1、双曲线知识点及题型总结1 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 双曲线定义：到两个定点 F1 与 F2 的距离之差的绝对值等于定长（|F 1F2|）的点的轨迹（ 为常数） ） 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j这两个定点叫双曲线的焦点21aP要注意两点：（1）距离之差的绝对值.（2）2a|F 1F2|，这两点与椭圆的定义有本质的不同.当|MF 1|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点 F2 所对应的一支；当|MF 1|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点 F1 所对应的一支；当 2a=|F1F2|时，轨迹是一直线上以 F1、F 2 为端点向外的两条射线；当 2a| F
2、1F2|时，动点轨迹不存在.动点到一定点 F 的距离与它到一条定直线 l 的距离之比是常数 e(e1) 时，这个动点的轨迹是双曲线 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j这定点叫做双曲线的焦点，定直线 l 叫做双曲线的准线 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j2.双曲线的标准方程：和 （a0，b0）.这里 ，其中| |=2c.要2byax222acb1F2注意这里的 a、b、c 及它们之间的关系与椭圆中的异同.3.双曲线的标准方程判别方法是：如果 项的系数是正数，则焦点在 x 轴上；如果 项的系数是正数，则焦点在 y 轴上.对2x 2y于双曲线，a 不一定大于 b，因此不
3、能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.4.求双曲线的标准方程，应注意两个问题： 正确判断焦点的位置； 设出标准方程后，运用待定系数法求解.5.曲线的简单几何性质 =1（a0，b0）2xy范围：|x| a，yR对称性：关于 x、y 轴均对称，关于原点中心对称顶点：轴端点 A1（a，0） ，A 2（a，0）渐近线：若双曲线方程为 渐近线方程2b02byxxab若渐近线方程为 双曲线可设为xay0y2y若双曲线与 有公共渐近线，可设为 （ ，焦点在 x 轴12b2bax0上， ，焦点在 y 轴上）0特别地当 离心率 两渐近线互相垂直，分别为 y= ，此时双时a2e 曲线为等轴双
4、曲线，可设为 ；y= x，y = xxa准线：l 1：x= ，l 2：x= ，两准线之距为cca21aKcM2M1 PK2K1A1 A2F2F1 oyx焦半径： ， （点 P 在双曲线的右支上 ） ；21()aPFexcxa， （点 P 在双曲线的右支上 ） ；2e当焦点在 y 轴上时，标准方程及相应性质（略） 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j与双曲线 共渐近线的双曲线系方程是 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j12bax ba)0(与双曲线 共焦点的双曲线系方程是22k6 曲线的内外部(1)点 在双曲线 的内部 .0(,)Pxy21(0,)xyab201xyab
5、(2)点 在双曲线 的外部 .,2,27 曲线的方程与渐近线方程的关系(1）若双曲线方程为 渐近线方程： .12byax20xyabxab(2)若渐近线方程为 双曲线可设为 .02(3)若双曲线与 有公共渐近线，可设为 （ ，焦点在 x12byax 2byax0轴上， ，焦点在 y 轴上）.08 双曲线的切线方程(1)双曲线 上一点 处的切线方程是 .21(0,)xyab0(,)Pxy021xyab（2）过双曲线 外一点 所引两条切线的切点弦方程是2,.021xyab（3）双曲线 与直线 相切的条件是2(0,)xab0AxByC.2ABc9 线与椭圆相交的弦长公式 2211()()B若斜率为
6、k 的直线被圆锥曲线所截得的弦为 AB， A、B 两点分别为 A(x1，y 1)、B(x2,y2)，则弦长 42122 xxkxkA,这里体现了解析几何“设而不4)()1(1212212 yykyk求”的解题思想；高考题型解析题型一：双曲线定义问题1.“ab0,b0，b0) 的左焦点，点 E 是该双曲线的右顶点，过 Fx2a2 y2b2且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A、B 两点，若ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率 e 的取值范围是( )A(1，) B(1,2) C(1,1 ) D(2,1 )2 29.设 P 为双曲线 y 21 上一动点，O 为坐标原点，M 为线段 OP 的中点，
7、则点 M 的轨4迹方程是 10.求与圆 A：（x +5） 2+y2=49 和圆 B：（x5） 2+y2=1 都外切的圆的圆心 P 的轨迹方程为_ 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j11.已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为（2，0） ，右顶点为 )0,3(（1）求双曲线 C 的方程；（2）若直线 与双曲线 C 恒有两个不同的交点 A 和 B，且:l（其中 O 为原点） . 求 k 的取值范围.BOA12.已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为(2,0)，右顶点为( ，0) 3(1)求双曲线 C 的方程；(2)若直线： y kx m(k0， m0)与双曲线 C 交于不同的两点 M、 N，且线段 MN 的垂直平分线过点 A(0，1)，求实数 m 的取值范围
