1、第4讲 平面向量的应用举例,1.向量在平面几何中的应用,平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题.,设a(x1，y1)，b(x2，y2)，为实数.,(1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线,向量定理：,abab(b0)x1y2x2y10.(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质：abab0_.(3)求夹角问题，利用夹角公式：,x1x2y1y20,2.平面向量与其他数学知识的交汇,平面向量作为一种运算工具，经常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等知识结合.当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平
2、行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式.在此基础上，可以求解有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题.此类问题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是利用平面向量平行或垂直的充要条件；二是利用向量数量积的公式和性质.,1.(2016 年新课标)已知向量 a(1，m)，b(3，2)，且,(ab)b，则 m(,),A.8,B.6,C.6,D.8,解析：向量 ab(4，m2)，由(ab)b，得 43,(m2)(2)0，解得 m8.故选 D.,D,A.1,B.2,C.3,D.5,解析：a22abb210，a22abb26，两式相减，得4ab4，ab1.,则 ab_.,A,10,
3、4.已知 a(2,3)，b(4,7)，则 a 在 b 方向上的投影为,_.,6,5.已知向量 a(m,4)，b(3，2)，且 ab，则 m_.解析：由 ab，得 122m，解得 m6.,考点 1,平面向量在三角函数中的应用,【规律方法】以向量为载体研究三角函数中的最值、单调性、周期等三角函数性质及三角恒等变换问题是高考中常见的考查形式，向量仅仅作为一个工具提供某种条件；解题时一般,量问题等价转化为三角函数问题，再应用三角函数的相关知识解答.,【互动探究】,1.在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且,(1)a 和 c 的值；,(2)cos(BC)的值.,(2)在ABC 中，,考点
4、2,平面向量在平面几何中的应用,(2)(2016 年天津)已知ABC 是边长为 1 的等边三角形，点 D，E 分别是边 AB，BC 的中点，连接 DE 并延长到点 F，使得,答案：B,答案：D,【规律方法】用向量方法解决平面几何问题的步骤：(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的,几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系；(3)把运算结果“翻译”成几何关系.,建立平面几何与向量的联系的主要途径是建立平面直角坐标系，将问题坐标化，利用平面向量的坐标运算解决有关问题.,【互动探究】,2.(2013 年新课标)已知正方形 ABCD 的边长为 2，E 为,解析：方法一，如图 D30，以 A 为坐标原点，AB 所在的直线为 x 轴，AD 所在的直线为 y 轴，建立平面直角坐标系，则,图 D30,答案：2,考点 3,平面向量在解析几何中的应用,答案：6,(2)(2017 年新课标)在矩形 ABCD 中，AB1，AD2，,解析：如图 D29，建立平面直角坐标系，则 A(0,1)，B(0，0)，C(2,0)，D(2,1)，设 P(x，y)，根据等面积公式可得圆的半径,图 D29,答案：A,图 4-4-1,
