1、1切线长定理与三角形的内心1. 切线长的概念经过圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。说明：“切线”和“切线长”是两个不同的概念， “切线”是直线，不可度量，是无限长的；而“切线长”是切线上一条线段的长，即圆外一点与切点之间的距离，可以度量，是有一定长度的。2. 切线长定理从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。符号语言：PA、PB 分别切O 于 A、B，PA PB，12。说明：（1）从圆外任意一点都可以引圆的两条切线，过圆上一点只能引圆的一条切线。（2） “切线长定理”为证明线段相等，角相等，弧相等，垂直关系提供了理
2、论依据。3. 三角形的内心与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心，是三角形的三个内角角平分线的交点。说明：三角形的内心一定在三角形的内部；三角形的内心，是三角形的三个内角角平分线的交点；三角形的内心到三边的距离相等且都等于三角形内切圆的半径。4. 切线长定理的基本图形研究如图，P 是O 外一点，PA、PB 是O 的两条切线，直线 OP 交O 于 D、E，交弦 AB于 C，则：2由切线长定理得：PAPB由等腰三角形三线合一性质得：PCAB，ACBC由垂径定理得： ；ADBDAD=B由切线性质定理得：OAAP，OBBP1234，5678由 AD、BD 分别平分
3、PAB 和PBA 得点 D 为ABP 的内心。例题 如图， RtABC 的内切圆 O 与两直角边 AB、BC 分别相切于点 D、E，过劣弧（不包括端点 D、E）上任一点作O 的切线 MN 与 AB、BC 分别交于 点 M、N，若O 的DE 半径为 r，则 RtMBN 的周长为（ ）A. r B. C. 2r D. r23r25 MNED OBACP解析：在切线性质定理中，常见的辅助线是连接经过切点的半径，结合切线长定理可知 ， ，再根据三角形周长的定义及等量代换即可求解。MDP解：连接 OD、OE， 的内切圆，ODAB，OEBC。又RtA是的切线，且 、 是切点，MDMP，同理可得 。,OA都
4、 是 DPNPEBDRtBNCBNMBDBE2r。 选 C。答案：C3点拨：涉及到圆的切线性质定理或判定定理时，最常见的辅助线添法是连接经过切点的半径，而且半径与切线垂直。对直角三角形来说，内切圆的半径 （a、b 是2cr直角边， 是斜边） 。c利用切线长定理进行推理证明“切线长定理”为证明线段相等，角相等，弧相等，垂直关系提供了理论依据。必须掌握并能灵活应用它进行相关的计算和证明。满分训练 已知O 中，AC 为直径，MA、MB 分别切O 于点 A、B。（）如图，若BAC25，求AMB 的大小；（）如图，过点 B 作 于点 E，交O 于点 D，若 BDMA，求AMB 的大DAC小。图 图解析：
5、（1）由切线与经过切点的半径垂直，BAC25，易算MAB，再由切线长定理，可得 MAMB，则MBAMAB 得解。 （2）连接 BA、BD，可得平行四边形 BMAD 是菱形，由 ，可得 BAADBD，可得BAD 为等边三角形，从而可得AMB60。ABD答案：解：（）MA 切O 于点 A，有 。又BAC25，90MC 。MA、MB 分别切O 于点、B。65MACBMAMB，有 ， 。18()50AM（）如图，连接 AD、AB。 ，又 ，BDMA。又 BDMA。 四边形 MADB 是平行四边形。MACBDAMAMB，四边形 MADB 是菱形，有 ADBD。又 AC 为直径， ，得BDAC，有 ABA
6、D。 是等边三角形，有 。在菱形 MADB 中，B60AMB 。60点拨：利用切 线 长 定 理 时 ， 恰 当 的 添 加 辅 助 线 ， 构 造 特 殊 的 图 形 ， 有 利 于 问 题 的 快速 解 决 。4（答题时间：30 分钟）1. 一个钢管放在 V 形架内（如图） ，O 为钢管的圆心。如果钢管的半径为 25 cm，MPN60 ，则 OP（ ）A. 50 cm B. 25 3cm C. cm D. 50 3cm3502. 如图，O 是ABC 的内心，过点 O 作 EFAB，与 AC、BC 分别交于点 E、F，则（ ）A. EFAEBF B. EFAEBF C. EFAEBF D.
7、EFAEBF 3. 如图，AB 为半圆 O 的半径，AD、BC 分别切 于 A、B 两点，CD 切 于点 E，ADOOA与 CD 相交于 D，BC 与 CD 相交于 C，连接 OD、OC，对于下列结论： ；2DC； ； ； 。其中正ABC12ABCDS形 90确的结论有（ ）A. B. C. D. 4. （武汉中考）如图，A 与B 外切于点 D，PC、PD、PE 分别是圆的切线，C、D、E是切点，若CED x，ECD y，B 的半径为 R，则 的长度是（ ）A. 90R B. 90R C. 180x D. 180Ry55. 如图，PA、PB 是O 的切线，A、B 为切点，AC 是O 的直径，若
8、P46，则BAC 。6. 如图，O 的外切梯形 ABCD 中，若 ，那么 的度数为 。BCAD/O7. 如图， O 是四边形 ABCD 的内切圆， E、F、G、H 是切点，点 P 是优弧 EFH 上异于E、H 的点。若A50，则EPH 。 图6POHGFEDCBA8.（恩施州中考）如图所示，一半径为 1 的圆内切于一个圆心角为 60的扇形，则扇形的周长为 。9. 如图，AB 是O 的直径，AM、BN 分别与O 相切于点 A、B，CD 交 AM、BN 于点D、 C， DO 平分ADC。（1）求证：CD 是O 的切线；（2）若 AD4，BC9，求O 的半径 R。610. 如图，AB 是O 的直径，
9、 AM 和 BN 是它的两条切线，DE 切O 于点 E，交 AM 于点D，交 BN 于点 C，（1）求证：ODBE；（2）如果 OD6cm，OC8cm，求 CD 的长。11.（雅安中考）如图，AB 是O 的直径，BC 为O 的切线，D 为O 上的一点，CDCB，延长 CD 交 BA 的延长线于点 E。（1）求证：CD 为O 的切线；（2）若 BD 的弦心距 OF1，ABD30，求图中阴影部分的面积。 （结果保留 ）71. A 解析：由切线长定理知： OPN MPN30 ，所以在 RtOPN 中，12OP2ON50 cm，故选 A。2. C 解析：如下图，连接 OA、OB，则 OA、OB 分别是
10、CAB 与CBA 的平分线，则EAOOAB，又 EFAB，则EOAOABEAO，则 EAEO，同理可求出：FOFB，则 EFAEFB；3. A 解析： 如图，连接 OE，中结论可由切线性 质及切线长定理可得OECD，12，34，所以2390，可证OEDCOD，得；根据切线长定理可得 ADDE，BCCE，所以 ，中结2ODEC ADBC论不正确，中高应该是 AB，而不是 OA。故选 A。4. B 解析：由切线长定理，知： PEPDPC，设PECz，所以，PEDPDE（xz），PCEPECz，PDCPCD（yz），DPE（1802x2z），DPC （1802y2z），在PEC 中，2z（1802x
11、2z）（1802y2z）180，化简，得：z（90xy），在四边形 PEBD 中，EBD（180DPE）180（1802x2z）（2x2z）（2x1802x2y）（1802y），所以，弧 DE 的长为： 90Ry，故选 B。(1802)y5. 23 解析：由 PA、PB 是O 是切线，PAPB，又P46，PABPBA67，又 PA 是O 是切线，AO 为半径，OAAP，OAP90，BACOAPPAB906723 。 6. 90 解析： 若 ADCDCB180 又DA 、 DC 与 O 相切，BCAD/ODCOCD （ADCDCB） 90， 90。12DOC7. 65 解析：连接 OH、 OE，
12、因为 O 是四边形 ABCD 的内切圆，所以OH AD， OE AB，而 A50，所以 HOE130，所以 EPH HOE65。1288. 6 解析：如图所示：设O 与扇形相切于点 A、B，则CAO90，ACB30，一半径为 1 的圆内切于一个圆心角为 60的扇形，AO1，CO2AO2，BC213，扇形的弧长为： ，则扇形的周长为：336。9. 解析：（1）证明：过点 O 作 OE CD 于点 E。AM 且O 于点 A，OAAD。又DO 平分ADC，OEOA。又OA 是O 的半径。CD 是O 的切线。（2）解：过点 D 作 DFBC 于点 F。 （如上图）AM、BN 分别切O 于点 A、B，A
13、BAD，ABBC，四边形 ABFD 是矩形。ADBF，ABDF。又AD4，BC9。FC945。又AM、BN、DC 分别切O 于点A、B、E。DADE，CBCE，DCADBC4913。在 RtDFC 中，DC 2DF 2FC 2。DF 12。AB12。O 的半径 R 是 6。22-135CF10. 解析：（1）证明：连接 OE，AD 和 DE 是O 的两条切线，AOD EOD AOE， 弧 AE 所 对 的 圆 心 角 是 AOE， 弧 AE 所 对 的 圆 周 角 是 ABE， ABE AOE，AOD ABE，ODBE 。29（2）如下图，BC 和 CE 是O 的两条切线，CECB，点 C 是
14、线段 BE 垂直平分线上的一点，又OBOE，点 O 是线段 BE 垂直平分线上的一点，线段 OC 是线段 BE 的垂直平分线，OCBE，OD BE；OCO D 在 RtOCD 中，OD6cm，OC8cm，根据勾股定理，得 CD 10 cm。2CD11. 解析：（1） 证明：连接 OD， BC 是 O 的切线， ABC 90， CD CB， CBD CDB， OB OD， OBD ODB， ODC ABC90， CD 是 O 的切线。（2）在 Rt OBF 中， ABD30， OF1， BOF60， OB2， BF ，3 OF BD， BD2 BF2 ， BOD2 BOF120，3 S 阴 S 扇 形 BOD S BOD 203643
