1、13 圆周运动一、选择题(15 题为单项选择题，69 题为多项选择题)1如图 1 所示，光滑水平面上，小球 m 在拉力 F 作用下做匀速圆周运动。若小球运动到 P点时，拉力 F 发生变化，下列关于小球运动情况的说法正确的是( )图 1A若拉力突然消失，小球将沿轨迹 Pa 做离心运动B若拉力突然变小，小球将沿轨迹 Pa 做离心运动C若拉力突然变大，小球将沿轨迹 Pb 做离心运动D若拉力突然变小，小球将沿轨迹 Pc 运动答案 A2如图 2 所示，是马戏团中上演的飞车节目，在竖直平面内有半径为 R 的圆轨道。表演者骑着摩托车在圆轨道内做圆周运动。已知人和摩托车的总质量为 m，人以 v1 的速2gR度
2、通过轨道最高点 B，并以 v2 v1的速度通过最低点 A。则在 A、 B 两点轨道对摩托3车的压力大小相差( )图 2A3 mg B4 mg C5 mg D6 mg解析 由题意可知，在 B 点，有 FB mg m ，解之得 FB mg，在 A 点，有FA mg m ，解之得 FA7 mg，所以 A、 B 两点轨道对车的压力大小相差 6mg。故选2项 D 正确。答案 D3如图 3 所示，小物体 P 放在水平圆盘上随圆盘一起转动，下列关于小物体所受摩擦力Ff的叙述正确的是( )图 3A Ff的方向总是指向圆心B圆盘匀速转动时 Ff0C在物体与轴 O 的距离一定的条件下， Ff跟圆盘转动的角速度成正
3、比D在转速一定的条件下， Ff跟物体到轴 O 的距离成正比解析 物体随圆盘转动过程中，如果圆盘匀速转动，则摩擦力指向圆心，如果变速转动，则摩擦力的一个分力充当向心力，另一个分力产生切向加速度，摩擦力不指向圆心，A、B 错误；根据公式 Fn Ff m 2r 可得在物体与轴 O 的距离一定的条件下， Ff跟圆盘转动的角速度的平方成正比，C 错误；因为 2 n，所以 Ff m(2 n)2r，则 Ff跟物体到轴 O 的距离成正比，D 正确。答案 D4质量为 m 的物体随水平传送带一起匀速运动， A 为传送带的终端皮带轮。如图 4 所示，皮带轮半径为 r，要使物体通过终端时能水平抛出，皮带轮的转速至少为
4、( )图 4A. B. C. D.12 gr gr gr gr2解析 要使物体通过终端时能水平抛出，则有 mg ，物体飞出时速度至少为 ，mv2r gr由 v r 2 nr 可得皮带轮的转速至少为 n ，选项 A 正确。12 gr答案 A5如图 5 所示，转动轴垂直于光滑平面，交点 O 的上方 h 处固定细绳的一端，细绳的另一3端拴接一质量为 m 的小球 B，绳长 AB l h，小球可随转动轴转动并在光滑水平面上做匀速圆周运动。要使球不离开水平面，转动轴的转速的最大值是( )图 5A. B C. D212 gh gh 12 gl lg解析 对小球，在水平方向有 FTsin m 2R4 2mn2
5、R，在竖直方向有 FTcos FN mg，且 R htan lsin ，当球即将离开水平面时， FN0，转速 n 有最大值，联立解得 n ，则 A 正确。12 glcos 12 gh答案 A6铁路转弯处的弯道半径 r 是根据地形决定的。弯道处要求外轨比内轨高，其内、外轨高度差 h 的设计不仅与 r 有关。还与火车在弯道上的行驶速度 v 有关。下列说法正确的是( )A速率 v 一定时， r 越小，要求 h 越大B速率 v 一定时， r 越大，要求 h 越大C半径 r 一定时， v 越小，要求 h 越大D半径 r 一定时， v 越大，要求 h 越大解析 火车转弯时，圆周平面在水平面内，火车以设计速
6、率行驶时，向心力刚好由重力G 与轨道支持力 FN的合力来提供，如图所示，则有 mgtan ，且 tan sin mv2r ，其中 L 为轨间距，是定值，有 mg ，通过分析可知 A、D 正确。hL hL mv2r4答案 AD7如图 6 所示，质量为 m 的物体，沿着半径为 R 的半球形金属壳内壁滑下，半球形金属壳竖直固定放置，开口向上，滑到最低点时速度大小为 v，若物体与球壳之间的动摩擦因数为 ，则物体在最低点时，下列说法正确的是( )图 6A受到的向心力为 mg mv2RB受到的摩擦力为 mv2RC受到的摩擦力为 (mg m )v2RD受到的合力方向斜向左上方解析 物体在最低点做圆周运动，则
7、有 FN mg m ，解得 FN mg m ，故物体受到v2R v2R的滑动摩擦力 Ff F N (mg m )，A、B 错误，C 正确；物体受到竖直向下的重力、v2R水平向左的摩擦力和竖直向上的支持力(支持力大于重力)，故物体所受的合力斜向左上方，D 正确。答案 CD8(2018宜昌联考)如图 7 所示，半径为 R 的光滑细圆环轨道被固定在竖直平面上，轨道正上方和正下方分别有质量为 2m 和 m 的静止小球 A、 B，它们由长为 2R 的轻杆固定连接，圆环轨道内壁开有环形小槽，可使细杆无摩擦、无障碍地绕其中心点转动。今对上方小球 A 施加微小扰动。两球开始运动后，下列说法正确的是( )图 7
8、5A轻杆转到水平位置时两球的加速度大小相等B轻杆转到竖直位置时两球的加速度大小不相等C运动过程中 A 球速度的最大值为4gR3D当 A 球运动到最低点时，两小球对轨道作用力的合力大小为 mg133解析 两球做圆周运动，在任意位置角速度相等，则线速度和向心加速度大小相等，选项 A 正确，B 错误； A、 B 球组成的系统机械能守恒，当系统重力势能最小(即 A 为最低点)时，线速度最大，则 mg2R 3mv2，最大速度 v ，选项 C 正确； A 在最低12 4gR3点时，分别对 A、 B 受力分析， FNA2 mg2 m ， FNB mg m ，则 FNA FNB ，选v2R v2R 13mg3
9、项 D 正确。答案 ACD9如图 8 所示，一个固定在竖直平面上的光滑半圆形管道，管道里有一个直径略小于管道内径的小球，小球在管道内做圆周运动，从 B 点脱离后做平抛运动，经过 0.3 s 后又恰好垂直与倾角为 45的斜面相碰。已知半圆形管道的半径 R1 m，小球可看做质点且其质量为 m1 kg， g 取 10 m/s2。则( )图 8A小球在斜面上的相碰点 C 与 B 点的水平距离是 0.9 mB小球在斜面上的相碰点 C 与 B 点的水平距离是 1.9 mC小球经过管道的 B 点时，受到管道的作用力 FNB的大小是 1 ND小球经过管道的 B 点时，受到管道的作用力 FNB的大小是 2 N解
10、析 根据平抛运动的规律，小球在 C 点的竖直分速度 vy gt3 m/s，水平分速度vx vytan 453 m/s，则 B 点与 C 点的水平距离为 x vxt0.9 m，选项 A 正确，B错误；在 B 点设管道对小球的作用力方向向下，根据牛顿第二定律，有FNB mg m ， vB vx3 m/s，解得 FNB1 N，负号表示管道对小球的作用力方向向上，选项 C 正确，D 错误。答案 AC6二、非选择题10如图 9 所示，内壁光滑的弯曲钢管固定在天花板上，一根结实的细绳穿过钢管，两端分别拴着一个小球 A 和 B。小球 A 和 B 的质量之比 。当小球 A 在水平面内做匀速mAmB 12圆周运
11、动时，小球 A 到管口的绳长为 l，此时小球 B 恰好处于平衡状态。管子的内径粗细不计，重力加速度为 g。试求：图 9(1)拴着小球 A 的细绳与竖直方向的夹角 ；(2)小球 A 转动的周期。解析 (1)设细绳的拉力为 F，小球 B 处于平衡状态有F mBg在竖直方向上，小球 A 处于平衡状态，有 Fcos mAg解得 cos mAmB 12所以拴着小球 A 的细绳与竖直方向的夹角 60(2)对于小球 A，细绳拉力的水平分量提供圆周运动的向心力，有Fsin mAv2rr lsin 解得小球 A 的线速度为 v32gl又 T2 rv则小球 A 转动的周期 T 。2lg答案 (1)60 (2)2l
12、g11(2018湖南怀化三模)某高速公路的一个出口路段如图 10 所示，情景简化：轿车从出口 A 进入匝道，先匀减速直线通过下坡路段至 B 点(通过 B 点前后速率不变)，再匀速率通过水平圆弧路段至 C 点，最后从 C 点沿平直路段匀减速到 D 点停下。已知轿车在 A 点的速度 v072 km/h， AB 长 L1150 m； BC 为四分之一水平圆弧段，限速(允许通过的7最大速度) v36 km/h，轮胎与 BC 段路面间的动摩擦因数 0.5，最大静摩擦力可认为等于滑动摩擦力， CD 段为平直路段，长为 L250 m，重力加速度 g 取 10 m/s2。图 10(1)若轿车到达 B 点速度刚
13、好为 v36 km/h，求轿车在 AB 下坡段加速度的大小；(2)为保证行车安全，车轮不打滑，求水平圆弧段 BC 半径 R 的最小值；(3)轿车从 A 点到 D 点全程的最短时间。解析 (1) v072 km/h20 m/s， AB 长 L1150 m， v36 km/h10 m/s，对 AB 段匀减速直线运动有 v2 v 2 aL1，代入数据解得 a1 m/s 2。20(2)汽车在 BC 段做圆周运动，静摩擦力提供向心力，有 Ff m ，为了确保安全，则须v2R满足 Ff mg ，解得 R20 m，即 Rmin20 m。(3)设 AB 段时间为 t1， BC 段时间为 t2， CD 段时间为
14、 t3，全程所用最短时间为 t。L1 t1 ，而 R vt2，v0 v2 12L2 t3， t t1 t2 t3，解得 t23.14 s。v2答案 (1)1 m/s 2 (2)20 m (3)23.14 s12如图 11 所示，固定的水平桌面上有一水平轻弹簧，右端固定在 a 点，弹簧处于自然状态时其左端位于 b 点。桌面左侧有一竖直放置且半径 R0.5 m 的光滑半圆轨道 MN， MN为竖直直径。用质量 m0.2 kg 的小物块(视为质点)将弹簧缓慢压缩到 c 点，释放后从弹簧恢复原长过 b 点开始小物块在水平桌面上的位移与时间的关系为 x7 t2 t2(m)。小物块在 N 点进入光滑半圆轨道
15、，恰好能从 M 点飞出，飞出后落至水平桌面上的 d 点。取重力加速度 g10 m/s 2，弹簧始终在弹性限度内，不计空气阻力，求：图 11(1)d、 N 两点间的距离；8(2)b、 N 两点间的距离；(3)物块在 N 点时对半圆轨道的压力。解析 (1)由物块恰好从 M 点飞出知，在 M 点物块的重力恰好完全提供向心力，设其速度为 vM，则 mg mvM m/s5物块由 M 点水平飞出后，以初速度 vM做平抛运动。水平方向： xdN vMt竖直方向： y2 R gt212代入数据解得 xdN1 m(2)从 N 到 M，由机械能守恒定律得mv 2 mgR mv12 2M 12 2N解得 vN5 m/s物块在 bN 段做匀减速运动，由 x7 t2 t2(m)知初速度 v07 m/s，加速度 a4 m/s 2由 v v 2 axbN，得 xbN3 m2N 20(3)物块在 N 点时，设半圆轨道对物块的支持力为 FN，由牛顿第二定律得 FN mg m解得 FN12 N由牛顿第三定律得物块在 N 点对半圆轨道的压力大小为 12 N，方向竖直向下。答案 (1)1 m (2)3 m (3)12 N 方向竖直向下
