1、1人教版初中二年级上册数学教学设计分式的运算基础知识 基本技能：1分式的乘除(1)分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积 的分母用式子表示为： .abcd acbd(2)分式的除法法则：分式除以分式，把除式的 分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘用式子表示为： .abcd abdc adbc分式的除法要转化为乘法，然后根据乘法法则进行运算，结果要化为最简分式【例 1】 计算：(1) ；4a4b215x2 9x8a4b(2) ；a2 1a2 2a 1 a2 aa 1(3) ；a2 4a2 4a 4 2aa2 4a 4(4) (4x2y 2)4x2 4xy y22x y解
2、：(1) ；4a4b215x2 9x8a4b 4a4b29x15x28a4b 3b10x(2) a2 1a2 2a 1a2 aa 1 （a 1）（a 1）（a 1）2 a 1a（a 1） ；（a 1）（a 1）（a 1）a（a 1）2（a 1） 1a(3) a2 4a2 4a 4 2aa2 4a 4 （a 2）（a 2）（a 2）2 2a（a 2）22a（a 2）（a 2）（a 2）2（a 2）2 ；2aa2 42(4) (4x2y 2)4x2 4xy y22x y （2x y）22x y 1（2x y）（2x y） .12x y2分式的乘方(1)法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方(2)用式
3、子表示： .(ab)n anbn解技巧 分式的乘方的 理解 (1) 分式乘方时，分子、分母要乘相同次方；(2) 其结果的符号与有理数乘方结果的符号确定方法一样【例 2】 计算：(1) ；(2) .(a2 b3)4 (x2y z2)3 解：(1) ；(a2 b3)4 （a2）4（ b3）4 a8b12(2) .(x2y z2)3 （x2y）3（ z2）3 x6y3 z6 x6y3z63分式的加减(1)同分母分式相加减：法则：分母不变，把分子相加减；用式子表示： .ac bc abc(2)异分母分式相加减：法则：先通分，变为同分母的分式，再加减；用式子表 示： .abcd adbdbcbd adb
4、cbd警误区 分式加减运算的注意点 (1)同分母分式的加减运算的关键是分子的加减运算，分子加减时要将其作为一个整体进行加减，当分子是多项式时，要添加括号；(2)异分母分式加减运算的关键是先通分，转化为同分母的分式相加减，再根据同分母分式加减法进行运算，通分时要注 意最简公分母的确定；(3)分式加减运算的结果要化为最简分式或整式【例 3】 计算：(1) ；（a b）22ab （a b）22ab3(2) ；aa2 1 11 a2(3) ；1x y 1x y 2xx2 y2(4) ；12m2 9 23 m(5) ；x 3x2 1 2x 1(6) a2.4a 2解：(1) （a b）22ab （a b
5、）22ab（a b）2 （a b）22ab a2 2ab b2 a2 2ab b22ab 2a2 2b22ab ；a2 b2ab(2) aa2 1 11 a2 aa2 1 1a2 1 ；a 1a2 1 a 1（a 1）（a 1） 1a 1(3) 1x y 1x y 2xx2 y2 1x y 1x y 2x（x y）（x y）（x y） （x y） 2x（x y）（x y）2x 2y（x y）（x y） ；2（x y）（x y）（x y） 2x y(4) 12m2 9 23 m 12（m 3）（m 3） 2m 3 12（m 3）（m 3） 2（m 3）（m 3）（m 3）12 2（m 3）（m
6、3）（m 3） 2（m 3）（m 3）（m 3） ；2m 3(5) x 3x2 1 2x 14 x 3（x 1）（x 1） 2（x 1）（x 1）（x 1） x 3 2（x 1）（x 1）（x 1） （x 1）（x 1）（x 1） ；1x 1(6) a2 (a2)4a 2 4a 2 4a 2 （a 2）1 4a 2 （a 2）2a 2 4 （a 2）2a 2 4 a2 4a 4a 2 .a2 4aa 24整数指数幂一般地，当 n 是正整数时，a n (a0) 这就是说，a n (a0)是 an 的倒数这样1an引入负整数指数幂后，指数的取值范围就推广到全体整数根据整数指数幂的运算性质，当 m，
7、n 为整数时，a mana mn ，a man a m(n)a mn ，因此 amana man .特别地， abab 1 ，所以 ( ab1 )n，即商的乘方 可以转化为积的乘方ab (ab)n (ab)n (ab1 )n.这样，整数指数幂的运算性质可以归纳为：(1)amana mn (m，n 是整数)；(2)(am) na mn(m，n 是整数)；(3)(ab)na nbn(m，n 是整数)【例 4】 计算：(1) ；( 23) 2 (2)a2b3 (a1 b)3(ab)1 .解：(1) ；( 23) 2 1( 23)2 149 94(2)a2b 3( a1 b)3(ab)1 a 2b3
8、a3 b3aba 0bb.5科学记数法(1)用科学记数法表示绝对值大于 1 的数时，应当表示为 a10n 的形式，其中51|a| 10，n 为原数整数部分的位数减 1；(2)用科学记数法表示绝对值小于 1 的数时，可以表示为 a10n 的形式，其中 n 为原数第 1 个不为零的数字前面所有零的个数(包括小数点前面的那个零) ，1| a|10.提示：用科学记数法的形式表示数更方便于比较数的大小【例 5】 把下列各 数用科学记数法表示出来：(1)650 000；(2)36 900 000；(3)0.000 002 1；(4)0.000 006 57.解：(1)650 0006.510 5；(2)3
9、6 900 0003.6910 7；(3)0.000 002 12.110 6 ；(4)0.000 006 576.5710 6 .基本方法 基本能力：6分式的乘除混合运算分式的乘除混合运算要统一为乘法运算来计算谈重点 分式乘除混合运算的方法 (1)分式的乘除混合运算顺序与分数的乘除混合运算顺序相同，即从左到右的顺序，有括号先算括号里面的；(2)分式的乘除混合运算要注意每个分式中分子 、分母括号的处理，以及结果符号的确定；(3) 分式的乘除混合运算结果应为最简分式或整式7分式的混合运算分式的四则混合运算与有理数的混合运算相同，必须按照运算顺序，先乘方，再乘除，后加减，有 括号时先去小括号再去中
10、括号，最后结果要化为最简分式或整式解技巧 分式混合运算的技巧 分式四则混合运算要注意：(1)按照运算顺序进行，确定合理的运算顺序是解题的关键；(2)灵活运用交换律、结合律、分配律，可以使运算简捷，而且还可以提高运算速度和准确率；(3)将结果化为最简分式或整式； (4)运算过程中要注意符号 的确定8把分式化简后再求值分式的化简求值题，关键是要准确地运用分式的 运算法则，然后代入求值化简运算6过程中要注意约分、通分时分式的值保持不变，要注意分清运算顺序，先乘除，后加减，如果有括号，先进行括号内的运算【例 6】 计算： (x1) 2 .1 x2x2 4x 4 x2 3x 2x 1分析：按照从左到右的
11、顺序依次运算，把除法运算转化为乘法，然后根据乘法法则进行运算，结果要化为最简分式或整式解： (x1) 21 x2x2 4x 4 x2 3x 2x 1 （1 x）（1 x）（x 2）2 1（x 1）2 （x 1）（x 2）x 1 .（x 1）2（x 2）（x 1）2【例 7】 计算： .a2 b2a2 2ab b2 2ab(1a 1b)2 2a2 b2 2ab解：原式 a2 b2a2 2ab b2 2ab(a bab)2 2a2 b2 2ab a2 b2a2 2ab b2 2ab（ab）2（a b）2 2a2 b2 2ab a2 b2a2 2ab b2 2ab（a b）2 2a2 b2 2ab
12、a2 b2（a b）2 2ab（a b）2 2a2 b2 2ab a2 b2 2ab（a b）2 2a2 b2 2ab .2（a b）2【例 8】 先化简，再求值： ，其中 x3.(3xx 1 xx 1)x2 12x解：原式 3x（x 1） x（x 1）（x 1）（x 1） （x 1）（x 1）2x x2.3x2 3x x2 x2x 2x2 4x2x 2x（x 2）2x当 x3 时，原式321.9.运用分式运算解决实际问题运用分式运算解决实际问题，关键是理解题意，找准各种量之间的关系，这也是解决数学应用题的基本方法，作差法等也是解决这类问题的常用方法在判断两分式的差的正负的时候，可以考虑利用完
13、全平方式的非负性和题中字母的实际意义来解题作差法举例：若 xy 且 x0 ，y0，比较 与 的大小4x y x yxy7解： .4x y x yxy 4xy （x y）2xy（x y） （x y）2xy（x y）因为 xy，x 0，y0.所以 0，即 . （x y）2xy（x y） 4x y x yxy【例 9】 甲、乙两工人生产同一种零件，甲每小时比乙多生产 8 个，现要求甲生产出168 个零件，乙生产出 144 个零件，则他们两人谁能先完成任务？解：设甲每小时生产这种零件 x 个，则乙每小时生产这种零件(x 8)个，甲完成任务需要时间为 小时，乙完成任务需要时间为 小时168x 144x
14、8 .168x 144x 8 168（x 8） 144xx（x 8） 24（x 56）x（x 8）x8，x80，x (x8) 0.故当 x56 时， 0；168x 144x 8当 x56 时， 0；168x 144x 8当 x56 时， 0.168x 144x 8所以若甲每小时生产零件多于 56 个，则乙先完成任务；若甲每小时生产零件等于 56个，则两人同时完成任务；若甲每小时生产零件小于 56 个且多于 8 个，则甲先完成任务思维拓展 创新应用：10分式混合运算的开放型题运用分式的混合运算解决开放型问题，关键还是进行分式的混合运算，只是题目具有一定 的开放性，所以在解决此类问题时，首先还是要
15、正确进行分式的化简，然后还要注意问题的多解的情况举例：已知 P ，Q ，用“”或“”连接 P，Q 共有三种不同的形a2 b2a2 b2 2aba2 b2式：PQ，PQ，QP，请选择其中一种进行化简求值，其中 a3，b2.【例 10】 已知 A ，B ，C .将它们组合成(AB)C 或 ABC 的1x 2 2x2 4 xx 2形式，请你从中任选一种进行计算先化简，再求值，其中 x3.解：选一：(A B)C (1x 2 2x2 4) xx 2 ，x（x 2）（x 2） x 2x 1x 28当 x3 时，原式 1.13 2选二：ABC 1x 2 2x2 4 xx 2 1x 2 2（x 2）（x 2） x 2x ，1x 2 2x（x 2） x 2x（x 2） 1x当 x3 时，原式 .13
