1、分类讨论思想在中学数学中的应用目 录摘要 .IAbstract .II第一章 前言 .11.1 什么是分类讨论思想 .11.2 中学生为什么要学习分类讨论思想 .1第二章 简述分类讨论思想 .12.1 分类讨论思想的要求及其原则 .12.2 分类讨论思想的标准 .32.3 分类讨论思想的常规方法 .32.3.1 根据概念的属性分类 .32.3.2 根据定理 法则的适用范围分类 .42.3.3 根据数形结合进行分类 .52.3.4 依据某些数学性质进行分类 .62.3.5 依据位置关系进行分类 .62.3.6 依据参数变化进行分类 .72.3.7 根据整数的奇偶性进行分类 .8第三章 分类讨论思
2、想在中学数学中的应用 .93.1 分类思想在集合中的应用 .93.2 分类讨论思想在函数中的应用 .103.2.1 分段函数中的分类讨论 .103.2.2 函数中含参数的分类讨论 .113.3 分类讨论思想在不等式中的应用 .123.3.1 涉及运算要求的分类讨论 .123.3.2 含参数不等式的分类讨论 .123.4 分类讨论思想在排列组合中的应用 .133.5 分类讨论思想在数列中的应用 .143.6 分类讨论思想在圆锥曲线中的应用 .153.7 分类讨论思想在立体几何中的应用 .163.8 分类讨论思想在实际问题中的应用 .17第四章 分类思想的延伸 .184.1 绝对值平方法 .184
3、.2 分离变量法 .194.3 换元法 .204.4 方程和函数的转化法 .204.5 换元法 .21总结 .22参考文献 .23致谢 .24分类讨论思想在中学数学中的应用分类讨论思想在中学数学中的应用学生：XXX 指导教师：XXX摘要 本文主要研究了分类讨论思想在中学数学中的应用，首先提出了分类讨论思想的概念并强调了分类讨论思想的要求、原则以及标准；然后举例说明分类讨论思想解题的常规方法以及在中学数学中的应用；最后，基于某些问题进行分类讨论时情况过多，探讨了几类避免分类讨论的方法.在解数学问题时，应用分类讨论思想，通过正确分类，可以使复杂的问题得到清晰，完整，严密的解答.分类讨论的思想在解决
4、某些数学问题时，其解决过程包括多种情形，需要根据所研究的对象存在的差别，按一定标准把原问题分为几个不同的种类，并对每一类逐一地加以分析和讨论，再把每一类结果和结论进行汇总，最终使得整个问题在总体上得到解决.关键词：正确分类;应用;分类讨论思想;标准分类讨论思想在中学数学中的应用IThe Application of Categorized Discussion in Secondary School Mathematics Student: XXXX Supervisor: XXXAbstract This paper mainly studies the thought in the mid
5、dle school mathematics application classification discussion, firstly puts forward the concept of classification to discuss ideas and to emphasize the requirement classification to discuss ideas, principles and standards; Then discuss the thought of the problem solving illustrates classification rou
6、tine method and application in middle school mathematics; Finally, based on some problems in classification too much discussion about the situation, discusses the categories to avoid classification method of the discussion. In solving mathematical problems, discuss application of ideas, through the
7、correct classification, can make the complicated problem is clear, complete, rigorous solutions. Classification discussed thoughts when solve some math problems, the solution process includes a variety of circumstances, need according to the different between the object of study, according to a cert
8、ain standard of the original problem is divided into several different categories, and for each type of analysis and discussion to one by one, then every kind of results and conclusion to carry on the summary, eventually making the whole issue resolved in general.Key words：proper classification；appl
9、y；categorized discussion method；standards分类讨论思想在中学数学中的应用0第一章 前言1.1 什么是分类讨论思想所谓的分类，就是把一个“类属念”分为若干个“种概念”的逻辑划分方法，用集合论的观点来说，假设讨论的对象的全集为 I，按照一定的标准将集合 划分若干个子集I（i=1,2,3,n ） ，使得 （其中 为空集，且 ij).iAIni1jiA由于在研究问题过程中出现了不同情况，从而针对不同的情况进行分类讨论研究的思想，我们称之为分类讨论思想，其实质是一种逻辑划分的思想，是一种“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略分类讨论思想，是一种重要的数学思想
10、，也是一种逻辑方法，同时又是一种重要的解题策略分类讨论思想具有较高的逻辑性及很强的综合性，有利于提高学生对学习数学的兴趣，培养学生思维的条理性，缜密性，科学性，所以在数学解题中占有重要的位置1.2 中学生为什么要学习分类讨论思想人的年龄在一定程度的时候，思维的训练就变得尤为重要，中学数学的各种概念、原则和法则不是杂乱无章的组合成的，而是在逻辑体系下展开的，这一数学特点决定了数学学习必须具有较强的逻辑推理能力，因此为了学生能建立起一个完善的数学思维体系和应对中学数学的学习任务，掌握分类思想是非常必要的.在解决数学问题时，对于因为存在一些不确定因素无法解答或者结论不能给予统一表述的数学问题，我们往
11、往将问题按某个标准划分为若干类或若干个局部问题来解决，通过正确的分类，能够克服思维的片面性，可以使复杂的问题得到清晰，完整，严密的解答第二章 简述分类讨论思想2.1 分类讨论的要求及其原则目前分类讨论的要求：正确应用分类讨论思想，是完整解题的基础应用分类讨论思想解决问题，必须保证分类科学，统一，不重复，不遗漏，在此基础上减少分类，简化分类讨论过程分类讨论思想在中学数学中的应用1为了分类的正确性，分类讨论必需遵循一定的原则进行，在中学阶段，我们经常用到的有以下几大原则:(1）同一性原则在分类讨论过程中，每次划分的标准必须同一，也就是说每一次分类只能有一个依据，不能交叉使用几个不同的划分标准.因此
12、，在每次分类欠，应当从分类对象的属性中，选只取一个属性作分类标准，即：分类应按照同一标准进行，即每次分类不能同时使用几个不同的分类根据可以通过集合的思想来解释，如果把研究对象看作全集 ， 是 的子集IiAI并以此分类，且 ，则称这种分类 符合同一性原则.IAn21 nA,它有两层含义：一是概念应该放在哪一类的衡量尺度；二是两个不同的概念要用同一把尺度来衡量，不然就会出现分类的结果重复或遗漏，使得我们的分类结果混淆不清. 互斥性原则分类后的每个子项应当互不相容，即做到各个子项相互排斥，分类后不能有些元素既属于这个子项，又属于另一个子项即对于研究对象 ， 是 的子集，且I1,2iAn I作为分类的
13、标准，若 ，则称这种分类符合互斥性原则jinjiAji ,1, 相称性原则分类应当相称，即划分后子项外延的总和（并集） ，应当与母项的外延相等 层次性原则分类有一次分类和多次分类之分，一次分类是对被讨论对象只分类一次；多次分类是把分类后的所有的子项作为母项，再次进行分类，直到满足需要为止（5）合理性原则划分后的各个概念的外延总和，应当与被划分概念的外延相等（ ，称为完备IAin1性） ，划分后各个概念之间不能重叠，他们之间的关系应当是互不相容的（即 为空ji集，且 不等于 ，简称为互斥性） ，通常也把这个原则叫做不重复不遗漏.ij(6）逐级性原则在一些问题光靠一次分类处理是不够的，需对 中的
14、再次分类处理，则称为 的二IkAA级分类，由此类推称为三级分类，四级分类等.比如一次函数的图像和性质，可以先按和 分成两类进行讨论，然后每一类又 可以细分为 、0k )0(bxy0b分类讨论思想在中学数学中的应用2、 三种情况分别加以讨论.在同级分类分类标准中必须统一分类标准，但不要0b求同级用同一把尺子.2.2 分类讨论的标准一个问题或事物要分类就必须具备三要素：母项、子项和根据.母项就是被划分的种概念，子项是被划分过后所得的类概念，划分的依据就是借以划分的标准.一个问题进行分类处理时，必须有一个标准.即必须根据对象本身的某种属性或关系来进行划分.由于客观事物有很多方面的属性，事物之间有很多
15、方面的联系，所以分类的标准也是很多方面的，可以根据不同的方面对事物进行分类.但同一次分类都应该按照同一标准进行，所以我们分类标准应当服从于研究的目的或观察问题的角度.2.3 分类讨论思想的常规方法2.1 根据概念的属性分类有些数学概念本身就是分类定义的，比如绝对值的化简，直线与平面所成的角，所以对于这些概念问题是就可以分类讨论 如求实数的绝对值，用一句话来概括比较困难，如果将这个数，按实数的分类（正数、零、负数）逐一解决，就容易多了.即 0a在实数的运算中，也用到了分类思想，比如两数相加、两数相乘的法则，都是按同号、异号分别加以叙述的.例 2.1 化简 。a32分析：了解了绝对值得分类标准，为
16、了去掉绝对值号，可将实数 分为三种情况：a； ； ；分别加以讨论.2a（1）当 时；原式= 1)3(2a（2）当 时；3a原式= 5)(a分类讨论思想在中学数学中的应用3（3）当 时；a原式= 1)3(2a例 2.2 有理数 到有理数 -1 的距离是 3，有理数 到 3 的距离是 5，且 ，2xyxy求 的值xy和分析: 在数轴上，到有理数-1 的距离是 3 的有理数有两个，一个是-4，另一个是 2，即或 ；42x2x到 3 的距离是 5 的数也有两个，一个是-2，另一个是 8，即或 1y1y解: 依题意得 或42x2x或1y81y解得或2x4或3y7因为 x所以 32y或 4x所以 的值为
17、或 ， 的值为 或 .yx51yx172.3.2 根据定理 法则的适用范围分类有些数学公式本身就是分类形式给出的，比如等比数列前 项和和公式、有理数乘法n分类讨论思想在中学数学中的应用4法则等.运用等比数列前 n项和公式 求和，首先要判别其公比 能1,)(1qanS， q否为 1进行判定， 以等比数列公比q作为标准进行分类研究.许多法则、定理都有其分类讨论，如被开方数不能为负数.例2.3 解方程 2432xx分析：常见这种问题会想到同时在两边乘以 ，将原方程化简为 ；而忽x43x视了 是否等于 .可以根据 或 两种情况.2x0x解：（1）当 时；x403x即 2当 时；同时两边除以 有2x43
18、x即 1所以原方程的解为 或2x12.3.3 根据数形结合进行分类数形结合思想刻画了数量关系与图形运动的相互依存的关系，因图形位置不能确定或形状的变化，形状直观为我们提供分类讨论的方法，如求集合的交集、并集、补集时，可以用数轴来表述；以及一元二次方程的实数根分布借用二次函数与 x 轴交点情况进行讨论.例 2.4 如图 2-1 中，分别以直线 上的点 、 、 、 、 、 为端点的线段共mABCDEF有多少条？图 2-1ABCDFEm分类讨论思想在中学数学中的应用5分析：线段 与 是同一条直线，如依字母排列顺序表示线段，则一条线段就对AB应一个左端点，不妨以线段的左端点为标准进行分类计算.（1）以
19、 为左端点的线段有 、 、 、 、 共 5 条；ABCDAEF（2）以 左为左端点的线段有 、 、 、 共 4 条；B（3）以 为端点的线段有 、 、 共 3 条；C（4）以 为左端点的线段有 、 共 2 条；DEF（5）以 为左端点的线段仅有 共 1 条.E所以，共有 条线段.51232.3.4 依据某些数学性质进行分类数学研究对象往往具备一定性质，如欧偶次方根的性质；二次函数、反比例函数、指数函数的相关性质；反三角函数的定义域、值域等，再利用这些函数的相关性质解题时，就需要根据这些性质成立的相关条件进行分类讨论处理.例 2.5 如用分类方法来讨论正比例函数 的图像与性质：)0(kxy（1）
20、当 时，图像经过第一、三象限， 随 的增大而增大；0k（2）当 时，图像经过第二、四象限， 随 的增大而减小.例 2.6 用分类方法讨论一元二次方程 的根的情况：)0(2acbxa（1）当 时，方程有 个相异实数根；042acb（2）当 时，方程有 2个相等实数根；（3）当 2c时，方程没有实数根 .2.3.5 依据位置关系进行分类在几何问题中点与点，点与线，点与面，线与线，线与面等的位置关系是分类的依据，如异面直线上两点的距离；在排列组合问题中，有限制条件时，应当优先考虑特殊元素的位置关系来分类处理.例 2.7 、 、 是平面 外的三点，他们到平面 的距离分别为 ，求ABC3,6的重心 到平
21、面 的距离.G分类讨论思想在中学数学中的应用6分析：如图 2-2，由于点 、 、 在平面 外，且到平面 的距离为 ，而他ABC3,6们可能在平面 的同 侧，也可能在异侧，因此要进行分类讨论 .图 2-2 解：（1）当 、 、 在平面 同侧时，重心 到平面 的距离ABCG536d（2）当 、 在平面 同侧， 在另一侧时， 36d（3）当 、 在平面 同侧， 在另一侧时，B1所以， 的重心 到平面 的距离是ABCG5,312.3.6 依据参数变化进行分类某些含有参数的数学问题，由于所含参数取值的不唯一，会导致所得结果不同，或者由于对不同的参数值要运用不同的推演方法，这时就可以根据参数的不同取值情况进行分类讨论，比如在考虑正比例函数、二次函数的图像相关性质问题时，都会根据参数取值范围进行分类处理.例 2.8 直线 的方程为 ,求直线 的斜率与倾斜角.l )0(1sincoyx l分析：这个问题用到直线斜率与倾斜角的得概念，这些概念都是分段定义的. 是变量，导致 都是会随 的改变而改变，因此在解这类问题时需要分类讨论.cos,in解：（1）当 时，因为直线方程为 ，所以直线 的斜率 不存在，倾斜角01xlk。2（2）当 时，因为 ，)tan(co2k因此，当 时，倾斜角 02当 时，倾斜角 2 2根据直线斜率的定义：当倾斜角 时， ；2tank当倾斜角 时， 不存在.
