常可以写成“如果那么”的形式,“如果”后面接的是题设,“那么”后面接 的是结论.如果一个命题是正确的,那么它就是真命题,反之就是假命题.知识点 3：定理经过推 理证实而得到的真命题 叫做定理.注意:理解命题的概念时要 注意两点:(1)命题必须是一个完整的句子;(2)这个句子必须对某件事情给出明确的判断(如肯定或否定的判断).知识点 4：证
49、明一 个命题的正确性需要经过推理,才能作出判断 ,这个推理的过程叫做证明.考点 1:如果那么【例 1】 把下列命题改写成“如果那 么”的形式.(1)同位角相等;(2)等角的补角相等.解:(1)如果两个角是同位角,那么这两个角相等.(2)如果两个角是相等的角 ,那么这两个角的补角相等.考点 2:举反例【例 2】 请判断命题“若 a,b 互为相反数,则 ab”是真命题还是假命题?如果是假命题,举出反例说明.2解:假命题.因为 0 的相反数是 0,而 0=0,所以此命题是假命题.点拨举反 例是说明一个命题是假命题常用的方法,所列举的反例满足命题的题设部分,不满足命题的结论即可.考点 3：利用辅助线进
50、行证明【例 3】 如图,ABCD.AF、CF 分别是EAB、ECD 的角平分线,F 是两条角平分线的交点.求证:F= AEC.解:如图,过点 E 作 EMAB,过点 F 作 FNAB, ABCD, EMCD. MEA=BAE,MEC=DCE. MEA+MEC=BAE+DCE,即 AEC=BAE+DCE.同理可得AFC=BAF+DCF. AF、CF 分别是EAB、ECD 的平分线, BAF= BAE,DCF= DCE. AFC= BAE+ DCE. AFC= AEC,即 F= AEC.点拨:作辅助线,可以探究:AEC 与BAE 及DCE 之间的关系,结合角的平分线的性质,可以探究出F 与AEC 之间的关系.
