1、基于 Weibull 分布的变压器恒加试验可靠性统计分析 冯雪峰 尹继东 西南交通大学数学学院 摘 要： 为实现高可靠度长寿命产品可靠性地快速评定, 采用恒加试验方法, 建立了逆幂律-Weibull 统计模型;在逆幂律-Weibull 统计模型中, 假定试验应力各水平下 Weibull 分布型产品的失效机理保持不变, 且尺度参数与试验应力间呈对数线性关系;利用最小二乘估计 (LSE) 法估计逆幂律-Weibull 统计模型的未知参数, Weibull 分布的形状参数和尺度参数;对某型变压器恒加试验数据的统计分析表明:逆幂律-Weibull 统计模型具有可行性, 获得了对数线性加速模型, 某型变
2、压器在正常电压水平 25.8 KV 下相应可靠性指标的最小二乘估计.关键词： 加速寿命试验; 加速模型; 逆幂律-Weibull; 可靠度; 作者简介：冯雪峰 (1987) , 男, 甘肃天水市人, 硕士研究生, 从事可靠性统计和应用统计研究.收稿日期：2017-05-26基金：四川省统计科学研究计划项目 (2016SC50) Reliability Statistical Analysis of Constant-stress Accelerated Life-test for a Transformer Based on Weibull DistributionFENG Xue-feng
3、YIN Ji-dong School of Mathematics, Southwest Jiaotong University; Abstract： In order to realize rapid evaluation on high reliability and long-life products, this paper uses constant-stress accelerated life test method, sets up statistical model of inverse power-Weibull in which, suppose that the fai
4、lure mechanism of Weibull distribution products is the same under each level of experiment stress, and that the relation between scale parameter and stress level demonstrates log-linear link, the unknown parameters of the statistical model of inverse power-Weibull, shape parameter and scale paramete
5、r of Weibull distribution are estimated by least square estimation. The statistical analysis of constant-stress accelerated life-test data of a transformer shows that the statistical model of inverse power-Weibull is feasible, log-linear acceleration model is obtained, the least square estimation of
6、 reliability indexes of a kind of transformer at normal voltage stress 25. 8 KV is received.Keyword： accelerated life test; acceleration model; inverse power-Weibull; reliability; Received： 2017-05-26加速寿命试验 (Accelerated life test, ALT) 是在进行合理的工程及统计假设的基础上, 利用与物理失效规律相关的统计模型, 通过提高试验应力来使产品加速失效, 再利用加速模型来
7、外推产品在正常应力水平下的各种可靠性指标的一种寿命试验方法.采用 ALT 技术可实现对高可靠度长寿命产品可靠性水平的快速评定, 它受到了国内外可靠性工作人员的高度重视, 并在机械电子, 武器装备及航空航天等领域得到了广泛应用1-3.ALT 包括恒定应力 ALT (简称恒加试验) , 步进应力 ALT (简称步加试验) 和序进应力 ALT (简称序加试验) .目前, ALT 的研究主要集中在加速模型, ALT 数据的统计分析以及 ALT 的优化设计方面.在加速模型方面, 典型的加速模型有逆幂律 (Inverse power) 模型, Coffin-Manson 模型等.逆幂律模型描述了诸如电压或
8、压力这样的应力与产品寿命之间的关系4.在 ALT 数据的统计分析方面, 王炳兴等 (2002) 5基于恒加速试验数据研究了 Weibull 分布下可靠度的渐近无偏估计及渐近置信区间;Watkins (2008) 6基于 Weibull 分布的恒加试验数据提出了一种简化的极大似然估计方法, 研究表明简化的极大似然估计方法提高了计算效率和模型参数估计值的稳健性;郑光玉等 (2013) 7在两参数广义指数分布下研究了自适应逐步型混合截尾恒加试验的统计分析方法.在 ALT 的优化设计方面, 钱萍 (2009) 8提出了航天电连接器综合应力加速寿命试验优化方案, 优化方案大大减少了试验次数, 提高了试验
9、数据的估计精度;陈文华等 (2010) 9以正常应力下产品中位寿命估计值的方差最小化为准则, 利用极大似然估计理论和累积失效模型, 提出了步加试验的优化方案;李新翼等 (2013) 10建立了广义指数分布定时截尾简单步加试验的数学模型, 以正常应力水平下一段时间内可靠度估计值的渐进方差最小为准则, 研究了试验的最优设计方案等.在 ALT 中, 恒加试验的优点是统计精度高, 理论和方法成熟.常用的 Weibull 分布的参数估计方法有极大似然估计 (MLE) , 最小二乘估计和矩估计法, MLE 和LSM 相比较而言, 虽然用 MLE 法得到的模型参数的均方误差最小, 但通常需要采用数值计算来求
10、解模型参数的估计值;而 LSM 的原理简单且计算复杂度小, 在大多数场合都能得到广泛的应用.因此, 以某型变压器恒加试验数据为研究对象, 采用 LSM 估计逆幂律-Weibull 统计模型的未知参数, 并利用加速模型对正常应力水平下的各种可靠性指标进行统计推断.1 逆幂律-Weibull 统计模型变压器在工作期间, 电压是影响其可靠性的最主要因素4.在电应力作用下, 变压器的寿命 T 服从双参数 Weibull 分布, 其累积分布函数为式 (1) 中:m0 为形状参数, 0 为特征寿命或尺度参数.逆幂律-Weibull 统计模型假设如下:A1 在电应力水平 Si下, 产品的寿命服从双参数 We
11、ibull 分布 W (mi, i) , mi0和 i0 (i=0, 1, , k) 分别为应力水平 Si下的形状参数和特征寿命.A2 在各电压应力水平 Si下, Weibull 分布的形状参数 m 是保持不变, 即产品的失效机理保持不变.A3 产品的特征寿命 i与电应力水平 Si间满足对数线性加速模型:式 (2) 中: (S i) =ln Vi, 0, 1为待估参数;S i是电压应力水平.为方便起见, 记上述假设是否成立, 获取试验观测数据后都可以进行检验.检验方法分别可采用:范蒙特福特检验法, 巴特利特检验法和相关系数检验法11.2 逆幂律-Weibull 统计模型的假设检验2.1 威布尔
12、分布的假设检验在对各电压应力 Si下的寿命数据进行统计分析之前, 首先要检验样本数据是否服从 Weibull 分布.假设产品的寿命分布为 F (t) , 则要检验假设:基于截尾 (定时或定数) 样本数据 t1t 2t r, 采用范蒙特福特检验法11来检验假设 H0是否成立.令则 xi和 Zi分别是来自极值分布和标准极值分布的第 i 个次序统计量, i=1, 2, , r, 其中 =ln, =1/m 为未知参数.范蒙特福特提出统计量:并证明了在 H0成立下, 诸 Gi渐近独立且服从标准指数分布.把 Gi均分为两组, 则统计量:在 H0成立下的条件下, 渐近服从第一自由度为 2 (rr-1) 和第
13、二自由度为 2r的 F 分布, 其中 r=r/2.对于给定的显著性水平 , 如果则认为 H0不成立, 否则可认为该截尾样本来自 Weibull 分布, 其中 F (f1, f2) 是第一自由度为 f1, 第二自由度为 f2的 F 分布的 分位数.2.2 形状参数不变的假设检验威布尔分布 W (mi, i) 中的形状参数 mi不变的检验可采用巴特利特检验法11, 首先提出假设:根据巴特利特检验统计量的构造, 记由巴特利特检验原理知, 若原假设 H0成立, 则 B/C 渐近服从自由度为 k-1 的 分布.给定显著性水平 , 若 B/C 1- (k-1) , 则认为 H0不成立;否则可认为 H0成立
14、, 即各应力水平下 Weibull 分布的形状参数 mi不变.其中, i=1/mi, , 为 i的最优线性无偏估计方差系数.2.3 对数线性加速模型的假设检验试验应力水平 Si与特征寿命 i间是否满足对数线性关系, 即对数电压 ln i与对数特征寿命 ln i间是否存在线性关系:这需要进行检验.通常采用相关系数检验法来度量变量间是否存在线性关系及线性关系程度的强弱.首先计算样本相关系数:在显著性水平 下, 若|r|r 成立, 则认为样本中 i与 yi相关, 这意味着选取的对数线性加速模型可用;若|r|r 成立, 则认为样本中 i与 yi不相关, 这意味着选取的对数线性方程不能刻画特征寿命与试验
15、应力间的关系.3 逆幂律-Weibull 统计模型的参数估计3.1 威布尔分布的参数估计对于 Weibull 分布, 恒加试验数据统计分析方法有:最小二乘估计 (LSM) , 基于次序统计量各类线性估计, 极大似然估计 (MLE) 和图估计等.LSM 具有方法简单和计算容易的优点, 因此得到广泛应用.若产品的寿命 T 服从双参数 Weibull 分布, 对式 (1) 两边进行两次对数变换可得:若记则方程 (4) 可化为线性方程:式 (6) 中:b=-/, =ln, =1/m.利用应力水平 Si下的寿命试验数据 ti1“ti2“tiri, 累积失效概率 Fi (tij) 可用中位秩公式 (7)
16、进行计算:从而获得试验数据:根据式 (5) , 恒加试验数据就可以转化到新的坐标系 (x, y) 下, 即式 (8) 转化为采用 LSM 拟合式 (9) 的试验数据12, 拟合直线的系数 bi和 mi的最小二乘估计值为假设 A2 认为 k 个加速应力水平下 Weibull 分布的形状参数在一定的误差范围内保持不变, 故可用 k 个最小二乘估计 的加权平均值作为共同形状参数 m 的估计, 即3.2 加速模型中 0和 1的估计假设 A3 认为试验应力与特征寿命间呈对数线性关系, 即 ln= 0+ 1 (S) .在 3.1 中已获得了各应力水平 Si下特征寿命 i的估计 , 故可用相关系数检验法检验
17、此假设.若 (S i) 与 m i间存在显著的线性相关关系, 则意味着假设 A3 成立, 此时可用最小二乘估计法估计加速模型 ln= 0+ 1 (S) 中的未知参数 0, 1.设 x= (S) , y=ln, 则线性回归模型为根据最小二乘估计方法, 可得 0, 1的最小二乘估计 :相应的回归方程为获得 0, 1的估计值 后, 就可以求出正常应力水平 S0下各种可靠性指标的估计.平均寿命 tE, 0, 可靠度为 R 的可靠寿命 tR, 0和 p 分位寿命 tp的估计分别为:4 试验数据的可靠性统计分析为获得某型变压器在正常电应力水平 15.8 KV 下的 p 分位数寿命 tp和可靠度为R 的可靠
18、寿命 tR, 0的估计, 对型变压器进行 3 个应力水平的恒加试验, 获得试验数据如表 1 所示.现基于表 1 列举的恒加试验数据来对型变压器进行可靠性统计分析.采用的统计分析软件为 R 软件13.表 1 恒定应力加速寿命试验数据 Table 1 Data of constant-stress accelerated life test 下载原表 4.1 逆幂律-Weibull 统计模型的检验采用范蒙特福特检验法对表 1 的恒加试验数据进行 Weibull 分布的假设检验, 其检验结果如表 2 所示.表 2 Weibull 分布拟合优度检验结果 Table 2 Goodness of fit
19、test results for Weibull distribution 下载原表 在显著性水平 =0.1 下, F 0.95 (6, 8) =3.58, F0.05 (6, 8) =0.24, 显然1.365, 1.371, 0.689 介于 F0.05 (6, 8) 和 F0.95 (6, 8) 之间, 因此可以接受原假设 H0, 即可以认为这批变压器的寿命服从双参数 Weibull 分布.其次, 在显著性水平 =0.1 下, 巴特利特检验统计量的值 B/C=0.898, 它小于临界值 0.9 (2) =4.605, 故可接受原假设 H0, 即可认为在各电压水平下Weibull 分布的形
20、状参数相等, 即 m1=m2=m3.4.2 威布尔分布形状参数和尺度参数的估计对表 1 中 3 组恒定应力 Si (i=1, 2, 3) 下的寿终数据按照式 (9) 进行变换, 采用 LSM 分别对变换后的数据进行直线拟合, 其最小二乘拟合直线见图 1.拟合直线的调整的 R 分别为 R1=0.939, R2=0.986, R3=0.919, 它们都大于 0.9, 说明回归方程的拟合效果较好.最后结合式 (11) 可得各应力水平 Si (i=1, 2, 3) 下形状参数 mi和尺度参数 i的估计值 ;其结果如表 3 所示.图 1 分布直线拟合结果 Fig.1 Fitting results of
21、 distribution line 下载原图表 3 应力水平 Si 下 mi 和 i 的最小二乘估计 Table 3 Least squares estimators of miandi under stress levels Si 下载原表 4.3 加速模型的估计在 4.2 中已求出各应力水平 Si下尺度参数 i的估计值 , 其具体数值如表 3 所示.现在来检验假设 A3 是否成立, 即判断特征寿命与电压应力间是否存在显著的对数线性关系.利用式 (3) 可计算出 (S) 与 m 间的相关系数 r=-0.991.在 =0.01 显著性水平下, 由于|r|=0.9910.834 3=R 0.0
22、1, 故可认为假设 A3 成立.另外, 对数特征寿命关于对数电压的散点图也表明 ln i与 (S i) 高度线性相关, 其散点图如图 2 所示.上述检验表明 ln i与 (S i) 高度线性相关, 因此采用最小二乘估计法来估计加速模型中的系数 0与 1, 其估计结果如表 4 所示.图 2 对数特征寿命关于对数电压的散点图 Fig.2 The scatter diagram of log-characteristic voltage for log-characteristic life 下载原图表 4 加速模型系数的估计值 Table 4The estimators of coefficien
23、ts for acceleration model 下载原表 得到加速模型参数估计值后即可获得加速模型:4.4 正常应力水平下可靠性指标的估计正常应力水平 S0下 Weibull 分布参数的估计为正常应力水平 S0下相应的可靠性指标估计结果如表 5 所示.表 5 正常应力水平下可靠性指标估计 Table 5Estimation of reliability indexes at normal stress level 下载原表 正常应力水平 S0下可靠度函数为其相应的可靠度曲线如图 3 所示.图 3 正常应力水平下可靠度曲线 Fig.3 Reliability curve at the normal stress level 下载原图5 结论采用恒加试验方法, 建立逆幂律-Weibull 统计模型来实现高可靠度长寿命产品可靠性地快速评估, 并利用最小二乘估计法对某型变压器在 3 个加速应力水平下的恒加试验数据进行可靠性统计分析, 得结论:
