1、一维变换设随机变量X,Y满足下列函数关系 如果随机变量X,Y之间的关系是单调的，并且存在反 函数若反函数h(Y)的导数也存在，则可利用X 的概率 密度求出Y 的概率密度。,1.1.3随机变量的函数变换,根据X和Y的函数关系，如果h(Y)是单调增加的，那么随机变量Y 的分布函数为,将上式对y求导，得到随机变量y的概率密度同理，可得到当h(Y)是单调下降时随机变量Y的概率密度 函数：考虑到概率密度函数非负，无论对单调增或者单调减函 数,均有,例1.1.5随机变量X和Y满足线性关系YaX+b,X为高斯变量，a,b为常数，求Y的概率密度。,上式表明高斯变量X经过线性变换后的Y仍然是 高斯分布，其数学期
2、望和方差分别为：,1.2随机变量的特征函数,随机变量的特征函数不像分布律和数字特征那样具有明显的物理意义，但它的应用价值是不可估量的。一方面，作为一个数学工具，可使很多运算大大简化；另一方面，它有是高阶谱估计的数学基础。,1.2.1特征函数的定义与性质,特征函数也是一个统计平均量，随机变量X的特征函数就 是由X组成的一个新的随机变量 的数学期望，记为：,离散随机变量和连续随机变量的特征函数分别表示为,随机变量x的第二特征函数定义为特征函数的对数,特征函数的性质,性质3：互相独立随机变量之和的特征函数等于各随机变量特征函数之积，即若：,1.2.2 特征函数与概率密度的关系,根据特征函数的定义，特
3、征函数与概率密度有类似傅氏变换的关系即,例1.2.1 随机变量X1，X2为互相独立的高斯变量，数学期望为零，方差为1。求 Y= X1 +X2的慨率密度?解：已知数学期望为零、方差为1的高斯变量概率密度为先根据定义求X1和X2的特征函数,由特征函数的性质3由定义式得Y的概率密度由此可见，借助傅氏变换比起直接求两个随机变量之和的概率密度要简单得多。,特征函数与矩函数是一一对应的,因此特征函数也 称为矩生成函数.一阶矩与特征函数的关系为:n阶矩与特征函数的关系为:,1.2.3 特征函数与矩函数的关系,把第二特征函数展开成迈克劳林级数Cn称随机变量X的n阶累积量。由于Cn是用第二特征函数定义的，因此第
4、二特征函数也称为累积量生成函数。,例1.2.2求数学期望为零的高斯变量X的各阶矩和各阶累积量。,解:数学期望为零,方差为 的高斯变量X的概率密度为:由X的概率密度求特征函数:,再根据据函数和特征函数的关系式,求出一.二 阶矩为:继续求n阶矩:可见,高斯变量的n阶矩除了与阶数有关,主要 和方差有关.,另一方面，根据第二特征函数的定义得：再根据累积量与第二特征函数的关系式，得各阶累积量结论：高斯变量高阶矩的信息不比二阶矩的多。,1.3随机信号实用分布律,1.3.1 一些简单的分布律,一、二项式分布在n次独立试验中，若每次试验事件A出现的概率为p不出现的概率是1-p，那么事件A在n次试验中出现m次的
5、概率Pn(m)为二项式分布其概率分布函数为,二、泊松分布 当事件A在每次试验中出现的概率p很小，试验次数n很大，且np= 为常数时，泊忪分布可作为二项式分布的近似 需要注意的是,由于泊松分布是离散随机变量的分布因此,只有当m为整数时才有意义.,三、均匀分布,如果随机变量x的概率密度满足则称x为在a,b区间均匀分布的随机变量。 很容易证明其概率密度和概率分布函数,均匀分布的数学期望和方差分别为:以上三个分布中,前两个是离散随机变量,后一 个是连续随机变量.,1.3.2 高斯分布(正态分布) (只要求一维高斯变量)高斯分布也称正态分布，高斯分布的随机变量X的概率 密度为：,对上式积分可求出概率分布函数,把数学期望为零,方差为1的高斯变量称为归一化高斯变量,其概率密度为,表示的概率积分函数有以下三个主要性质：性质一： 性质二： 性质三：,图1.18给出了概率积分函数的性质,下面按讨论高斯变量的各阶中心距,结论：数学期望为0的高斯变量的n阶原点矩，就是数学期望为m的高斯变量的n阶中心矩。,高斯分布律另一个特点是： 高斯变量之和仍为高斯变量。,特征函数的关系,1.3.3 分布(自学) 1.3.4瑞利分布和莱斯分布(了解),作业:第一节课抄的题和课后1.1 1.7 1.15,
