1、1泉州台商投资区惠南中学 2018 年春季期中考试卷高二数学（理科）考试时间：120 分钟 满分：150 分 2018.4.28班级 座号 姓名 第卷（选择题 共 60 分）一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，每题只有一个正确选项）1.已知 ，则复数 的共轭复数 在复平面内所对应的点位于（ ）132zizzA. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限2若 个人报名参加 项体育比赛，每个人限报一项，则不同的报名方法的种数有（ ）4A. B. C. D. 3A34C43343函数 的导函数是（ ）xy23A. B. =322 =232C. D. =322
2、+22 =322+2324曲线 在点 处的切线方程为（ ）xfe(0,fA. B. C. D. yy12yx13yx5 九章算术卷 5商功记载一个问题“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺 .问积几何？答曰：二千一百一十二尺.术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”.这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一”. 就是说：圆堡瑽（圆柱体）的体积为 (底面圆的周长的平方 高)，则由此可推得圆周率 的取值为（ ）12VA. B. C. D. 33.3.143.26函数 在 上的最大值和最小值分别是（ ）3215yxx0,A. B. C. D. 4,15,5,5,1627如图是函
3、数 的导函数 的图像，则下面判断正确的是（ ）yfxyfxA. 在区间 上 是增函数 2,1B. 在 上 是减函数3fxC. 在 上 是增函数 4,5D. 当 时， 取极大值xfx8已知函数 ，则（ ）2sin3icosxA. 的最小正周期为 B. 的最大值为 2fxfxC. 在 上单调递减 D. 的图象关于直线 对称f5,36f 6x9设 ，则 间的大小关系是（ ）2,7,62abc,abcA. B. C. D. caacb102017 年，北京召开“一带一路”国际高峰论坛，组委会要从 6 个国内媒体团和 3 个国外媒体团中选出 3 个媒体团进行互动提问，要求这三个媒体团中既有国内媒体团又有
4、国外媒体团，且国内媒体团不能连续提问，则不同的提问方式的种数为（ ）A. 198 B. 268 C. 306 D. 37811函数 的图象大致是（ ）lnsi0fxxx且A. B. C. D. 312设函数 (其中 为自然对数的底数，若函数 至少存在一2lnxfxeaefx个零点，则实数 的取值范围是（ ）aA. B. C. D. 210,e210,e21,e21,e第 II 卷（非选择题 共 90 分）二、填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分，满分 20 分 ）13. 定积分 的值为_.12xd14. 随着中国电子商务的发展和人们对网购的逐渐认识，网购鲜花速递行业迅速兴起佳佳为祝福母亲的
5、生日，准备在网上定制一束混合花束客服为佳佳提供了两个系列，如下表：粉色系列 黄色系列玫 瑰 戴安娜、粉佳人、糖果、桃红雪山 假日公主、金辉、金香玉康乃馨 粉色、小桃红、白色粉边 火焰、金毛、黄色配 叶 红竹蕉、情人草、满天星 散尾叶、栀子叶、黄莺、银叶菊佳佳要在两个系列中选一个系列，再从中选择 2 种玫瑰、1 种康乃馨、2 种配叶组成混合花束请问佳佳可定制的混合花束一共有_种15. 2017 年吴京执导的动作、军事电影战狼 2上映三个月，以 56.8 亿震撼世界的票房成绩圆满收官，该片也是首部跻身全球票房 TOP100 的中国电影小明想约甲、乙、丙、丁四位好朋友一同去看战狼 2 ，并把标识分别
6、为 A,B,C,D 的四张电影票放在编号分别为 1,2,3,4的四个不同盒子里，让四位好朋友进行猜测：甲说：第 1 个盒子里面放的是 B，第 3 个盒子里面放的是 C；乙说：第 2 个盒子里面放的是 B，第 3 个盒子里面放的是 D；丙说：第 4 个盒子里面放的是 D，第 2 个盒子里面放的是 C；丁说：第 4 个盒子里面放的是 A，第 3 个盒子里面放的是 C.小明说：“四位朋友，你们都只说对了一半 ”可以推测，第 4 个盒子里面放的电影票为_.416对于函数 有以下说法：3,0fxa 是 的极值点.0x当 时， 在 上是减函数. afx, 的图像与 处的切线必相交于另一点. fx1,当 时
7、， 在 上是减函数.0fx,其中说法正确的序号是_.三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分 10 分）复数 ，满足 的虚部是 2，Z 对应的点 在第一象限.,zxyiR2,zA（I）求 Z；（II）若 在复平面上对应点分别为 ，求 .2,z,ABCcos18 （本小题满分 12 分）已知函数 （ ） ， .321fxaxb,R021ff（I）求曲线 在点 处的切线方程；y,f（II）若函数 ， ，求 的单调区间和最小值.4gxfx3,2gx519 （本小题满分 12 分）如图,在四棱锥 中，平面 平面 ， ， ， ， ，点 在
8、棱 上，且=1 =2 =90 .=（I）求证： ；（II）是否存在实数 ，使得二面角 的余 弦值为 ，若存在，求出实数 的值；510若不存在，请说明理由.20 （本小题满分 12 分）如图，某地有三家工厂，分别位于矩形 ABCD 的顶点 A、B 及 CD 的中点 P 处，已知AB=20km,CB =10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形 ABCD 的区域上（含边界） ，且与 A、B 等距离的一点 O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道 AO、BO、OP ，设排污管道的总长度为 kmy（I）按下列要求写出函数关系式：设BAO= (rad)，将 表示成 的函数；y设 OP (km) ，将
9、 表示成 的函数xx（II）请选用（I）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使铺设的排污管道总长度最短621 （本小题满分 12 分）已知椭圆方程为 ，它的一个顶点为 ，离心率 .210xyab0,1M63e（I）求椭圆的方程；（II）设直线 与椭圆交于 ， 两点，坐标原点 到直线 的距离为 ，求 面lABOl2AOB积的最大值.22 （本小题满分 12 分）已知 ， 211xfxea,x（I）讨论 的单调性；（II）若 ，求实数 的取值范围2lnfxx泉州台商投资区惠南中学 2018 年春季期中考试卷高二数学（理科）参考答案 考试时间：120 分钟 满分：150 分 2018.4.28
10、班级 座号 姓名 第卷（选择题 共 60 分）7一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，每题只有一个正确选项）1.已知 ，则复数 的共轭复数 在复平面内所对应的点位于（ ）132zizzA. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】D【解析】由题意 ， ，对应点为21326311305ii iz i 315zi，在第四象限，故选 D.3,52若 个人报名参加 项体育比赛，每个人限报一项，则不同的报名方法的种数有（ ）43A. B. C. D. 3A4C4334【答案】C【解析】四名同学报名参加 3 项体育比赛，每人限报一项，每人有 3 种报名方法；
11、根据分步计数原理，可得共有 3333= 种不同的报名方法，故选 C.43函数 的导函数是（ ）xy23A. B. =322 =232C. D. =322+22 =322+232【答案】D【解析】 ，故选 D考点：导数的计算4曲线 在点 处的切线方程为（ ）xfe(0,fA. B. C. D. y2y12yx13yx【答案】A【解析】由函数的解析式有： ，0fe由题意可得： ，11xxfe则函数在点 处的切线的斜率为： ，(0, 01kfe据此可得曲线 在点 处的切线方程为 ，xfe(0,f 0yx8即 .yx5 九章算术卷 5商功记载一个问题“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺 .问积几何？答
12、曰：二千一百一十二尺.术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”.这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一”. 就是说：圆堡瑽（圆柱体）的体积为 (底面圆的周长的平方 高)，则由此可推得圆周率 的取值为（ ）12VA. B. C. D. 33.3.143.2【答案】A【解析】设圆柱体的底面半径为 ，高为 ，由圆柱的体积公式得体积为： .rh 2Vrh由题意知 .21V所以 ，解得 .2rhrh3故选 A.6函数 在 上的最大值和最小值分别是（ ）3215yxx0,A. B. C. D. 4,15,5,45,16【答案】B【解析】由题设知 y=6 x26x12，令 y0，解
13、得 x2，或 x0,y0 知，x=1,y=12 1xy（2）由（1）值 z=1+i, , 2zi21zi所以 A（1,1） ，B（0,2） ，C（1，-1）有 AB= ，AC=2，BC= 0由余弦定理可得 cosABC= 245118 （本小题满分 12 分）已知函数 （ ） ， .321fxaxb,R021ff（I）求曲线 在点 处的切线方程；y,f（II）若函数 ， ，求 的单调区间和最小值.4gxfx3,2gx15（1）因为 ，2fxab由 即 ，得 ，01ff41ab则 的解析式为 ，即有 ， fx32fxx3f4f所以所求切线方程为 .90y（2） ， ，321gxx2gx由 ，得
14、或 ，2 13由 ，得 ，30xx ，,2 的单调增区间为 ，减区间为 ，gx,11,2 ，2393g 的最小值为 .x19 （本小题满分 12 分）如图,在四棱锥 中，平面 平面 ， ， ， ， ，点 在棱 上，且=1 =2 =90 .=（I）求证： ；（II）是否存在实数 ，使得二面角 的余 弦值为 ，若存在，求出实数 的值；51016若不存在，请说明理由.解析：（）过点 作 交 于 ， ， ，=1 =2 =90四边形 为正方形，且 ， =1 =2在 中， ，在 中， =2 2+2=4=2=90,又平面 平面 ，平面 平面 =平面 平面 ，且, =平面 （） =90又平面 平面 ，平面 平
15、面 =平面 ， 以点 为坐标原点， 、 、 所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系， (0,0,0),(0,0,1),(1,1,0),(0,2,0),=(1,1,0),=(0,2,0)假设存在实数 使得二面角 的余弦值为 ，令 105 =点 在棱 上， 0,1设 (,)=,(1,1,)=(1,1,1)则 ，(1,1,) =(1,1,)平面 ， 平面 的一个法向量为 =(1,1,0)设平面 的一个法向量为 =(1,1,1)由 得 令 得=0=0 (1)1+(1)1+1=01=0 =1 =(1,0,1)= 11(,0,1)取 =(,0,1)|=|= 2+(1)2 2=105化简得 又 328+4=0
16、0,1=2317存在实数 使得二面角 的余弦值为 .=23 10520 （本小题满分 12 分）如图，某地有三家工厂，分别位于矩形 ABCD 的顶点 A、B 及 CD 的中点 P 处，已知AB=20km,CB =10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形 ABCD 的区域上（含边界） ，且与 A、B 等距离的一点 O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道 AO、BO、OP ，设排污管道的总长度为 kmy（I）按下列要求写出函数关系式：设BAO= (rad)，将 表示成 的函数；y设 OP (km) ，将 表示成 的函数xx（II）请选用（I）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使铺设
17、的排污管道总长度最短试题解析：（1）由条件知 PQ 垂直平分 AB，若BAO= (rad) ，则 , 故 ，又 OP ，10cosAQO10cosOB10tan所以 ， yP所求函数关系式为 201sin0coy4若 OP= (km) ，则 OQ10 ，xx所以 OA =OB= 221018所求函数关系式为 2010yxxx（2）选择函数模型， 2 21cossin10sicscoi令 0 得 sin ，因为 ，所以 = ，y2046当 时， ， 是 的减函数；当 时， ， 是 的,6y,40y增函数，所以函数 在 = 时取得极小值，这个极小值就是最小值 这时 min13(km)1023cos
18、6OAB因此，当污水处理厂建在矩形区域内且到 A、B 的距离均为 (km)时，铺设的排污管道203总长度最短21 （本小题满分 12 分）已知椭圆方程为 ，它的一个顶点为 ，离心率 .210xyab0,1M63e（I）求椭圆的方程；（II）设直线 与椭圆交于 ， 两点，坐标原点 到直线 的距离为 ，求 面lABOl2AOB积的最大值.（1）设 ，2cab19依题意得 解得 椭圆的方程为 .21 63bcae3 1ab213xy（2）当 轴时， .ABxAB当 与 轴不垂直时，设直线 的方程为 ，12,ykxmAyBx由已知 ，得 ，把 代入椭圆方程，整理得231mk2214k，22360x .
19、12123,kxk ，2222221 136mkABk22221+39=31mkk.2420496123696k当且仅当 ，即 时等号成立，此时 .当 时， .2k3AB0k3AB综上所述：，此时 面积取最大值 .max2ABAOBmax1322S22 （本小题满分 12 分）20已知 ， 211xfxea,x（I）讨论 的单调性；（II）若 ，求实数 的取值范围2lnfxx试题解析：（1） ， xfea2xea当 时， ， 在 上单调递增； 2ea1,x0ff1,当 时，由 ，得 flnx当 时， ；当 时， ,lnxfl2,a0fx所以 在 单调递减；在 单调递增 f1,2a（2）令 ，21lnxgxex问题转化为 在 上恒成立，0,，注意到 2xea 0g当 时， ，121gea，ln2llnga因为 ，所以 ， ，1el21al210ga所以存在 ，使 ，0,x0x当 时， ， 递减，,gx所以 ，不满足题意 1gx当 时， ，2ea1xex 1xex因为 ， ， ，xx0所以 ， 在 上单调递增；所以 ，满足题意0g1,10g21综上所述： 12ea
