1、1第 1 讲 机械振动一、简谐运动1.简谐运动(1)定义：如果质点所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，质点的运动就是简谐运动.(2)平衡位置：物体在振动过程中回复力为零的位置.(3)回复力定义：使物体返回到平衡位置的力.方向：总是指向平衡位置.来源：属于效果力，可以是某一个力，也可以是几个力的合力或某个力的分力.2.简谐运动的两种模型模型 弹簧振子 单摆示意图简谐运动条件弹簧质量要忽略无摩擦等阻力在弹簧弹性限度内摆线为不可伸缩的轻细线无空气阻力等最大摆角小于等于 5回复力 弹簧的弹力提供摆球重力沿与摆线垂直方向(即切向)的分力平衡位置弹簧处于原长处 最低点周期 与振
2、幅无关T2Lg能量转化弹性势能与动能的相互转化，机械能守恒重力势能与动能的相互转化，机械能守恒2自测 1 (多选)关于简谐运动的理解，下列说法中正确的是( )A.简谐运动是匀变速运动B.周期、频率是表征物体做简谐运动快慢程度的物理量C.简谐运动的回复力可以是恒力D.弹簧振子每次经过平衡位置时，位移为零、动能最大E.单摆在任何情况下的运动都是简谐运动答案 BD二、简谐运动的公式和图象1.表达式(1)动力学表达式： F kx，其中“”表示回复力与位移的方向相反.(2)运动学表达式： x Asin(t 0)，其中 A 代表振幅， 2 f 代表简谐运动的快慢，t 0代表简谐运动的相位， 0叫做初相.2
3、.图象(1)从平衡位置开始计时，函数表达式为 x Asin t ，图象如图 1 甲所示.(2)从最大位移处开始计时，函数表达式为 x Acos t ，图象如图乙所示.图 1自测 2 有一弹簧振子，振幅为 0.8 cm，周期为 0.5 s，初始时具有负方向的最大加速度，则它的振动方程是( )A.x810 3 sin m(4 t 2)B.x810 3 sin m(4 t 2)C.x810 1 sin m( t32)D.x810 1 sin m( 4t 2)答案 A解析 振幅 A0.8 cm810 3 m， 4 rad/s.由题知初始时(即 t0 时)振子2T在正向最大位移处，即 sin 01，得
4、0 ，故振子做简谐运动的振动方程为： 23x810 3 sin m，选项 A 正确.(4 t 2)三、受迫振动和共振1.受迫振动系统在驱动力作用下的振动.做受迫振动的物体，它做受迫振动的周期(或频率)等于驱动力的周期(或频率)，而与物体的固有周期(或频率)无关.2.共振做受迫振动的物体，它的驱动力的频率与固有频率越接近，其振幅就越大，当二者相等时，振幅达到最大，这就是共振现象.共振曲线如图 2 所示.图 2自测 3 (多选)如图 3 所示， A 球振动后，通过水平细绳迫使 B、 C 振动，振动达到稳定时，下列说法中正确的是( )图 3A.只有 A、 C 的振动周期相等B.C 的振幅比 B 的振
5、幅小C.C 的振幅比 B 的振幅大D.A、 B、 C 的振动周期相等答案 CD命题点一 简谐运动的规律受力特征回复力 F kx， F(或 a)的大小与 x 的大小成正比，方向相反运动 靠近平衡位置时， a、 F、 x 都减小， v 增大；远离平衡位置时， a、 F、 x4特征 都增大， v 减小能量特征振幅越大，能量越大.在运动过程中，系统的动能和势能相互转化，机械能守恒周期性特征质点的位移、回复力、加速度和速度随时间做周期性变化，变化周期就是简谐运动的周期 T；动能和势能也随时间做周期性变化，其变化周期为T2对称性特征关于平衡位置 O 对称的两点，速度的大小、动能、势能相等，相对平衡位置的位
6、移大小相等例 1 (多选)(2015山东理综38(1)如图 4 所示，轻弹簧上端固定，下端连接一小物块，物块沿竖直方向做简谐运动.以竖直向上为正方向，物块简谐运动的表达式为y0.1sin (2.5 t) m .t 0 时刻，一小球从距物块 h 高处自由落下； t0.6 s 时，小球恰好与物块处于同一高度.取重力加速度的大小 g10 m/s 2.以下判断正确的是( )图 4A.h1.7 mB.简谐运动的周期是 0.8 sC.0.6 s 内物块运动的路程是 0.2 mD.t0.4 s 时，物块与小球运动方向相反答案 AB解析 t0.6 s 时，物块的位移为 y0.1sin (2.50.6) m0.
7、1 m，则对小球有h| y| gt2，解得 h1.7 m，选项 A 正确；简谐运动的周期是 T s0.8 12 2 22.5s，选项 B 正确；0.6 s 内物块运动的路程是 3A0.3 m，选项 C 错误； t0.4 s 时，物T2块经过平衡位置向下运动，则此时物块与小球运动方向相同，选项 D 错误.变式 1 如图 5 所示，弹簧振子 B 上放一个物块 A，在 A 与 B 一起做简谐运动的过程中，下列关于 A 受力的说法中正确的是( )图 55A.物块 A 受重力、支持力及弹簧对它的恒定的弹力B.物块 A 受重力、支持力及弹簧对它的大小和方向都随时间变化的弹力C.物块 A 受重力、支持力及
8、B 对它的恒定的摩擦力D.物块 A 受重力、支持力及 B 对它的大小和方向都随时间变化的摩擦力答案 D变式 2 (多选)某质点做简谐运动，其位移随时间变化的关系式为 x10sin t(cm)，则 4下列关于质点运动的说法中正确的是( )A.质点做简谐运动的振幅为 10 cmB.质点做简谐运动的周期为 4 sC.在 t4 s 时质点的速度最大D.在 t4 s 时质点的位移最大答案 AC6命题点二 简谐运动图象的理解和应用1.可获取的信息：(1)振幅 A、周期 T(或频率 f)和初相位 0(如图 6 所示).图 6(2)某时刻振动质点离开平衡位置的位移.(3)某时刻质点速度的大小和方向：曲线上各点
9、切线的斜率的大小和正负分别表示各时刻质点的速度的大小和速度的方向，速度的方向也可根据下一时刻质点的位移的变化来确定.(4)某时刻质点的回复力和加速度的方向：回复力总是指向平衡位置，回复力和加速度的方向相同，在图象上总是指向 t 轴.(5)某段时间内质点的位移、回复力、加速度、速度、动能和势能的变化情况.2.简谐运动的对称性：(图 7) 图 7(1)相隔 t( n )T(n0,1,2，)的两个时刻，弹簧振子的位置关于平衡位置对称，12位移等大反向，速度也等大反向.(2)相隔 t nT(n1,2,3，)的两个时刻，弹簧振子在同一位置，位移和速度都相同.例 2 (2017北京理综15)某弹簧振子沿
10、x 轴的简谐运动图象如图 8 所示，下列描述正确的是( )图 8A.t1 s 时，振子的速度为零，加速度为负的最大值B.t2 s 时，振子的速度为负，加速度为正的最大值C.t3 s 时，振子的速度为负的最大值，加速度为零D.t4 s 时，振子的速度为正，加速度为负的最大值答案 A7解析 t1 s 时，振子位于正向位移最大处，速度为零，加速度为负向最大，故 A 正确；t2 s 时，振子位于平衡位置并向 x 轴负方向运动，速度为负向最大，加速度为零，故 B错误； t3 s 时，振子位于负向位移最大处，速度为零，加速度为正向最大，故 C 错误；t4 s 时，振子位于平衡位置并向 x 轴正方向运动，速
11、度为正向最大，加速度为零，故 D错误.例 3 一质点做简谐运动，其位移和时间的关系如图 9 所示.图 9(1)求 t0.2510 2 s 时质点的位移；(2)在 t1.510 2 s 到 t210 2 s 的振动过程中，质点的位移、回复力、速度、动能、势能大小如何变化？(3)在 t0 到 t8.510 2 s 时间内，质点的路程、位移各多大？答案 (1) cm (2)变大 变大 变小 变小2变大 (3)34 cm 2 cm解析 (1)由题图 可 知 A 2 cm， T 210 2 s， 振 动 方程为 x Asin (t ) Acos 2t 2cos ( t) cm2cos (100 t) c
12、m2210 2当 t0.2510 2 s 时， x2cos cm cm. 4 2(2)由题图可知在 t1.510 2 s 到 t210 2 s 的振动过程中，质点的位移变大，回复力变大，速度变小，动能变小，势能变大.(3)在 t0 到 t8.510 2 s 时间内， t T(4 )T，可知质点的路程为174 14s17 A34 cm，位移为 2 cm.变式 3 质点做简谐运动，其位移 x 与时间 t 的关系曲线如图 10 所示，由图可知( )图 10A.振幅为 4 cm，频率为 0.25 HzB.t1 s 时速度为零，但质点所受合外力最大8C.t2 s 时质点具有正方向最大加速度D.该质点的振
13、动方程为 x2sin t(cm) 2答案 C命题点三 单摆及其周期公式1.单摆的受力特征(1)回复力：摆球重力沿与摆线垂直方向的分力， F 回 mgsin x kx，负号表mgl示回复力 F 回 与位移 x 的方向相反.(2)向心力：细线的拉力和摆球重力沿细线方向分力的合力充当向心力， F 向 FT mgcos .(3)两点说明当摆球在最高点时， F 向 0， FT mgcos .mv2l当摆球在最低点时， F 向 ， F 向 最大， FT mg m .mv2maxl v2maxl2.周期公式 T2 的两点说明lg(1)l 为等效摆长，表示从悬点到摆球重心的距离.(2)g 为当地重力加速度.例
14、 4 如图 11 甲是一个单摆振动的情形， O 是它的平衡位置， B、 C 是摆球所能到达的最远位置.设向右为正方向.图乙是这个单摆的振动图象.根据图象回答：图 11(1)单摆振动的频率是多大？(2)开始时摆球在何位置？(3)若当地的重力加速度为 10 m/s2，试求这个单摆的摆长是多少？(计算结果保留两位有效数字)答案 (1)1.25 Hz (2) B 点 (3)0.16 m解析 (1)由题图乙知周期 T0.8 s，则频率 f 1.25 Hz.1T9(2)由题图乙知， t0 时摆球在负向最大位移处，因向右为正方向，所以开始时摆球在 B点.(3)由 T2 ，得 l 0.16 m.lg gT24
15、 2变式 4 (2017上海单科10)做简谐运动的单摆，其摆长不变，若摆球的质量增加为原来的 倍，摆球经过平衡位置的速度减为原来的 ，则单摆振动的( )94 23A.周期不变，振幅不变B.周期不变，振幅变小C.周期改变，振幅不变D.周期改变，振幅变大答案 B解析 由单摆的周期公式 T2 可知，当摆长 l 不变时，周期不变，故 C、D 错误；由lg能量守恒定律可知 mv2 mgh，其摆动的高度与质量无关，因摆球经过平衡位置的速度减12小，则最大高度减小，故振幅减小，选项 B 正确，A 错误.命题点四 受迫振动和共振1.自由振动、受迫振动和共振的关系比较振动项目 自由振动 受迫振动 共振受力情况
16、仅受回复力 受驱动力作用 受驱动力作用振动周期或频率由系统本身性质决定，即固有周期 T0或固有频率 f0由驱动力的周期或频率决定，即 T T 驱 或f f 驱T 驱 T0或 f 驱 f0振动能量 振动物体的机械能不变由产生驱动力的物体提供振动物体获得的能量最大常见例子弹簧振子或单摆( 5)机械工作时底座发生的振动共振筛、声音的共鸣等2.对共振的理解(1)共振曲线：如图 12 所示，横坐标为驱动力频率 f，纵坐标为振幅 A，它直观地反映了驱动力频率对某固有频率为 f0的振动系统受迫振动振幅的影响，由图可知， f 与 f0越接近，振幅 A 越大；当 f f0时，振幅 A 最大.10图 12(2)受
17、迫振动中系统能量的转化：做受迫振动的系统的机械能不守恒，系统与外界时刻进行能量交换.例 5 下表记录了某受迫振动的振幅随驱动力频率变化的关系，若该振动系统的固有频率为 f 固 ，则( )驱动力频率/Hz 30 40 50 60 70 80受迫振动振幅/cm 10.2 16.8 27.2 28.1 16.5 8.3A.f 固 60 Hz B.60 Hz f 固 70 HzC.50 Hz f 固 60 Hz D.以上三个都不对答案 C解析 从如图所示的共振曲线可判断出 f 驱 与 f 固 相差越大，受迫振动的振幅越小； f 驱 与f 固 越接近，受迫振动的振幅越大.并可以从中看出 f 驱 越接近
18、f 固 ，振幅的变化越慢.比较各组数据知 f 驱 在 5060 Hz 范围内时，振幅变化最小，因此 50 Hz f 固 60 Hz，即 C 正确.变式 5 如图 13 所示，在一条张紧的绳子上挂几个摆，其中 A、 B 的摆长相等.当 A 摆振动的时候，通过张紧的绳子给 B、 C、 D 摆施加驱动力，使其余各摆做受迫振动.观察B、 C、 D 摆的振动发现( )图 13A.C 摆的频率最小B.D 摆的周期最大C.B 摆的摆角最大11D.B、 C、 D 的摆角相同答案 C解析 由 A 摆摆动从而带动其它 3 个单摆做受迫振动，受迫振动的频率等于驱动力的频率，故其它各摆振动周期跟 A 摆相同，频率也相
19、等，故 A、B 错误；受迫振动中，当固有频率等于驱动力频率时，出现共振现象，振幅达到最大，由于 B 摆的固有频率与 A 摆的相同，故B 摆发生共振，振幅最大，故 C 正确，D 错误.1.做简谐运动的物体，当它每次经过同一位置时，可能不同的物理量是( )A.位移 B.速度 C.加速度 D.回复力答案 B2.做简谐运动的单摆摆长不变，若摆球质量减小为原来的 ，摆球经过平衡位置时速度增大14为原来的 2 倍，则单摆振动的( )A.频率、振幅都不变 B.频率、振幅都改变C.频率不变，振幅改变 D.频率改变，振幅不变答案 C3.如图 1 所示，弹簧振子在 a、 b 两点间做简谐振动，当振子从平衡位置 O
20、 向 a 运动过程中( )图 1A.加速度和速度均不断减小B.加速度和速度均不断增大C.加速度不断增大，速度不断减小D.加速度不断减小，速度不断增大答案 C解析 在振子由 O 到 a 的过程中，其位移不断增大，回复力增大，加速度增大，但是由于加速度与速度方向相反，故速度减小，因此选项 C 正确.4.如图 2 所示为某弹簧振子在 05 s 内的振动图象，由图可知，下列说法中正确的是( )12图 2A.振动周期为 5 s，振幅为 8 cmB.第 2 s 末振子的速度为零，加速度为负向的最大值C.从第 1 s 末到第 2 s 末振子的位移增加，振子在做加速度减小的减速运动D.第 3 s 末振子的速度
21、为正向的最大值答案 D解析 由题图图象可知振动周期为 4 s，振幅为 8 cm，选项 A 错误；第 2 s 末振子在最大位移处，速度为零，位移为负，加速度为正向的最大值，选项 B 错误；从第 1 s 末到第 2 s 末振子的位移增大，振子在做加速度增大的减速运动，选项 C 错误；第 3 s 末振子在平衡位置，向正方向运动，速度为正向的最大值，选项 D 正确.5.(多选)一个质点做简谐运动的图象如图 3 所示，下列说法正确的是( )图 3A.质点振动的频率为 4 HzB.在 10 s 内质点经过的路程是 20 cmC.在 5 s 末，质点的速度为零，加速度最大D.t1.5 s 和 t4.5 s
22、两时刻质点的位移大小相等，都是 cm2答案 BCD解析 由题图图象可知，质点振动的周期为 T4 s，故频率 f 0.25 Hz，选项 A 错误；1T在 10 s 内质点振动了 2.5 个周期，经过的路程是 10A 20 cm，选项 B 正确；在 5 s 末，质点处于正向最大位移处，速度为零，加速度最大，选项 C 正确；由题图图象可得振动方程是 x2sin( t) cm，将 t1.5 s 和 t4.5 s 代入振动方程得 x cm，选项 D 正确. 2 26.(多选)某质点做简谐运动，其位移随时间变化的关系式为 x Asin t，则质点( ) 4A.第 1 s 末与第 3 s 末的位移相同B.第
23、 1 s 末与第 3 s 末的速度相同C.第 3 s 末至第 5 s 末的位移方向都相同D.第 3 s 末至第 5 s 末的速度方向都相同13答案 AD解析 由关系式可知 rad/s， T 8 s，将 t1 s 和 t3 s 代入关系式中求 4 2得两时刻位移相同，A 对；作出质点的振动图象，由图象可以看出，第 1 s 末和第 3 s 末的速度方向不同，B 错；由图象可知，第 3 s 末至第 4 s 末质点的位移方向与第 4 s 末至第 5 s 末质点的位移方向相反，而速度的方向相同，故 C 错，D 对.7.一个单摆在地面上做受迫振动，其共振曲线(振幅 A 与驱动力频率 f 的关系)如图 4
24、所示，则( )图 4A.此单摆的固有周期约为 0.5 sB.此单摆的摆长约为 1 mC.若摆长增大，单摆的固有频率增大D.若摆长增大，共振曲线的峰将向右移动答案 B解析 由题图共振曲线知此单摆的固有频率为 0.5 Hz，固有周期为 2 s，故 A 错误；由T2 ，得此单摆的摆长约为 1 m，故 B 正确；若摆长增大，单摆的固有周期增大，固lg有频率减小，则共振曲线的峰将向左移动，故 C、D 错误.8.(多选)(2018福建福州质检)一弹簧振子沿 x 轴振动，振幅为 4 cm，振子的平衡位置位于 x 轴上的 O 点.图 5 甲上的 a、 b、 c、 d 为四个不同的振动状态；黑点表示振子的位置，
25、黑点上的箭头表示运动的方向.图乙给出的四条振动图线，可用于表示振子的振动图象的是( )14图 5A.若规定状态 a 时 t0，则图象为B.若规定状态 b 时 t0，则图象为C.若规定状态 c 时 t0，则图象为D.若规定状态 d 时 t0，则图象为答案 AD解析 振子在状态 a 时 t0，此时的位移为 3 cm，且向 x 轴正方向运动，故选项 A 正确；振子在状态 b 时 t0，此时的位移为 2 cm，且向 x 轴负方向运动，选项 B 错误；振子在状态 c 时 t0，此时的位移为2 cm，选项 C 错误；振子在状态 d 时 t0，此时的位移为4 cm，速度为零，故选项 D 正确.9.(多选)如
26、图 6 所示为同一地点的两单摆甲、乙的振动图象，则下列说法中正确的是( )图 6A.甲、乙两单摆的摆长相等B.甲摆的振幅比乙摆大C.甲摆的机械能比乙摆大D.在 t0.5 s 时有正向最大加速度的是乙摆E.由图象可以求出当地的重力加速度答案 ABD解析 由题图振动图象可以看出，甲摆的振幅比乙摆的大，两单摆的振动周期相同，根据单摆周期公式 T2 可得，甲、乙两单摆的摆长相等，但不知道摆长是多少，不能计算lg出当地的重力加速度 g，故 A、B 正确，E 错误；两单摆的质量未知，所以两单摆的机械能无法比较，故 C 错误；在 t0.5 s 时，乙摆有负向最大位移，即有正向最大加速度，而甲摆的位移为零，加
27、速度为零，故 D 正确.1510.(多选)如图 7 所示为一个竖直放置的弹簧振子，物体沿竖直方向在 A、 B 之间做简谐运动， O 点为平衡位置， A 点位置恰好为弹簧的原长.物体由 C 点运动到 D 点( C、 D 两点未在图上标出)的过程中，弹簧的弹性势能增加了 3.0 J，重力势能减少了 2.0 J.对于这段过程说法正确的是( )图 7A.物体的动能增加 1.0 JB.C 点的位置可能在平衡位置以上C.D 点的位置可能在平衡位置以上D.物体经过 D 点的运动方向可能指向平衡位置答案 BD11.如图 8 所示为一弹簧振子的振动图象，试完成以下问题：图 8(1)写出该振子简谐运动的表达式；(
28、2)在第 2 s 末到第 3 s 末这段时间内，弹簧振子的加速度、速度、动能和弹性势能各是怎样变化的？(3)该振子在前 100 s 的总位移是多少？路程是多少？答案 见解析解析 (1)由题图振动图象可得 A5 cm， T4 s， 00则 rad/s2T 2故该振子简谐运动的表达式为 x5sin t cm 2(2)由题图可知，在 t2 s 时，振子恰好通过平衡位置，此时加速度为零，随着时间的延续，位移不断变大，加速度也变大，速度不断变小，动能不断减小，弹性势能逐渐增大，当 t3 s 时，加速度达到最大值，速度等于零，动能等于零，弹性势能达到最大值.(3)振子经过一个周期位移为零，路程为 45 c
29、m20 cm，前 100 s 刚好经过了 25 个周期，所以前 100 s 振子的总位移 x0，振子的路程 s2520 cm500 cm5 m.12.如图 9 所示， ACB 为光滑弧形槽，弧形槽半径为 R， C 为弧形槽最低点， RAB.甲球从16弧形槽的圆心处自由下落，乙球从 A 点由静止释放，问：图 9(1)两球第 1 次到达 C 点的时间之比；(2)若在圆弧的最低点 C 的正上方 h 处由静止释放小球甲，让其自由下落，同时将乙球从圆弧左侧由静止释放，欲使甲、乙两球在圆弧最低点 C 处相遇，则甲球下落的高度 h 是多少？答案 (1) (2) (n0,1,2)22 2n 1 2 2R8解析 (1)甲球做自由落体运动R gt12，所以 t112 2Rg乙球沿圆弧做简谐运动(由于 ACR，可认为摆角 5). 此运动与一个摆长为 R 的单摆运动模型相同，故此等效摆长为 R，因此乙球第 1 次到达 C 处的时间为t2 T 2 ，14 14 Rg 2 Rg所以 t1 t2 .22(2)甲球从离弧形槽最低点 h 高处自由下落，到达 C 点的时间为 t 甲 2hg由于乙球运动存在周期性，所以乙球到达 C 点的时间为t 乙 n (2n1) ( n0,1,2，)T4 T2 2 Rg由于甲、乙在 C 点相遇，故 t 甲 t 乙联立解得 h ( n0,1,2). 2n 1 2 2R8
