1、1线面垂直的综合运用一、考点突破知识点 课标要求 题型 说明线面垂直的综合应用1. 熟记、理解线面垂直关系的判定与性质定理；2. 解题中规范使用数学语言，严格证题过程；3. 重视转化思想的应用，解题中要以寻找线线垂直作为突破选择题填空题解答题1. 考查垂直关系的命题的判定；2. 考查线线、线面、面面垂直关系的判定和性质；3. 考查平行和垂直的综合问题；4. 考查空间想象能力，逻辑思维能力和转化思想二、重难点提示重点：线面垂直关系的判定与性质定理的应用。难点：求点到面的距离，线面角及有关垂直的几何证明。考点：直线与平面的垂直1. 直线和平面垂直的判定定理和性质定理文字语言 图形语言 符号语言一条
2、直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面,abaPlabl 如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行,abab【要点诠释】注意判定定理中相交条件很重要，判定定理的特征是：垂直 垂直；性质定理的特征是：垂直 平行。2. 判定直线和平面垂直的方法定义法。利用判定定理：一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线和此平面垂直，简述为“线线垂直 线面垂直” 。推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直这个平面。3. 直线和平面垂直的性质2直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线，即线面垂直 线线垂直。垂直于同一个平面的两条直线平行。垂直于同
3、一条直线的两平面平行。4. 点到平面的距离从平面外一点引平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离。5. 直线和平面的距离一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线和这个平面的距离。6. 斜线和平面所成的角斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫斜线和平面所成的角，其范围是 (0,9)。例题 1 （与定理有关的几何证明）如图，正方体 ABCD A1B1C1D1中， EF 与异面直线AC、 A1D 都垂直相交。求证： EF BD1。思路分析：先证明 BD1平面 AB1C，再证明 EF平面 AB1C，最后说明 EF BD1。答案：如图所示，连接 AB1、
4、B1D1、 B1C、 BD， DD1平面 ABCD，AC平面 ABCD， DD1 AC.又 AC BD， DD1 BD D， AC平面 BDD1B1，又 BD1平面 BDD1B1， AC BD1，同理可证 BD1 B1C，又 AC B1C C， BD1平面 AB1C， EF A1D， A1D B1C， EF B1C，又 EF AC， EF平面 AB1C. EF BD1。技巧点拨：1. 题目要求证平行关系，而条件中多为垂直关系时，常考虑线面垂直的性质定理，从垂3直向平行进行转化。2. 平行与垂直的转化关系：例题 2 （求点到面的距离或直线到平面的距离）已知 P 为 ABC 外一点， PA、 PB
5、、 PC两两垂直， PA PB PC a，求 P 点到平面 ABC 的距离。思路分析：利用垂直找到射影，然后再求垂线段长度。答案：取 AB 中点 D，连接 PD、 DC， PA PB， AB PD，又 PC PA， PC PB， PC平面 ABP， AB面 ABP， AB PC， PD PC P， AB平面 PCD，在平面 PCD 内，过 P 作 PH DC 于 H，则 AB PH， PH平面 ABC， PH 即为 P 点到平面 ABC 的距离， PD平面 ABP， PC PD， PA PB PC a， PD 2a，CD 62a， PH 3PDC，故 P 点到平面 ABC 的距离为 a。技巧点
6、拨：可以利用以下方法寻找点在平面内的射影。P 为 ABC 所在平面外一点， O 为 P 在平面 ABC 内的射影。（1）若 P 到 ABC 三边距离相等，且 O 在 ABC 的内部，则 O 是 ABC 的内心；（2）若 PA BC， PB AC，则 O 是 ABC 的垂心；（3）若 PA， PB， PC 与底面所成的角相等，则 O 是 ABC 的外心；（4）若 PA PB PC，则 O 是 ABC 的外心。例题 3 （求直线与平面所成的角）如图，在四棱锥 PABCD 中， PA底面ABCD， AB AD， AC CD， ABC60， PA AB BC， E 是 PC 的中点。4（1）求 PB
7、和平面 PAD 所成的角的大小；（2）证明 AE平面 PCD；思路分析：先找出 PB 和平面 PAD 所成的角，对于线面角的定义要能灵活运用；答案：在四棱锥 PABCD 中，因 PA底面 ABCD， AB平面 ABCD，故 PA AB.又 AB AD， PA AD A，从而 AB平面 PAD，故 PB 在平面 PAD 内的射影为 PA，从而 APB 为 PB 和平面 PAD 所成的角，在 Rt PAB 中， AB PA，故 APB45，所以 PB 和平面 PAD 所成的角的大小为 45；（2）证明：在四棱锥 PABCD 中，因 PA底面 ABCD， CD平面 ABCD，故 CD PA，由条件
8、CD AC， PA AC A， CD平面 PAC，又 AE平面 PAC， AE CD，由 PA AB BC， ABC60，可得 AC PA， E 是 PC 的中点， AE PC，又 PC CD C，综上得 AE平面 PCD。技巧点拨：求直线与平面所成的角的一般步骤：找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成；计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解。立体几何中的分类讨论思想【满分训练】如图，在矩形 ABCD 中， AB1， BC a（ a0） ， PA平面 ABCD，且 PA1，问BC 边上是否存在点 Q，使得 PQ QD，并说明理由。思路分析：把题目中的关系转化到矩形
9、ABCD 中来研究。答案：假设存在点 Q，使得 PQ QD，连接 AQ，由已知 PA平面 ABCD，且 DQ平面 ABCD，5 PA DQ，又 PQ DQ，且 PQ PA P， PQ， PA平面 PAQ， DQ平面 PAQ， AQ平面 PAQ， AQ DQ.设 BQ x，则 CQ a x， AQ2 x21， DQ2（ a x） 21， AQ2 DQ2 AD2， x21（ a x） 21 a2，即 x2 ax10（*） ，方程（*）的判别式 a24， a0，当 0，即 a2 时，方程（*）有两个不等实根，设两个实根分别为 x1， x2，由于x1 x2 a0， x1x210，则这两个实根均为正数，因此，当 02 时， BC 边上存在不同的两点 Q，使 PQ QD。技巧点拨：注意这种立体几何向平面几何转化，几何向代数转化的思想的运用，并且运用了分类讨论思想。
