1、第七节 空间向量及其运算三年10考 高考指数: 1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义， 掌握空间向量的正交分解及其坐标表示. 2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示. 3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积 判断向量的共线与垂直.1.空间向量的坐标表示是用空间向量解决空间平行、垂直、角 问题的基础 2.以向量及其运算为工具证明平行、垂直以及求空间角是高考 的热点；题型多以解答题的形式出现，考查学生的运算能力及 分析问题、解决问题的能力1.空间向量的有关概念及线性运算 (1)空间向量的概念 名称 概念 表示 零向量 单位向量 相等向量 相反向量 共线向量 共面
2、向量 模为_的向量 长度（模）为_的向量 方向_且模_的向量 方向_且模_的向量 表示空间向量的有向线段所 在的直线互相_的 向量 平行于同一个_的向量 的相反向量为 0 1 相同 相等 相反 相等 平行或重合 平面 (2)空间向量的加、减、数乘运算空间向量的加、减、数乘运算是平面向量运算的推广如图，设a,b是空间任意两向量，若POC，加法： =_，减法： =_,数乘： = _(R). a+b a-b a (3)空间向量加法、数乘运算满足的运算律 交换律：a+b=_， 结合律：(a+b)+c=_， (a)=_(R,R)， 分配律：(a+b)= _(R). b+a a+(b+c) ()a a+b
3、【即时应用】 判断下列命题的正误(请在括号内填“”或“”) (1)空间任意五边形ABCDE，则 =0 ( ) (2)若ab，则a所在直线与b所在直线平行 ( ) (3)空间任意两非零向量a、b共面 ( ) (4)空间向量a平行于平面，则a所在直线平行于平面 ( )【解析】由向量加法知(1)正确；当ab时，a与b所在直线平 行或重合，故(2)是错误的；由于向量可平移，因此空间任意 两向量都可平移到同一起点，故空间任意两向量共面，即(3) 是正确的；a所在的直线可能在平面内，故(4)是错误的 答案：(1) (2) (3) (4)2空间向量的有关定理 名称 内容 共线向 量定理 对于空间任意两个向量
4、a,b(b0)，ab的充要条 件是存在实数，使_ 共面向 量定理 如果两个向量a,b不共线，则向量p与向量a,b共面 的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y)，使 _ 空间向 量基本 定理 如果三个向量a,b,c不共面，那么对空间任一向量 p，存在有序实数组x,y,z，使得 _把a,b,c叫做空间的一个基底， a,b,c叫做_ a=b p=xa+yb p=xa+yb+zc 基向量【即时应用】 (1)已知a=(2，-1,3)，b(-1,4，-2)，c(7,5，)，若 a,b,c三个向量共面，则实数=_ (2)已知a=(+1,0,2),b=(6,2-1,2)，若ab，则= _ (3)已知向量a,
5、b,c是空间的一个单位正交基底，向量a+b,a- b,c是空间的另一组基底，若向量p在基向量a+b,a-b,c下的坐 标为( )，则向量p在基底a,b,c下的坐标为_【解析】(1)由于a,b,c三向量共面，所以存在实数m,n使得 c=ma+nb，即 解得 (2)由ab得a=kb，从而得 解得(3)由条件得p= ，故向量p在基 底a,b,c下的坐标为(1,2,3) 答案:(1) (2) (3)(1,2,3)3空间向量的数量积及运算律 _ _称为 与 的夹角 记作_=_ (1)结合律： (2)交换律： (3)分配律： 夹角 夹角 范围 数量积 运算律 AOB 0 A B O （特殊情形= ） 【即
6、时应用】 (1)思考：对于实数a,b，若ab=0，则一定有a=0或b=0，而对于 向量a,b，若ab=0，则一定有a=0或b=0吗？ 提示：不一定，因为当a0且b0时，若ab，也有ab=0(2)已知向量a与b的夹角为120，且a=b=4，那么 b(2a+b)等于_ 【解析】b(2a+b)=2ba+b 2 =244cos120+4 2 =0 答案:04空间向量的坐标运算 a=(a 1 ,a 2 ,a 3 ),b=(b 1 ,b 2 ,b 3 ).(a,b均为非零向量) 空间向量坐标运算 垂直 夹角 模 数量积 共线 a 1 b 1 +a 2 b 2 +a 3 b 3 =0 a 1 b 1 +a
7、2 b 2 +a 3 b 3【即时应用】 (1)已知空间三点A(1,1,1),B(-1,0,4),C(2,-2,3)，则 与 的夹角的大小是_ (2)已知a=(1-t,1-t,t),b=(2,t,t)，则b-a的最小值为 _.【解析】(1)由题意知 故 所以(2) 由题意得：b-a=(1+t,2t-1,0)， b-a= = 当t= 时，b-a取得最小值为 . 答案:(1) (2) 空间向量的线性运算 【方法点睛】 空间向量线性运算的方法 几何表示 坐标表示 加法 满足三角形法则和平行 四边形法则 对应坐标相加 减法 满足三角形法则 对应坐标相减 数乘 与平面向量数乘类似 把每个坐标同乘以常数空
8、间向量的加法与数乘满足的运算律与平面向量的对应运算满 足的运算律相同 【提醒】进行向量的加法运算时，若用三角形法则，必须使两 向量首尾相接；若用平行四边形法则，必须使两向量共起点 进行向量减法时，必须使两向量共起点【例1】(1)如图，在长方体ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中，O为AC的中点化 简 =_； 用 表示 ，则 =_.(2)(2012中山模拟)向量a=(3,5,-4),b=(2,1,8) 计算2a+3b,3a-2b的值. 【解题指南】(1)用已知向量表示未知向量时，在转化时要结合 向量的线性运算. (2)根据向量坐标运算的法则解题即可；【规范解答】(1) = 方法一： 方法
9、二： =答案： (或 ) (2)2a+3b=2(3,5,-4)+3(2,1,8)= (6,10,-8)+(6,3,24)=(12,13,16)； 3a-2b=3(3,5,-4)-2(2,1,8)=(9,15,-12)- (4,2,16)=(5,13,-28)【互动探究】本例中(1)的条件不变,结论改为：设E是棱DD 1 上 的点，且 ，若 ，试求x,y,z 的值 【解析】【反思感悟】1空间向量的坐标运算，关键是要注意向量坐 标与点的坐标间的关系，并熟练掌握运算公式 2用不共面的向量表示某一向量时，关键是结合图形将已知向 量和未知向量转化到三角形或平行四边形中，然后根据三角形 法则或平行四边形法
10、则，把未知向量用已知向量表示出来【变式备选】如图所示，在平行六面体 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中，设 M,N,P分别是AA 1 ,BC,C 1 D 1 的中点，试用a, b,c表示下列各向量： (1) ； (2) ； (3)【解析】(1) (2) (3) 共线向量定理、共面向量定理的应用 【方法点睛】 1.证明点共线的方法 证明点共线的问题可转化为证明向量共线的问题，如证明A,B,C 三点共线，即证明 共线，亦即证明2.证明点共面的方法 证明点共面问题可转化为证明向量共面问题，如要证明P,A,B,C 四点共面，只要能证明 或对空间任一点O，有 或 (x+y+z=1)即可共 面向
11、量定理实际上也是三个非零向量所在直线共面的充要条件【例2】已知E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的 中点,用向量法证明： (1)E，F，G,H四点共面； (2)BD平面EFGH.【解题指南】(1)证明 ，根据共面向量定理即可 得到结论；或证明FGEH，即可得到FG,EH确定一平面，故得 四点共面 (2)证明 与 共线，然后根据线面平行的判定定理解题 即可；【规范解答】(1)方法一：E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边 的中点， E,F,G,H四点共面 方法二：E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边的中点， FGEH且FG=EH，四边形EFGH为平行四边形
12、 故E,F,G,H四点共面 (2)由题意知 BDEH,又BD 平面EFGH,EH 平面EFGH BD平面EFGH【反思感悟】1.利用向量证明点共线或点共面时常用的方法是 直接利用定理向量方法为几何问题的解决提供了一种新的思路 2.向量的平行与直线的平行是不同的：直线平行是不允许重合的 ，而向量平行，它们所在的直线可以平行也可以重合【变式训练】如图所示，已知ABCD是平行四边形，P点是平面 ABCD外一点，连接PA、PB、PC、PD.设点E、F、G、H分别为PAB 、PBC、PCD、PDA的重心.(1)试用向量法证明E、F、G、H四点共面； (2)试判断平面EFGH与平面ABCD的位置关系，并用
13、向量法证明你 的判断. 【解析】(1)分别连接PE、PF、PG、PH并延长交对边于M、N、Q、 R点. 因为E、F、G、H分别是所在三角形的重心. 所以M、N、Q、R为所在边的中点，连接MN、NQ、QR、RM得到的四 边形为平行四边形，且有：连接MQ，EG，因为四边形MNQR是平 行四边形，所以 又 所以 即 由共面向量定理知E、F、G、H四点共面. Q A B C D P H G F E M N R(2)由(1)得 ，所以 又因为EG 平面ABCD，所以EG平面ABCD. 因为 所以MNEF， 又因为EF 平面ABCD，所以EF平面ABCD. 由于EG与EF交于E点， 所以平面EFGH平面A
14、BCD. 空间向量的数量积及其应用 【方法点睛】 1.空间向量数量积的计算方法 (1)定义法：设向量a,b的夹角为，则ab= abcos； (2)坐标法：设a=(x 1 ,y 1 ,z 1 ),b=(x 2 ,y 2 ,z 2 )，则 ab=x 1 x 2 +y 1 y 2 +z 1 z 2 解题时可根据条件灵活选择方法2.数量积的应用 (1)求夹角设向量a,b所成的角为，则cos= 进而可求两异面直线所成的角； (2)求长度(距离)运用公式a 2 =aa，可使线段长度的计算 问题转化为向量数量积的计算问题； (3)解决垂直问题利用ab ab=0(a0,b0)，可将垂直 问题转化为向量数量积的
15、计算问题 【提醒】用ab=abcos求向量的数量积时，关键是 确定向量的长度及夹角【例3】(1)(2012 广州模拟)已知向量a=(2，4，x)，b=(2，y ，2),若|a|=6,且ab，则x+y的值为_. (2)如图，在平行四边形ABCD中，AB=AC=CD=1，ACD=90，把 ADC沿对角线AC折起，使AB与CD成60角，求BD的长.【解题指南】(1)利用|a|=6及两向量数量积等于零，列出方程 求解即可； (2)由图形折叠的相关知识得到折叠后图形中线段的位置关系 和数量关系，然后用 表示 ，根据 求解【规范解答】(1)a=(2,4,x).|a|= x=4. 又ab,ab=22+4y+
16、2x=0 或 x+y=1或x+y=-3. 答案：-3或1(2)AB与CD成60角， =60或120， 又AB=AC=CD=1，ACCD，ACAB， = = | |=2或 .BD的长为2或 .【互动探究】本例(2)中若折起后BD的长为2，求此时AD与BC所成 的角的余弦值. 【解析】由已知 与 的夹角为135， 在BDC中，由余弦定理得cosBCD= = AD与BC所成角的余弦值为【反思感悟】1向量数量积为解决立体几何中的夹角、长度 、垂直等问题提供了一种工具，使几挝侍庾化为数的计算问题 2.解题中注意最后要将计算问题再转化为几何问题，同时要特别 注意向量的夹角与两异面直线所成角之间的关系【变式
17、备选】如图所示，已知空间四 边形ABCD的每条边和对角线长都等于 1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中 点，计算： (1) (2)EG的长； (3)异面直线EG与AC所成角的大小【解析】设 则a=b=c=1， a,b=b,c=c,a=60， (1)(2) = = = ，即EG的长为 (3)由(2)知， 故异面直线EG与AC所成的角为45【满分指导】空间向量解答题的规范解答 【典例】(12分)(2012 长沙模拟)已知空间中三点A(-2，0， 2)，B(-1，1，2)，C(-3,0,4),设 (1)若c=3,且c ,求向量c的坐标； (2)若m(a+b)+n(a-b)与2a-b垂直，求m,
18、n应满足的关系式.【解题指南】(1)求 的坐标，由c= 得c的坐标，根据 c=3求得,可得所求.(2)根据条件得到m(a+b)+n(a-b)和 2a-b的坐标，根据垂直的充要条件可求得m,n满足的条件.【规范解答】(1)由条件得a= =(1，1，0)，b= =(-1，0 ，2)， =(-2,-1,2).2分 c , c= =(-2,-1,2)=(-2,-,2).4分 c= =3=3, =1或=-1. c=(-2,-1,2)或c=(2,1,-2).6分(2)由条件得a+b=(0,1,2),a-b=(2,1,-2), 2a-b=(3,2,-2). m(a+b)+n(a-b)=(2n,m+n,2m-
19、2n). 8分 m(a+b)+n(a-b)与2a-b垂直， m(a+b)+n(a-b)(2a-b) =3 2n+2(m+n)-2(2m-2n)=12n-2m=0. m=6n.11分 即当m=6n时，可使m(a+b)+n(a-b)与2a-b垂直.12分【阅卷人点拨】通过阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下 失分警示与备考建议： 失 分 警 示 解答本题时有两点容易造成失分： (1)不能用 的坐标表示c的坐标，进而使解题思路 受阻； (2)计算中由于粗心造成向量的坐标运算不准确，导 致结果错误.备 考 建 议 解答空间向量的计算问题时，还有以下几点容易造成 失分，在备考时要高度关注： (1)对向量
20、运算法则特别是坐标运算的法则掌握不熟 练导致失误； (2)不能熟练地运用向量共线、垂直的充要条件将问 题转化. 另外，平时要重视运算的训练，强化计算速度及准确 度的训练以及熟练掌握向量运算的方法.1.(2012 珠海模拟)已知空间向量a、b，若|a|=3,|b|=2，|a- b|= ，则a,b的夹角为_. 【解析】|a|=3,|b|=2,|a-b|= ,(a-b) 2 =7, a,b= ,即所求角为 . 答案： 2.(2012 锦州模拟)在空间直角坐标系中，以点A(4，1，9)、 B(10，-1，6)、C(x,4,3)为顶点的ABC是以BC为斜边的等腰直 角三角形，则实数x的值为_. 【解析】由题意知 =(6,-2,-3), =(x-4,3,-6).又可得x=2. 答案：23.(2012 梅州模拟)给出下列命题： =0；a-b=a+b是a,b共线的 充要条件；若a与b共面，则a与b所在的直线在同一平面内； 若 ，则P,A,B三点共线 其中正确命题的序号是_【解析】由向量的运算法则知正确；只有当向量a，b共线反 向且|a|b|时成立，故不正确；当a与b共面时，向量a与b 所在的直线平行、相交或异面，故不正确；由 1知， 三点不共线，故不正确综上可得正确 答案:
