1、弧长与扇形面积 一、选择题 1 （ 2018山 西 3分） 如 图 ，正 方 形 ABCD 内 接 于 O， O 的 半 径 为 2，以 点 A 为 圆 心 ， 以 AC 为 半 径 画 弧 交 AB 的 延 长 线 于 点 E， 交 AD 的 延 长 线 于 点 F， 则 图 中 阴 影 部 分 的 面 积 是 （ ） A.4 -4 B. 4 -8 C. 8 -4 D. 8 -8 【 答 案 】 A 【 考 点 】 扇 形 面 积 ， 正 方 形 性 质 【 解 析 】 四边 形 ABCD 为正方形， BAD=90 ， 可 知 圆 和 正 方 形 是 中 心 对 称 图 形 ， 2 （ 20
2、18山东淄博 4分）如图， O的直径 AB=6，若 BAC=50 ，则劣弧 AC的长为（ ） A 2 B C D 【考点】 MN：弧长的计算； M5：圆周角定理 【分析】 先连接 CO，依据 BAC=50 ， AO=CO=3，即可得到 AOC=80 ，进而得出劣弧 AC 的长为= 【解答】 解：如图，连接 CO， BAC=50 ， AO=CO=3， ACO=50 ， AOC=80 ， 劣弧 AC的长为 = ， 故选： D 【点评】 本题考查了圆周角定理，弧长的计算，熟记弧长的公式是解题的关键 3. （ 2018四川成都 3分） 如图，在 中， ， 的半径为 3，则图中阴影部分的面 积是（ ）
3、A. B. C. D. w&ww.z*zste% 【答案】 C 【考点】平行四边形的性质，扇形面积的计算 【解析】【解答】解： 平行四边形 ABCD AB DC B+ C=180 C=180 -60=120 阴影部分的面积 =1203 2360=3 故答案为： C 【分析】根据平行四边形的性质及平行线的性质，可求出 C的度数，再根据扇形的面积公式求解即可。 4. （ 2018山东滨州 3分 ）已知半径为 5的 O是 ABC的外接圆，若 ABC=25 ，则劣弧 的长为（ ） A B C D 【分析】 根据圆周角定理和弧长公式解答即可 【解答】 解：如图：连接 AO， CO， ABC=25 ， A
4、OC=50 ， 劣弧 的长 = ， 故选： C 【点评】 此题考查三角形的外接圆与外心，关键是根据圆周角定理和弧长公式解答 5.（ 2018 山东威海 3分 ）如图，在正方形 ABCD中， AB=12，点 E为 BC 的中点，以 CD为直径作半圆 CFD，点 F 为半圆的中点，连接 AF， EF，图中阴影部分的面积是（ ） A 18+36 B 24+18 C 18+18 D 12+18 【分析】作 FH BC 于 H，连接 FH，如图，根据正方形的性质和切线的性质得 BE=CE=CH=FH=6，则利用勾股定理可计算出 AE=6 ，通过 Rt ABE EHF得 AEF=90 ，然后利用图中阴影部
5、分的面积 =S 正方形 ABCD+S 半圆 S ABE S AEF进行计算 【解答】解：作 FH BC于 H，连接 FH，如图， 点 E为 BC 的中点，点 F为半圆的中点， 中国教育 出 版 *&网 BE=CE=CH=FH=6， AE= =6 ， 易得 Rt ABE EHF， AEB= EFH， 而 EFH+ FEH=90 ， AEB+ FEH=90 ， AEF=90 ， 图中阴影部分的面积 =S 正方形 ABCD+S 半圆 S ABE S AEF =12 12+ 62 12 6 6 6 =18+18 故选： C 【点评】本题考查了正多边形和圆：利用面积的和差计算不规则图形的面积 6. （
6、2018台湾 分）如图， ABC 中， D 为 BC 的中点，以 D 为圆心， BD 长为半径画一弧交 AC 于 E点，若 A=60 ， B=100 ， BC=4，则扇形 BDE的面积为何？（ ） A B C D 【分析】 求出扇形的圆心角以及半径即可解决问题； 【解答】 解： A=60 ， B=100 ， C=180 60 100=20 ， DE=DC， C= DEC=20 ， BDE= C+ DEC=40 ， S 扇形 DBE= = 故选： C 【点评】 本题考查扇形的面积公式、三角形内角和定理等知识，解题的关键是记住扇形的面积公式：S= 7（ 2018湖北黄 石 3分）如图， AB是 O
7、的直径，点 D为 O上一点，且 ABD=30 ， BO=4，则 的长为（ ） A B C 2 D 【分析】 先计算圆心角为 120 ，根据弧长公式 = ，可得结果 【解答】 解：连接 OD， ABD=30 ， AOD=2 ABD=60 ， BOD=120 ， 的长 = = ， 故选： D 【点评】 本题考查了弧长的计算和圆周角定理，熟练掌握弧长公式是关键，属于基础题 8（ 2018 浙江 宁波 4分）如图，在 ABC 中， ACB=90 ， A=30 ， AB=4，以点 B为圆心， BC长为半径画弧，交边 AB 于点 D，则 的长为（ ） A B C D 【考点】 弧长公式 【分析】先根据 A
8、CB=90 ， AB=4， A=30 ，得圆心角和半径的长，再根据弧长公式可得到弧 CD 的长 【解答】解： ACB=90 ， AB=4， A=30 ， B=60 ， BC=2 的长为 = ， 故选： C 【点评】本题主要考查了弧长公式的运用和直角三角形 30度角的性质，解题时注意弧长公式为： l= （弧长为 l，圆心角度数为 n，圆的半径为 R） 9. （ 2018 浙江 衢州 3分） 如图， AB 是圆锥的母线， BC为底面半径，已知 BC=6cm，圆锥的侧面积为 15 cm2，则 sin ABC的值为（ ） A B C D【考点】 圆锥侧面积公式 【 分析】 先根据扇形的面积公式 S=
9、LR求出母线长，再根据锐角三角函数的定义解答即可 【解答】 解：设圆锥的母线长为 R，由题意得 15 = 3 R，解得 R=5， 圆锥的高为 4， sin ABC= 故选 B 【点评】 本题考查了圆锥侧面积公式的运用，注意一个角的正弦值等于这个角的对边与斜边之比 10. (2018 四川省绵阳市 )如图，蒙古包可近似看作由圆锥和圆柱组成，若用毛毡搭建一个底面圆面积为25 m2 ， 圆柱高为 3m，圆锥高为 2m 的蒙古包，则需要毛毡的面积是（ ） A. B.40 m2 C. D.55 m2 【答案】 A 【考点】圆锥的计算，圆柱的计算 【解析】【解答】解：设底面圆的半径为 r，圆锥母线长为 l
10、，依题可得： r2=25 ， r=5， 圆锥的母线 l= = ， 圆锥侧面积 S = 2 rl= rl=5 （ m2） , 圆柱的侧面积 S =2 rh=2 53=30 （ m2）， 需要毛毡的面积 =30 +5 （ m2）， 故答案为： A. 【分析】根据圆的面积公式求出底面圆的半径，由勾股定理得圆锥母线长，再根据圆锥的侧面展开图为扇形，圆柱的侧面展开图为矩形或者正方形，根据其公式分别求出它们的侧面积，再求和即可得出答案 . 二 .填空题 1. （ 2018重庆 (A) 4分） 如图，在矩形 ABCD中，3AB， 2AD，以点 A为 圆心， AD长为半径画弧，交 AB于点 E，图中阴影部分的
11、面积是 _（结果保留） CDA BE【考点】 及割补法的基本应用、扇形的面积公式 . 【解析】 -6236090-32 2 阴S【点评】此题考查扇形、四边形面积的计算，及割补法的基本应用，属于基础题 2. （ 2018广东 3分 ） 如图，矩形 ABCD中， BC=4， CD=2，以 AD为直径的半圆 O与 BC相切于点 E，连接BD，则阴影部分的面积为 （结果保留 ） 【分析】 连接 OE，如图 ，利用切线的性质得 OD=2， OE BC，易得四边形 OECD 为正方形，先利用扇形面积公式，利用 S 正方形 OECD S 扇形 EOD计算由弧 DE、线段 EC、 CD 所围成的面积，然后利用
12、三角形的面积减去刚才计算的面积即可得到阴影部分的面积 【解答】 解：连接 OE，如图， 以 AD 为直径的半圆 O与 BC相切于点 E， OD=2， OE BC， 易得四边形 OECD为正方形， 由弧 DE、线段 EC、 CD所围成的面积 =S 正方形 OECD S 扇形 EOD=22 =4 ， 阴影部分的面积 = 2 4（ 4 ） = 故答案为 【点评】 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系也考查了矩形的性质和扇形的面积公式 3（ 2018湖北荆门 3 分）如图，在平行四边形 ABCD中， AB AD， D=30 ， C
13、D=4，以 AB 为直径的 O交BC 于点 E，则阴影部分的面积为 【分析】 连接半径和弦 AE，根据直径所对的圆周角是直角得： AEB=90 ，可得 AE 和 BE 的长，所以图中弓形的面积为扇形 OBE 的面积与 OBE 面积的差，因为 OA=OB，所以 OBE 的面积 是 ABE 面积的一半，可得结论 【解答】 解：连接 OE、 AE， AB是 O的直径， AEB=90 ， 四边形 ABCD是平行四边形， AB=CD=4， B= D=30 ， AE= AB=2， BE= =2 ， OA=OB=OE， B= OEB=30 ， BOE=120 ， S 阴影 =S 扇形 OBE S BOE，
14、= ， = ， = ， 故答案为： 【点评】 本题考查了扇形的面积计算、平行四边形的性质，直角三角形中 30度角等知识点，能求出扇形 OBE的面积和 ABE的面积是解此题的关键 4（ 2018湖北恩施 3分）在 RtABC 中， AB=1， A=60 ， ABC=90 ，如图所示将 RtABC 沿直线 l无滑动地滚动至 RtDEF ，则点 B 所经过的路径与直线 l所围成的封闭图形的面积为 （结果不取近似值） 【分析】先得到 ACB=30 ， BC= ，利用旋转的性质可得到点 B 路径分部分：第一部分为以直角三角形30 的直角顶点为圆心， 为半径，圆心角为 150 的弧长；第二部分为以直角三角
15、形 60 的直角顶点为圆心， 1为半径，圆心角为 120 的弧长，然后根据扇 形的面积公式计算点 B所经过的路径与直线 l所围成的封闭图形的面积 【解答】解： RtABC 中， A=60 ， ABC=90 ， ACB=30 ， BC= ， 将 RtABC 沿直线 l 无滑动地滚动至 RtDEF ，点 B 路径分部分：第一部分为以直角三角形 30 的直角顶点为圆心， 为半径，圆心角为 150 的弧长；第二部分为以直角三角形 60 的直角顶点为圆心， 1 为半径，圆心角为 120 的弧长； 点 B所经过的路径与直线 l 所围成的封闭图形的面积 = + = 故答案为 【点评】本题考查了轨迹：利用特殊
16、几何图形描 述点运动的轨迹，然后利用几何性质计算相应的几何量 5.（ 2018河南 3分 ）如图 ,在 ABC中 , ACB=90, AC=BC=2.将 ABC绕 AC的中点 D逆时针旋转 90 得到ABC ，其中点 B的运动路径为BB，则图中阴影部分的面积为 _. 6. （ 2018 新疆生产建设兵团 5 分）如图， ABC 是 O 的内接正三角形， O 的半径为 2，则图中阴影部的面积是 【分析】根据等边三角 形性质及圆周角定理可得扇形对应的圆心角度数，再根据扇形面积公式计算即可 【解答】解： ABC 是等边三角形， C=60 ， 根据圆周角定理可得 AOB=2C=120 ， 阴影部分的面
17、积是 = ， 故答案为： 【点评】本题主要考查扇形面积的计算和圆周角定理，根据等边三角形性质和圆周角定理求得圆心角度数是解题的关键 7.（ 2018山东青岛 3分）如图， Rt ABC， B=90 ， C=30 ， O为 AC上一点， OA=2，以 O为圆心，以 OA 为半径的圆与 CB相切于点 E，与 AB 相交于点 F，连接 OE、 OF，则图中阴影部分的面积是 【分析】 根据扇形面积公式以及三角形面积公式即可求出答案 【解答】 解： B=90 ， C=30 ， A=60 ， OA=OF， AOF是等边三角形， COF=120 ， OA=2， 扇形 OGF的面积为： = OA为半径的圆与
18、CB 相切于点 E， OEC=90 ， OC=2OE=4， AC=OC+OA=6， AB= AC=3， 由勾股定理可知： BC=3 ABC的面积为： 3 3 = OAF的面积为： 2 = ， 阴影部分面积为： = 故答案为： 【点评】 本题考查扇形面积公式，涉及含 30度角的直角三角形的性质，勾股定理，切线的性质，扇形的面积公式等知识，综合程度较高 8. （ 2018湖南省永州市 4 分）如图，在平面直角坐标系中，已知点 A（ 1， 1），以点 O为旋转中心，将点A逆时针旋转到点 B的位置，则 的长为 【分析】 由点 A（ 1， 1），可得 OA= = ，点 A 在第一象限的角平分线上，那么
19、AOB=45 ，再根据弧长公式计算即可 【解答】 解： 点 A（ 1， 1）， OA= = ，点 A在第一象限的角平分线上， 以点 O 为旋转中心，将点 A 逆时针旋转到点 B的位置， AOB=45 ， 的长为 = 故答案为 【点评】 本题考查了弧长公式： l= （弧长为 l，圆心角度数为 n，圆的半径为 R），也考查了坐标与图形变化旋转，求出 OA= 以及 AOB=45 是解题的关键 9. （ 2018年江苏省 宿迁 ） 已知圆锥的底面圆半价为 3cm，高为 4cm，则圆锥的侧面积是 _cm2. 【答案】 15 【考点】圆锥的计算 【解析】【解答】解：设圆锥母线长为 l， r=3， h=4，
20、 , 母线 l= =5， S 侧 = 2 r5= 2 35=15 . 故答案为： 15 . 【分析】设圆锥母线长为 l，根据勾股定理求出母线长，再根据圆锥侧面积公式即可得出答案 . 10. （ 2018 年江苏省 宿迁 ） 如图，将含有 30 角的直角三角板 ABC 放入平面直角坐标系，顶点 AB 分别落在 x、 y轴的正半轴上， OAB 60, 点 A的坐标为（ 1,0），将三角板 ABC沿 x轴右作无滑动的滚动（先绕点 A 按顺时针方向旋转 60 ，再绕点 C 按顺时针方向旋转 90 ， ）当点 B第一次落在 x 轴上时，则 点 B运动的路径与坐标轴围成的图形面积是 _. 【答案】 + 【
21、考点】三角形的面积，扇形面积的计算，锐角三角函数的定义，旋转的性质 【解析】【解答】解：在 Rt AOB 中， A（ 1,0）， OA=1, 又 OAB 60 ， cos60= , AB=2,OB= , 在旋转过程中，三角板的角度和边的长度不变， 点 B运动的路径与坐标轴围成的图形面积为： = = + . 故答案为 : + . 【分析】在 Rt AOB中，由 A点坐标得 OA=1,根据锐角三角形函 数可得 AB=2， OB= ,在旋转过程中，三角板的角度和边的长度不变，所以点 B 运动的路径与坐标轴围成的图形面积为： = ，计算即可得出答案 . 11. （ 2018江苏扬州 3分 ）用半径为
22、10cm，圆心角为 120 的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为 cm 【分析】 圆锥的底面圆半径为 r，根据圆锥的底面圆周长 =扇形的弧长，列方程求解 【解答】 解：设圆锥的底面圆半径为 r，依题意，得 2 r= ， 解得 r= cm 故选： 【点评】 本题考查了圆锥的计算圆锥的侧面展开图为扇形，计 算要体现两个转化： 1、圆锥的母线长为扇形的半径， 2、圆锥的底面圆周长为扇形的弧长 12. （ 2018江苏盐城 3分 ） 如图，左图是由若干个相同的图形（右图）组成的美丽图案的一部分 .右图中，图形的相关数据：半径 ， .则右图的周长为 _ （结果保留 ） 15.【答案】
23、【考点】 弧长的计算 【解析】 【解答】解：由第一张图可知弧 OA 与弧 OB 的长度和与弧 AB 的长度相等，则周长为 cm 故答案为： 【分析】仔细观察第一张图，可发现单个图的左右两条小弧的长度之和是弧 AB 的度 ，则根据弧长公式 即可求得。 13. （ 2018四川凉州 3 分）将 ABC 绕点 B 逆时针旋转到 ABC ，使 A、 B、 C 在同一直线上，若BCA=90 ， BAC=30 ， AB=4cm，则图中阴影部分面积为 4 cm2 【分析】易得整理后阴影部分面积为圆心角为 120 ，两个半径分别为 4和 2的圆环的面积 【解答】解： BCA=90 ， BAC=30 ， AB=
24、4cm， BC=2 ， AC=2 ， ABA=120 ， CBC=120 ， 阴影部分面积 =（ SABC +S 扇形 BAA ） S 扇形 BCC SABC = （ 42 22） =4 cm2 故答案为： 4 【点评】本题利用了直角三角形的性质，扇形的面积公式求解 2. 三 .解答题 (要求同上一 ) 1.（ 2018 山东临沂 9分 ）如图， ABC为等腰三角形， O是底边 BC的中点，腰 AB与 O相切于点 D， OB与 O相交于点 E （ 1）求证： AC是 O的切线； （ 2）若 BD= ， BE=1求阴影部分的面积 【分析】（ 1）连接 OD，作 OF AC 于 F，如图，利用等腰
25、三角形的性质得 AO BC， AO 平分 BAC，再根据切线的性质得 OD AB，然后利用角平分线的性质得到 OF=OD，从而根据切线的判定定理得到结论； （ 2）设 O的半径为 r，则 OD=OE=r，利用勾股定理得到 r2+（ ） 2=（ r+1） 2，解得 r=1，则 OD=1， OB=2，利用含 30 度的直角三角三边的关系得到 B=30 ， BOD=60 ，则 AOD=30 ，于是可计算出AD= OD= ，然后根据扇形的面积公式，利用阴影部分的面积 =2S AOD S 扇形 DOF进行计算 【解答】（ 1）证明：连接 OD，作 OF AC 于 F，如图， ABC为等腰三角形， O是底
26、边 BC的中 点， AO BC， AO平分 BAC， AB与 O相切于点 D， OD AB， 而 OF AC， OF=OD， AC是 O的切线； （ 2）解：在 Rt BOD中，设 O的半径为 r，则 OD=OE=r， r2+（ ） 2=（ r+1） 2，解得 r=1， OD=1， OB=2， B=30 ， BOD=60 ， AOD=30 ， 在 Rt AOD中， AD= OD= ， 阴影部分的面积 =2S AOD S 扇形 DOF =2 1 = 中 国 *教 &育出版网 【点评】本题考 查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线圆的切线垂直于经过切点的半径判定切线时
27、 “ 连圆心和直线与圆的公共点 ” 或 “ 过圆心作这条直线的垂线 ” ；有切线时，常常 “ 遇到切点连圆心得半径 ” 也考查了等腰三角形的性质 2. （ 2018江苏扬州 10 分 ）如图，在 ABC 中， AB=AC， AO BC 于点 O， OE AB 于点 E，以点 O 为圆心，OE 为半径作半圆，交 AO于点 F （ 1）求证： AC是 O的切线； （ 2）若点 F是 A的中点， OE=3，求图中阴影部分的面积； （ 3）在（ 2）的条件下，点 P是 BC边上的动点，当 PE+PF 取最小值时，直接写出 BP的长 【分析】 （ 1）作 OH AC于 H，如图，利用等腰三角形的性质得
28、AO 平分 BAC，再根据角平分线性质得 OH=OE，然后根据切线的判定定理得到结论； （ 2）先确定 OAE=30 ， AOE=60 ，再计算出 AE=3 ，然后根据扇形面积公式，利用图中阴影部分的面积 =S AOE S 扇形 EOF进行计算； （ 3）作 F点关于 BC 的对称点 F ，连接 EF 交 BC于 P，如图，利用两点之间线段最短得到此时 EP+FP 最小，通过证明 F= EAF 得到 PE+PF最小值 为 3 ，然后计算出 OP 和 OB得到此时 PB的长 【解答】 （ 1）证明：作 OH AC于 H，如图， AB=AC， AO BC 于点 O， AO平分 BAC， OE AB
29、， OH AC， OH=OE， AC是 O的切线； （ 2）解： 点 F是 AO的中点， AO=2OF=3， 而 OE=3， OAE=30 ， AOE=60 ， AE= OE=3 ， 图中阴影部分的面积 =S AOE S 扇形 EOF= 3 3 = ； （ 3）解：作 F点关于 BC的对称点 F ，连接 EF 交 BC于 P，如图， PF=PF ， PE+PF=PE+PF=EF ，此时 EP+FP最小， OF=OF=OE ， F= OEF ， 而 AOE= F + OEF=60 ， F=30 ， F= EAF ， EF=EA=3 ， 即 PE+PF最小值为 3 ， 在 Rt OPF 中， OP= OF= ， 在 Rt ABO中， OB= OA= 6=2 ， BP=2 = ， 即当 PE+PF取最小值时， BP 的长为 【点评】 本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径 判定切线时 “ 连圆心和直线与圆的公共点 ” 或 “ 过圆心作这条直线的垂线 ” 也考查了等腰三角形的性质和最短路径问题
