1、17.1 正切课题 7.1 正切 自主 空间学习目标知识与技能：1.理解正切的概念，能通过画图求出一个角的正切的近似值。能运用正切解决与直角三角形有关的简单问题。过程与方法：1.经历探索表示物体倾斜程度，形成正切的概念的过程，练就创造性解决问题的能力。学习重点 理解并掌握正切的含义，会在直角三角形中求出某个锐角的正切值。学习难点 计算一个锐角的正切值的方法。教学流程预习导航观察回答：如图某体育馆，为了方便不同需求的观众设计了多种形式的台阶。下列图中的两个台阶哪个更陡？你是怎么判断的？图（1） 图（2）点拨可将这两个台阶抽象地看成两个三角形答：图 的台阶更陡，理由 2合作探究一、新知探究：1、思
2、考与探索一：除了用台阶的倾斜角度大小外，还可以如何描述台阶的倾斜程度呢？可通过测量 BC 与 AC 的长度，再算出它们的比，来说明台阶的倾斜程度。（思考：BC 与 AC 长度的比与台阶的倾斜程度有何关系？）答：_.讨论：你还可以用其它什么方法？能说出你的理由吗？答：_.2、思考与探索二：（1）如图，一般地，如果锐角 A 的大小已确定，我们可以作出无数个相似的 RtAB1C1，RtAB 2C2，RtAB3C3，那么有：RtAB 1C1_根据相似三角形的性质，得： _1AB（2）由上可知：如果直角三角形的一个锐角的大小已确定，那么这个锐角的对边与这个角的邻边的比值也_。3、正切的定义如图，在 Rt
3、ABC 中，C90，a、b 分别是A 的对边和邻边。我们将A 的对边 a 与邻边 b 的比叫做A_，记作_。即：tanA_4（你能写出B 的正切表达式吗？）试试看.4思考：当锐角 越来越大时， 的正切值有什么变化？ 二例题分析：例 1：某楼梯的踏板宽为 30cm，一个台阶的高度为 15cm，求楼梯倾斜角的正切值。如图，在 RtABC 中，C=90，AB=5，BC= 4 ，求 tanA 与 tanB 的值.如图，在 RtABC 中，C=90，BC=12，tanA= 求 AB 的值。例 2：在在 RtABC 中，ACB=90，CD 是 AB 边上的高，tanA= = ；tanB= = ；tanAC
4、D= ；tanBCD= ；三展示交流：1在光的反射中，入射角等于反射角，入射角为1，ACCD，BDCD，且 AC=3，BD=6，CD=11，求 tan12在直角坐标系中，ABC 的三个顶点的坐标分别为 A（4,1） ，B（1，3） ，C（4,3） ，试求 tanB 的值。四、提炼总结：请你说说本节课有哪些收获？O345当堂达标1如图，在ABC 中，CD 是 AB 边上的高，AD=2，AC=3，求 tanA 值2如图，在等腰直角三角形 ABC 中，C=90O，AC=BC，AC=6，D 是 AC上一点，若 tanDBC= 求 AD 的长。1学习反思：17.2 正弦、余弦（一）课题 7.2 正弦、余
5、弦（一）自主空间学习目标知识与技能：理解并掌握正弦、余弦的含义，会在直角三角形中求出某个锐角的正弦和余弦值。过程与方法：能用函数的观点理解正弦、余弦和正切。情感、态度与价值观：通过对正弦、余弦概念的学习感受数学知识的系统性。学习重点理解并掌握正弦、余弦的含义，会在直角三角形中求出某个锐角的正弦和余弦值。学习难点 在直角三角形中求出某个锐角的正弦和余弦值。教学流程预习导航问题 1：如图，小明沿着某斜坡向上行走了 13m 后，他的相对位置升高了 5m，如果他沿着该斜坡行走了 20m，那么他的相对位置升高了多少？行走了 a m 呢？问题 2：在上述问题中，他在水平方向又分别前进了多远？合作探究新知探
6、究：1思考：从上面的两个问题可以看出：当直角三角形的一个锐角的大小已确定时，它的对边与斜边的比值_；它的邻边与斜边的比值_。4（根据是_。 ）2正弦的定义如图，在 RtABC 中，C90，我们把锐角A 的对边 a 与斜边 c 的比叫做A 的_，记作_，即：sinA_=_.3余弦的定义如图，在 RtABC 中，C90,我们把锐角A 的邻边 b 与斜边 c 的比叫做A 的_，记作=_，即：cosA=_=_。（你能写出B 的正弦、余弦的表达式吗？）试试看_.4怎样计算任意一个锐角的正弦值和余弦值呢？（1）如书 P42 图 78，当小明沿着 15的斜坡行走了 1 个单位长度到 P 点时，他的位置在竖直
7、方向升高了约 0.26 个单位长度，在水平方向前进了约 0.97 个单位长度。根据正弦、余弦的定义，可以知道：sin150.26，cos150.97（2）你能根据图形求出 sin30、cos30吗？sin75、cos75呢？sin30_，cos30_.sin75_，cos75_.（3）利用计算器我们可以更快、更精确地求得各个锐角的正弦值和余弦值。（4）观察与思考：从 sin15，sin30，sin75的值，你们得到什么结论？从 cos15，cos30，cos75的值，你们得到什么结论？5当锐角 越来越大时，它的正弦值是怎样变化的？余弦值又是怎样变化的？例题分析： 例：已知：如图，ACB=90,
8、CDAB,垂足为 D.（1） )()(sin BCA（2） D)(i （3） BCDCA)(cos,)(cos （4） )()(tan,)(tan A展示交流：1.根据如图中条件，分别求出下列直角三角形中锐角的正弦、余弦值。2如图，在 RtABC 中，C90，AC12，BC5，则sinA_，cosA_，sinB_，cosB_。13在 RtABC 中，ACBC，C90，求（1）cosA；（2）当 AB4 时，求 BC 的长。4已知在ABC 中，a、b、c 分别为A、B、C 的对边，且a：b：c5：12：13，试求最小角的三角函数值。四、提炼总结：三角函数的实质是直角三角形中边之间的比：斜 边的
9、对 边Asin斜 边的 邻 边Acos当堂达标1.在 RtABC 中，C90，AC ，BC1，则3sinA_，cosB=_,cosA=_,sinB=_.2在 RtABC 中，如果各边长度都扩大 3 倍，则锐角 A 的各个三角函数值（ ）A.不变化 B.扩大 3 倍 C.缩小 D.缩小 3 倍13若 090，则下列说法不正确的是（ ）A、sin 随 的增大而增大 B、cos 随 的增大而减小C、tan 随 的增大而增大 D、sin、cos、tan 的值都随 的增大而增大4在 RtABC 中，C90，tanA ，AB10，求 BC 和 cosB。431学习反思：17.2 正弦、余弦课题 7.2 正
10、弦、余弦（二）自主空间学习目标知识与技能：能够根据直角三角形的边角关系进行计算；过程与方法：能用三角函数的知识根据三角形中已知的边和角求出未知的边和角情感、态度与价值观：在学习中体会数学与生活的联系，培养应用意识。学习重点能根据直角三角形的边角关系进行计算；用函数的观点理解正切，正弦、余弦值。学习难点 用函数的观点理解正切，正弦、余弦值。教学流程预习导航在 RtABC 中，C=90,BC=2,AC=4,则 sinB=_,cosB=_,tanB=_。如图，在 RtABC 中，C=90，AB=10,sinA= ，求 BC、AC。53合作探究一、新知探究：在直角三角形中，知道一边长及一锐角的三角函数
11、值，你能求出其它各边的长和另一锐角的三角函数值吗？例题分析： 小明正在放风筝，风筝线与水平线成 35角时，小明的手离地面 1m，若把放出的风筝线看成一条线段，长 95m，求风筝此时的高度。 （精确到 1m）2（参考数据：sin350.5736，cos350.8192,tan350.7002）三、展示交流：1为了测量河的宽度，在河的一边选定点 C，使它正对着(视线与河岸垂直)河对岸的一棵树 B，沿着点 C 所在的河岸行走 100m，到达A 处，测得CAB35，求河的宽度 BC（精确到 0.1m） （参考数据：sin350.5736，cos350.8192，tan350.7002）2某居民小区有一
12、朝向为正南方向的居民楼,该居民楼的一楼是高6 米的小区超市,超市以上是居民住房.在该楼的前面 15 米处要盖一4栋高 20 米的新楼.当冬季正午的阳光与水平线的夹角为 30时.（1）超市以上的居民住房采光是否有影响,为什么？（2）若要使超市采光不受影响，两楼应相距多少米？四、提炼总结：在直角三角形中，知道一边长及一锐角的三角函数值，就能求出其它各边的长和另一锐角的三角函数值。5当堂达标1在ABC 中，C90，cosB= ,AC10，求ABC 的周长和132斜边 AB 边上的高。2一把梯子靠在一堵墙上，若梯子与地面的夹角是 68，而梯子底部离墙脚 1.5m，求梯子的长度（精确到 0.1m）（参考
13、数据：sin680.9272，cos680.3746，tan682.475）3如图是引拉线固定电线杆的示意图，已知：CDAB，CD3 m，CADCBD60，求拉线 AC 的长。 （精确到 0.1m）（参考数据：sin600.8660，cos600.5000，tan601.732）1学习反思：173 特殊角的三角函数课题 73 特殊角的三角函数自主空间学习目标知识与技能：知道特殊锐角 300、45 0、60 0三角函数值。过程与方法：体会数形结合的数学思想在三角函数中的应用。情感、态度与价值观：引导学生积极投入到探索新知的活动中，从中感受获得新知的乐趣。学习重点 特殊角与其三角函数之间的对应关系
14、。学习难点 利用特殊角的三角函数值进行求值和化简。教学流程预习导航1同学们已经学习了锐角的三角函数，你能分别说出正切、正弦、余弦的定义吗？2. 在 RtABC 中,ACB=90A=30，BC=1,在图中标出 AB、AC 的长并求出：sin30= cos30= tan30= 合作探究一、新知探究：1、利用直角三角形的三边关系求 300、45 0、60 0角的三角函数值，并填在下表中：30 45 60sin 21223cos 312tan 31 3思考：当锐角 变大时，sin 的值变 ， cos 的值变 ， tan 的值变_.二、 例题分析： 例 1：求下列各式的值（1）2sin30 0cos45
15、 0 （2）sin60 0cos600 （3）sin2300+cos2300例 2：求满足下列条件的锐角 ：（1）2sin =0 （2）2 01tan3三、 展示交流：1求下列各式的值（1)tan45sin30cos60 （2） 0045tan26t1si32求满足下列条件的锐角 :(1) cos-2=0 (2) tan（+10 ）= 33在 RtABC 中，C=90,若 sinA= ,则 BCACAB 等于（ 21A125 B.1 C. 1 2 D.1235334已知 为锐角,当 无意义时,求 tan(+15)-tan(-atn1215)的值.5已知：如图，在 RtABC 中,ACB=90,
16、CDAB,垂足为D,BC=2,BD= .分别求出ABC、ACD、BCD 中各锐角.3四、 提炼总结：1、30 0、45 0、60 0三角函数值2、由特殊角的三角函数值确定角的大小4当堂达标1计算下列各式的值.(1)2sin30+3cos60-4tan45 (2) tan30 60sinco45ta2若 sin= ,则锐角 =_.若 2cos=1,则锐角2=_.3若A 是锐角，且 tanA= ,则 cosA=_34在ABC 中，若 tanA=1，sinB= ，则ABC 的形状是（ ）2A等腰三角形 B等腰直角三角形 C直角三角形 D一般锐角三角形5若A=41，则 cosA的大致范围是（ ）A0c
17、osA1 B. cosA 2C. cosA D. cosA1236已知：如图,AC 是ABD 的高,BC=15,BAC=30, DAC=45.求 AD.5.学习反思：17.4 由三角函数值求锐角课题 7.4 由三角函数值求锐角自主空间学习目标知识与技能：会根据锐角的三角函数值，利用科学计算器求锐角的大小。过程与方法：能够运用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题情感、态度与价值观：在学习中体会数学与生活的联系，培养应用意识。学习重点 会根据锐角的三角函数值，利用科学计算器求锐角的大小。学习难点 能够用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题教学流程预习导航1利用计算器求下列各角的正弦、余弦值
18、（精确到 0.01）（1）15 （2）72 （3）5512 （4）22.5合作探究一、新知探究：1.问题：如图，小明沿斜坡 AB 行走了 13cm。他的相对位置升高了5cm，你能知道这个斜坡的倾斜角 A 的大小吗？BCA2根据已知条件，有：sinA= 利用计算器，可以由一个锐角的三角函数值求这个角的大小。依次按键为： 结果显示为 ，得A （精确到 0.01）二、例题分析： 1求满足下列条件的锐角 A（精确到 0.01）（1） （2） （3）41sin2.0cos10tanA2如图，已知秋千吊绳的长度 3.5m，求秋千升高 1m 时，秋千吊绳与竖直方向所成的角度（精确到 0.01）二、 展示交流
19、：1已知 sinA=0.9816，A= ； cosA0.8607，A= ；已知 tanA=0.1890，A= ； tanA56.78，A= 。2判断下列等式是否成立？为什么？(1)sin15+sin25sin40 (2)cos20+cos26=cos46DA BO1C4(3)tan25+tan15tan403如图,工件上有一 V 型槽,测得它的上口宽 20mm,深 19.2mm.求 V 型角(ACB)的大小(结果精确到 10 ).4图中的螺旋形由一系列直角三角形组成.每个三角形都是以点 O为一顶点.(1)求A 0OA1,A 1OA2,A 2OA3,的大小.(2)已知A n-1OAn,是一个小于
20、 200的角,求 n 的值.四、提炼总结：知道三角函数的值，也可以求出角的度数。5当堂达标1根据下列条件求锐角 的大小：(1)sin ； (2)cos ； (3)tan=2323；3(4)sin=0.3957； （5）cos0.7850； (6)tan0.8972；2如图,为了方便行人，市政府在 10m 高的天桥.两端修建了 40m 长的斜道.这条斜道的倾斜角是多少?3如图,物华大厦离小伟家 60m,小伟从自家的窗中眺望大厦,并测得大厦顶部仰角是 45o ,而大厦底部的俯角是37o ,求该大厦的的高度(结果精确到 0.1m).1学习反思：17.5 解直角三角形课题 7.5 解直角三角形 自主空
21、间学习目标了解解直角三角形的概念，能运用直角三角形的角与角(两锐角互余)，边与边(勾股定理)、边与角关系解直角三角形。学习重点了解解直角三角形的概念，能运用直角三角形的角与角(两锐角互余)，边与边(勾股定理)、边与角关系解直角三角形。学习难点运用直角三角形的角与角(两锐角互余)，边与边(勾股定理)、边与角关系解直角三角形。教学流程预习导航如图所示，一棵大树在一次强烈的台风中于地面 10 米处折断倒下，树顶落在离数根 24 米处。问大树在折断之前高多少米? 显然，我们可以利用勾股定理求出折断倒下的部分的长度为 ， 1036 所以，大树在折断之前的高为 36 米。合作探究一、新知探究：1解直角三角
22、形的定义。任何一个三角形都有六个元素，三条边、三个角，在直角三角形中，已知有一个角是直角，我们把利用已知的元素求出末知元素的过程，叫做解直角三角形。像上述的就是由两条直角边这两个元素，利用勾股定理求出斜边的长度，我们还可以利用直角三角形的边角关系求出两个锐角，像这样的过程，就是解直角三角形。2解直角三角形的所需的工具。如图 712，在 RtABC 中，ACB90，其余 5 个元素之间有以下关系：3(1)两锐角互余AB (2)三边满足勾股定理 a2b 2 (3)边与角关系 sinA ，accosAsinB ，tanA ，cotA 。bc ba二、例题分析：例 1：在 RtABC 中，C90，C3
23、0，a=5，解直角三角形。例 2：RtABC 中，C90，a=104，b=20.49，求（1）c 的大小（精确到 0.01）(2) A、B 的大小。例 3：如图 713，圆 O 半径为 10，求圆 O 的内接正五边形ABCDE 的边长（精确到 0.1）4三、展示交流：1、已知：在 RtABC 中，C90，b=2 ，c = 4，3求（1）a ；（2）求B、A2、求半径为 12 的圆的内接正八边形的边长（精确到 0.1）.四、提炼总结当堂达标1、 （09 年广西柳州）如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为 60，看这栋高楼底部的俯角 为 30， 热 气球 与 高 楼 的 水 平
24、距 离 为 66 m， 这 栋 高 楼 有 多 高 ？（ 结 果 精 确到 0.1 m， 参考数据： 73.1）52、 （09 年湖北仙桃）如图所示，小华同学在距离某建筑物 6 米的点 A 处测得广告牌 B 点、C 点的仰角分别为 52和 35，则广告牌的高度 BC 为_米(精确到 0.1 米)(sin350.57，cos350.82，tan350.70；sin520.79，cos520.62，tan521.28)3、 （09 年山东济南）九年级三班小亮同学学习了“测量物体高度”一节课后，他为了测得右图所放风筝的高度，进行了如下操作：（1）在放风筝的点 处安置测倾器，测得风筝 的仰角AC； 6
25、0CBD（2）根据手中剩余线的长度出风筝线 的长度为 70 米；B（3）量出测倾器的高度 米1.5A根据测量数据，计算出风筝的高度 约为 米 （精确到CE0.1 米， ）1.73学习反思：117.6 锐角三角函数的简单应用课题 7.6 锐角三角函数的简单应用（1） 自主空间学习目标通过具体的一些实例，能将实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系。学习重点通过具体的一些实例，能将实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系。学习难点通过具体的一些实例，能将实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系。教学流程预习导航1、在ABC 中，C=90，A=45，则 BC
26、：AC：AB = 。2、在ABC 中，C=90。（1）已知A=30，BC=8cm，求 AB 与 AC 的长；（2）已知A=60，AC= cm，求 AB 与 BC 的长。3一、例题分析：例 1：“五一”节，小明和同学一起到游乐场游玩，游乐场的大型摩天轮的半径为 20m，旋转 1 周需要 12min。小明乘坐最底部的车厢（离地面约 0.5m）开始 1 周的观光，2min 后小明离地面的高度是多少（精确到 0.1m）？ DEABC分析：如图，小明开始在车厢点 B，经过 2min 后到了点 C，点 C离地面的高度就是小明离地面的高度，其实就是 DA 的长度DA= AE - 解：3合作探究合作探究拓展延
27、伸：1、摩天轮启动多长时间后，小明离地面的高度将首次到达 10m？2、小明将有多长时间连续保持在离地面 20m 以上的空中？二、展示交流：1、甲、乙两楼相距 50 米，从乙楼底望甲楼顶仰角为 60，从甲楼顶望乙楼顶俯角为 45，求两楼的高度.(要求画出正确图形后再解答)2、某船向正东航行，在 A 处望见灯塔 C 在东北方向，前进到 B 处望见灯塔 C 在北偏西 30o,又航行了半小时到 D 处，望灯塔 C 恰在西北方向，若船速为每小时 20 海里，求 A、D 两点间的距离。4当堂达标1、如图为了测量某建筑物 AB 的高度，在平地上 C 处测得建筑物顶端 A 的仰角为 30，沿 CB 方向前进
28、12 m 到达 D 处，在 D 处测得建筑物顶端 A 的仰角为 45，则建筑物 AB 的高度等于A6（ 1）m B 6 ( 1) m33C12 ( 1) m D12（ 1）m2、用 分别表示学校、小明家、小红家，已知学校在小，明家的南偏东 ，小红家在小明家正东，小红家在学校北偏25东 ，则 等于（ ）3ABA B C D6053、有人说，数学家就是不用爬树或把树砍倒就能够知道树高的人小敏想知道校园内一棵大树的高（如图） ，他测得 CB=10 米，ACB=50，请你帮他算出树高 AB 约为 米(结果精确到 0.1 米） 14、如图 ，在某建筑物 AC 上，挂着“多彩靖江”的宣传条幅 BC，小明站
29、在点 F 处，看条幅顶端 B，测的仰角为 ，再往条幅方向30前行 20 米到达点 E 处， ，看到条幅顶端 B，测的仰角为 ，求宣6传条幅 BC 的长（小明的身高不计，结果精确到 0.1 米） 学习反思：17.6 锐角三角函数的简单应用课题 7.6 锐角三角函数的简单应用（2）自主空间学习目标进一步掌握解直角三角形的方法，比较熟练的应用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际问题，提高把实际问题转化为数学问题的能力。学习重点进一步掌握解直角三角形的方法，比较熟练的应用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际问题，提高把实际问题转化为数学问题的能力。学习难点进一步掌握解直角三角形的方法，
30、比较熟练的应用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际问题，提高把实际问题转化为数学问题的能力。教学流程预习导航如右图，从下往上看，视线与水 平线的夹角叫仰角，从上往下看，视线 与水平线的夹角叫做俯角。右图中的1 就是 仰角，2 就是俯角。合作探究一、例题讲解：例 2、为了测量停留在空中的气球的高度，小明先站在地面上某点观测气球，测得仰角为 27，然后他向气球方向前进了 50m，此时观测气球，测得仰角为 40。若小明的眼睛离地面 1.6m ，小明如何计算气球的高度呢（精确到 0.01m）x mh mA DB2750m 40C3解：二、展示交流：1如图，为了测量电线杆的高度 AB，在离电线杆
31、 22.7 米的 C 处，用1.20 米的测角仪 CD 测得电线杆顶端 B 的仰角 a22，求电线杆 AB 的高度.2为了测量停留在空中的气球的高度，小明先站在地面上某点处观测气球，测得仰角为 27 度，然后他向气球方向前进了 50 米，此时观测气球，分析：1、由题目可知道，气球的高度就是 CD 的长加上小明的眼睛离地面1.6m2、假设 CD 为 h m，BD 为 x m，在RtADC 和 RtBDC 利用正弦列出两个方程求出4测得仰角 40 度.若他的眼睛离 1.6 米地面 ,他如何计算气球的高度呢?(精确到 0.1 米)?当堂达标1热气球的探测器显示,从热气球看一栋高楼顶部的仰角为 30,看这栋高楼底部的俯角为 60,热气球与高楼的水平距离为 120m,这栋高楼有多高? 2为 50,观察底部 B 的仰角为 45,求旗杆的高度(精确到 0.1m)DA BC13如图，一艘海轮位于灯塔 P 的北偏东 65方向，距离灯塔 80 海里的 A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P 的南偏东 34方向上的 B 处，这时，海轮所在的 B 处距离灯塔 P 有多远？ （精确到 0.01 海里）学习反思：
